量子信息导论第一次习题课 陈哲 2017.10.14

第一章补充习题1 给定事件集合X={x1,x2, ... , xn } 及相应的概