百題大挑戰 數學營課務組 2007.07.07

規則說明 1-40題：預賽(將在答完40題後統計成績,表現較好的同學可以進決賽) (1-15是非題,16-40選擇題) 41-100題：決賽(答錯一題即淘汰出局,都是選擇題) 課務手冊上的資料很有幫助喔

暖身題 是非題(10sec) 對於所有a,b,c,…,z (x-a)(x-b)(x-c)…(x-y)(x-z)=0 O ANSWER

暖身題 選擇題(10sec) 1122+3344=? (1)5566 (2)7788 (3)9900 (4)以上皆非 4 ANSWER

暖身結束囉 接下來我們要正式開始進行預賽了，大家加油囉！

X 預賽-是非題 No.1 (10 sec) a,b,c為實數，ab>0,bc>0,ca>0 ，則a,b,c>0 ANSWER

預賽-是非題 No.2 (20 sec) x,y是任意複數，且x2+4y2=0 則|x|2 - 4|y|2=0 O ANSWER

預賽-是非題 No.3 (15 sec) α=√2 + √3，則對於所有的正整數n，αn都不是整數 O ANSWER

預賽-是非題 No.4 (10 sec) 正12面體之頂點可選出8個形成正方體。 O ANSWER

預賽-是非題 No.5 (20 sec) 若a*b=a2+ab+b2 則(1*2)*3=1*(2*3) X ANSWER

預賽-是非題 No.6 (15 sec) 四面體ABCD之四面全等 則ABCD為正四面體 X ANSWER

預賽-是非題 No.7 (30 sec) 任意凸四邊形的面積不大於對邊乘積和的一半。 O ANSWER

預賽-是非題 No.8 (10 sec) 足球的結構為正多面體的一種。 X ANSWER

預賽-是非題 No.9 (20 sec) 若 z6=1，且 zk≠1，k=1,2,3,4,5 則 z2+1-z=0 O ANSWER

預賽-是非題 No.10 (10 sec) 若a,b是無理數, 則ab也是無理數 X ANSWER

預賽-是非題 No.11 (10 sec) log102007是無理數 O ANSWER

預賽-是非題 No.12 (20 sec) 對於所有的正整數n， n2+n+17都會是質數 X ANSWER

O 預賽-是非題 No.13 (15 sec) a、b為實數，就算對所有自然數n， an + bn都是有理數，a還是可能是無理數 ANSWER

預賽-是非題 No.14 (10 sec) √2 是最小的正無理數 X ANSWER

O 預賽-是非題 No.15 (20 sec) 若實數 x,y,z 滿足 (x-20y)2 + (y-20z)2 + (z-20x)2 = 0 則 x = y = z O ANSWER

3 預賽-選擇題 No.16 (20 sec) 平面上兩圓，半徑各為4,2，圓心距離為10，求外公切線長為？ (1) 4 (2) 8 (1) 4 (2) 8 (3) 4√6 (4) 2 √26 3 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.17 (20 sec) 如圖，角E=角D=角ABC=90° ，AB=BC，又知AE=4 ，DE=5，求CD長為？ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) π/3 A C E B D 1 ANSWER

4 預賽-選擇題 No.18 (20 sec) 若干正整數的和為10，求它們可能的乘積最大值為： (1) 21 (2) 25 (1) 21 (2) 25 (3) 32 (4) 36 4 ANSWER

預賽-選擇題 A No.19 (20 sec) 如圖，ABCD是AB平行CD 的梯形，a,b,c,d分別表示 △ABE, △BCE ,△CDE , △DAE的面積，若b=6,c=9，則a=? (1) 3 (2) 4 (3) 4/3 (4) 3/2 B a b d E c D C 2 ANSWER

預賽-選擇題 No.20 (20 sec) E,F,G,H是四邊形ABCD的各邊中點，若EFGH是平行四邊形，則四邊形ABCD「不可能」為 (1) 鳶形(風箏形) (2) 平行四邊形 (3) 梯形 (4) 任意四邊形皆可 4 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.21 (20 sec) 給定平面上五點，最少的情形下，存在幾個三角形讓五個點都落在一個三角形的邊上 (1) 零個 (2) 一個 (3) 四個 (4) 無窮多個 1 ANSWER

2 預賽-選擇題 No.22 (20 sec) a+b+c=abc=0, ab+bc+ca=-1 則a5+b7+c9=? (1) -1 (2) 0 (3) 33 (4) 127 2 ANSWER

預賽-選擇題 No.XY (π sec) XY=? (1) 12 (2) 23 (3) 34 (4) 5566 2 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.24 (20 sec) 11112和123454321的最大公因數是？ (1) 1 (2) 3 (1) 1 (2) 3 (3) 7 (4) 11 1 ANSWER

4 預賽-選擇題 No.25 (15 sec) 下列何者最大？ (1) sin95° (2) tan37° (3) cos572° (4) √2 4 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.26 (20 sec) ABC為一不等腰的三角形，考慮從A點到BC邊的(A)中線(B)角平分線(C)垂線，從長到短為 (1) ABC (2) BCA (3) CAB (4) 我愛LimSinE 1 ANSWER

3 預賽-選擇題 ANSWER No.27 (10 sec) 牛頓於1687年出版它的巨作《原理》，全名為 (1) Happia Mathematica (2) Elements (3) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (4) Theory of Relativity 3 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.28 (20 sec) 邏輯上著名的「不完備定理」是誰提出的？ (1) 哥德爾 (2) 馮紐曼 (1) 哥德爾 (2) 馮紐曼 (3) 愛因斯坦 (4) 老買國王 1 ANSWER

4 預賽-選擇題 No.29 (10 sec) 下列哪一個選項的筆劃最多？ (1) 小黑人 (2) 老買 (3) 老奕 (4) 淫魔 (1) 小黑人 (2) 老買 (3) 老奕 (4) 淫魔 4 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.30 (10 sec) 下列何者正確？ (1) eiπ+1=0 (2) eiπ-1=0 ANSWER

預賽-選擇題 No.31 (10 sec) 時針和分針一天重合幾次？ (1) 1 (2) 11 (3) 22 (4) 24 3 ANSWER

3 預賽-選擇題 No.32 (10 sec) 使 Σ(2-r)n 收斂的 r 的範圍為 (1) -1 ﹤r ﹤1 (2) -1 ﹤r≦1 ANSWER

3 預賽-選擇題 No.33 (10 sec) 方程式x2007 + y2007 = z2007 有多少組非零實數解？ (1)沒有解 (2)恰有一解 (3)無限多組解 (4)恰有三解 3 ANSWER

3 預賽-選擇題 No.34 (20 sec) 1+2i+3i2+4i3+…+100i99=? (1) 1-i (2) 0 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.35 (10 sec) 請問 r=1+sin(θ) 是什麼圖形？ (1)心臟線 (2)肝臟線 (1)心臟線 (2)肝臟線 (3)腎臟線 (4)腎上腺 1 ANSWER

3 預賽-選擇題 No.36 (20 sec) 下列三角函數和其名稱之配對何者正確？ (1) sin 正切函數 (2) cos 餘割函數 (3) sec 正割函數 (4) csc 餘切函數 3 ANSWER

1 預賽-選擇題 No.37 (10 sec) 哪件事情促成高斯(Gauss)決定研究數學？ (1)發現正17邊形作圖法 (2)發現代數學基本定理 (3)算出1+2+3+4+5+.......+100=5050 (4)高斯每天都要大便 1 ANSWER

4 預賽-選擇題 No.38 (20 sec) 三維空間中，一個單位球的表面積=? (1) π (2) 2π (3) 3π (4) 4π (1) π (2) 2π (3) 3π (4) 4π 4 ANSWER

2 預賽-選擇題 No.39 (15 sec) 1-2+3-4+5-6+7-8+............+99-100 = ? (1) 0 (2) -50 (3) -100 (4) -5050 2 ANSWER

2 預賽-選擇題 No.40 (20 sec) 設x=99,y=100,z=-199，則下列何者正確 (1) x3+y3+z3>3xyz (2) x3+y3+z3=3xyz (3) x3+y3+z3<3xyz (4) 小黑人有190公分高。 2 ANSWER

預賽結束 統計成績中，請稍候，等等就知道自己能否晉級啦。 現在休息五分鐘，五分鐘後請隊輔把自己的小隊帶到定位。

過關! 恭喜大家進入下個階段---淘汰賽 嘿嘿嘿…這關錯一題就要去旁邊休息喔，請小心作答

3 決賽-選擇題 No.41 (10 sec) 下列何者正確？ (1) √2 > 2.718 (2) √2 = 2.718 (3) √2 < 2.718 (4) 智者團團長截肢數學很爛，考不上台大數學系 3 ANSWER

決賽-選擇題 No.42 (10 sec) 下列何者正確？ (1) (2) (3) (4) 2006年火星攻打 　 地球 3 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.43 (10 sec) 下列何者正確 (1) 1+2+3+…+100>1×2 ×3×…×100 (1) 1+2+3+…+100>1×2 ×3×…×100 (2) 1+2+3+…+100=1×2 ×3×…×100 (3) 1+2+3+…+100<1×2 ×3×…×100 (4) 今年6月31日天氣晴朗，無風無雨 3 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.44 (10 sec) 下列何者正確？ (1) 1+2+3+...+99+100 > 5005 (2) 1+2+3+...+99+100 = 5005 (3) 1+2+3+...+99+100 < 5005 (4) 財團團長Dik雄壯威武,肌肉比阿杜還強 1 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.45 (10 sec) 數列{an}滿足 an+1 = 10an , 則{an}是一個 (1) 費氏數列 (2) 等比數列 (3) 調和數列 (4) 等差數列 2 ANSWER

4 決賽-選擇題 No.46 (10 sec) ax2 + bx +c = 0, a≠0之二根為 α , β 則 αβ = ？ 則 αβ = ？ (1) -b/a (2) b/a (3) -c/a (4) c/a 4 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.47 (10 sec) ax2 + bx +c = 0, a≠0之二根為 α,β 則 α + β = ？ 則 α + β = ？ (1) -b/a (2) b/a (3) -c/a (4) c/a 1 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.48 (15 sec) 143的所有正因數和 = ? (1) 1 (2) 144 (3) 168 (4) 以上皆非 (1) 1 (2) 144 (3) 168 (4) 以上皆非 3 ANSWER

3 決賽-選擇題 ANSWER No.49 (10 sec) 本次數學營的「微積分跑步」教了下列哪一個定理？ (1) Fundamental Theorem of Arithmetic (2) Fundamental Theorem of Algebra (3) Fundamental Theorem of Calculus (4) Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups. 3 ANSWER

決賽-選擇題 No.50 (20 sec) (-i)2007 = ? (1) i (2) - i (3) 1 (4) -1 1 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.51 (10 sec) 一光年跟一億公里哪個比較長? (1) 前者 (2) 後者 (3) 相等 (4) 無法比較 (1) 前者 (2) 後者 (3) 相等 (4) 無法比較 1 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.52 (20 sec) (123452007,123452004) = ? (1) 1 (2) 3 (1) 1 (2) 3 (3) 9 (4) 2007 2 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.53 (10 sec) 設 z = 2+4i, w = 6+8i, 則下列何者正確 (1) |z||w| > |zw| (2) |z||w| = |zw| (3) |z||w| < |zw| (4) 俊帥是音樂白痴，看不懂Do Re Mi 2 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.54 (10 sec) 被數學界視為最高榮譽的獎是？ (1) Groups Medal (2) Rings Medal (3) Fields Medal (4) Modules Medal 3 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.55 (20 sec) n是正整數，若xn+yn=zn 沒有正整數解，則n最小為？ (1) 3 (2) 4 (1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 5566183 1 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.56 (20 sec) 如圖，OB,OC為角平分線 ，若角A=30°，則角BOC= (1) 60° (2) 105° (1) 60° (2) 105° (3) 120° (4) 150° A O B C 2 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.57 (20 sec) f(x)=x2, g(x)=1/x, h(x)=sin(x)+cos(x) 請問f(g(h(0)))為多少? (1) 1 (2) 1/3 (3) 2 (4) 1/9 1 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.58 (10 sec) 下列何者是古希臘三大難題? (1)植樹問題 (2)雞兔同籠 (3)化圓為方 (4)畫蛇添足 (1)植樹問題 (2)雞兔同籠 (3)化圓為方 (4)畫蛇添足 3 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.59 (20 sec) f(x)= 1, 若x是無理數 0, 若x是有理數 則Lebesgue所求的 (1) 0 (2) 1/2 (3) 1 (4) Lebesgue: I don’t care ~”~ 3 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.60 (10 sec) 誰的年代最早？ (1) 商高 (2) 畢達哥拉斯 (3) 陳宏 (4) 勇者老奕 (1) 商高 (2) 畢達哥拉斯 (3) 陳宏 (4) 勇者老奕 1 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.61 (30 sec) 三相異正整數的積為 2007 , 令此三數的最大公因數為k , 求k可能的最小值 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 9 1 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.62 (30 sec) 三相異正整數的積為 2007 , 令此三數的最大公因數為k , 求k可能的最大值 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 9 1 ANSWER

決賽-選擇題 No.63 (15 sec) 一個人花10塊錢買了一隻雞。之後用11塊錢賣掉但是他覺得不划算，又花12塊錢買回來。最後他以13塊錢賣給另外一個人。請問他賺了多少錢？ (1) -2 (2) 2 (3) 3 (4) -3 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.64 (10 sec) 想用 5,6,7,8,9,10,11,12,13 填入3*3的格子中使得每一直行、橫列、及兩對角線的三格上的數字和都相等。則正中間那一格應填多少？ (1) 6 (2) 7 (3) 9 (4) 11 3 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.65 (20 sec) 請問有幾個正整數 n 使得 1/n + 2/n + … + 10/n 為正整數？ (1) 1 (2) 2 (3) 4 (4) 55 3 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.66 (10 sec) (1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) -2 ANSWER 則 ω+ω2+ω3+ω4+ω5 +ω6 = ？ (1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) -2 3 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.67 (20 sec) 設α,β為x2+ax+b=0的兩根，則以α+3,β+3為兩根的方程為？ ANSWER

2 決賽-選擇題 No.68 (20 sec) π≠ (1) 單位圓{(x,y)| x2+y2<1}的面積 (2) 一個圓直徑對圓周的比值 (3) sinx=0之最小正實數解 (弧度) (4) tanx之最小正週期(弧度) 2 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.69 (15 sec) 若x>y，則下列何者正確？ (1) 10-x>10-y (4) 淫魔我愛你 3 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.70 (30 sec) 正十二面體的點數+邊數+面數=N 正二十面體的點數+邊數+面數=M 則 (1) N>M (2) N=M (3) N<M (4) N,M為虛數，不能比較 2 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.71 (30 sec) 設x=99,y=100,z=199，則下列何者正確？ (1) x3+y3+z3>3xyz (2) x3+y3+z3=3xyz (3) x3+y3+z3<3xyz (4) 大家都覺得勇者老奕很年輕 1 ANSWER

決賽-選擇題 No.72 (20 sec) 若 x2 + y2 + z2 = 1 求 |(x+y)(x+z)(y+z)| 之最小值 = ? (1) 1 (2) 1/3 (3) 1/9 (4) 0 4 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.73 (20 sec) △ABC為直角三角形，角C為直角。 設角C對AB的高為h，中線為m 則面積=？ (1) ½ mh (2) mh (3) 2mh (4) 4mh 2 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.74 (10 sec) 下列何者增長的速度最快？ (1) ㏒x (2) x2+x (3) 4x (4) 3x ANSWER

2 決賽-選擇題 No.75 (10 sec) 方程n2 = 2n，n的自然數解有多少個？ (1) 1 (2) 2 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 無限多 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.76 (20 sec) 把 丟到太空，應呈現 (1) (2) (3) (4) 1 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.77 (30 sec) 若α=21/3 ，β＝-α2+3α-3，則 (1) 2β > 1 (2) 2β = 1 (3) 2β < 1 (4) 1+1=3 3 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.78 (30 sec) deg f=3, f(1)=f(2)=f(3)=0, f(0)=1 則f(4)=? (1) -2 (2) -1 (3) 0 (4) 1 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.79 (20 sec) 下列何者正確？ (1) (2) (3) (4) 台台跟淫魔滴酒不沾。 1 ANSWER

決賽-選擇題 No.80 (20 sec) =? (1) 2 (2) (3) (4) 以上皆非 3X 1 ANSWER

3 決賽-選擇題 No.81 (10 sec) 近代有所謂非歐幾何學，是推翻歐氏幾何哪一條公設後所創？ (1) 1 (2) 3 (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 3 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.82 (30 sec) 設f(x,y)= (x+y+|x-y|)/2， g(x,y)= (x+y-|x-y|)/2 求f(1,g(2,f(3,g(4,5))))=? (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 2 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.83 (10 sec) 阿拉伯數字是哪個民族發明的？ (1) 波斯人 (2) 印度人 (3) 阿拉伯人 (4) 數人 (1) 波斯人 (2) 印度人 (3) 阿拉伯人 (4) 數人 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.84 (10 sec) 畢達哥拉斯(Pythagoras)學派本來提倡「萬物皆數」，且一切數皆為有理數。故當發現無理數時，他們的反應是？ (1) 這是絕對機密，嚴禁洩漏 (2) 修改方針，設法修正數的系統 (3) 批評無理數是錯誤邏輯推導的結果 (4) 委託數人國智者團查明真相 1 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.85 (10 sec) 有一個數人養了兩隻貓,一黑一白,其中白貓是公的,那麼兩貓都是公的的機率是多少? (1) 1/4 (2) 1/2 (3) 2/3 (4) 1 2 ANSWER

3 決賽-選擇題 ANSWER No.86 (10 sec) 星君的筆記上記著四句話如下： (1) 這4句中，正好有1句話是假的； (1) 這4句中，正好有1句話是假的； (2) 這4句中，正好有2句話是假的； (3) 這4句中，正好有3句話是假的； (4) 這4句中，正好有4句話是假的。 請問第幾句話才是真的呢？ 3 ANSWER

2 決賽-選擇題 ANSWER No.87 (10 sec) 有些人會在證明完畢的地方寫Q.E.D.，這是什麼意思？ (1)這不是很簡單嗎？ (Isn't that easy ?) (2)以上即是所要證明的。 (That which was to be demonstrated) (3)請鼓掌。 (Applause.) (4)請待下回分曉。 (To be continued.) 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.88 (20 sec) 有十箱的５０克砝碼，每箱有二十五個，其中有一箱砝碼是劣質品。若收集起來的劣質品每個都剛好重４８克，假設您手邊有電子秤，請問最少需要幾次才能知道哪一箱是劣質品的？ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 超過3次 1 ANSWER

決賽-選擇題 No.89 (30 sec) 某旅行團參訪ABCDE五地，遵守下列條件： (甲) 若去A，必去B (乙) DE至少去1地 (丙) BC只去1地 (丁) CD都去/都不去 (戊)若去E，AD兩地都必須去 問最多能去幾個地方? (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.90 (20 sec) 一位登山客獨自登山，卻一個不小心掉到深達 ４８公尺的小山谷裡。深山裡四下無人，他必須自己脫險。每日，白天時他可以攀岩爬上８公尺，但夜裡會下滑３尺。在這個情況下，請問他能在第幾天爬上山谷脫險呢？ (1) 7 (2) 8 (3) 9 (4) 10 3 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.91 (10 sec) 請問誰曾經證明5次的方程式無公式解？ (1)阿貝爾(Abel) (2)漢彌爾頓(Hamilton) (3)貝爾(Bell) (4)勇者老奕(The Braver Lauyi) 1 ANSWER

4 決賽-選擇題 No.92 (20 sec) 當n等於多少時，正n邊形不能尺規作圖？ (1) 15 (2) 16 (1) 15 (2) 16 (3) 17 (4) 18 4 ANSWER

4 決賽-選擇題 No.93 (30 sec) 時鐘一天分針和秒針重合幾次？ (1) 22 (2) 1728 (1) 22 (2) 1728 (3) 1440 (4) 1416 4 ANSWER

1 決賽-選擇題 ANSWER No.94 (10 sec) 稱為什麼不等式？ (1) Hölder inequality (2) Isoperimetric inequality (3) Triangular inequality (4) Chebyshev’s inequality 1 ANSWER

1 決賽-選擇題 No.95 (30 sec) P(x)是整係數多項式，若P(2),P(3)都是6的倍數，則下列何者必為6的倍數？ ANSWER

2 決賽-選擇題 No.96 (30 sec) 下列方程式何者有正整數解？ (1) x2+y2=2007 (2) x2+y2=z7 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.97 (30 sec) 下列何者必為平行四邊形？ (1) 一組對邊平行，另一組對邊相等 (2) 一組對角相等，一組對邊平行 (3) 一組對角相等，一組對邊相等 (4) 一組對邊相等，某一條對角線平分另一 條對角線 2 ANSWER

4 決賽-選擇題 No.98 (20 sec) 下例何者正確？ (1) Hilbert是Gauss的學生 (2) Euler是Bernoulli兄弟的老師 (3) Galois和Abel決鬥，並且輸了 (4) Cauchy會把別人的論文弄丟 4 ANSWER

2 決賽-選擇題 No.99 (10 sec) 最近幾何領域的一個大猜想終於被證明，請問是？ (1) Hamilton conjecture(漢米爾頓猜想) (2) Poincare conjecture(龐加萊猜想) (3) Perelman conjecture(佩雷爾曼猜想) (4) Inmore Great conjecture(淫魔大猜想) 2 ANSWER

決賽-選擇題 No.100 (60 sec) a=3.1415926535897932484626433 (1) π>a (2) π=a (3) π<a (4) 爸、媽，我在台大數學營得到一百萬獎　　 學金了。 3 ANSWER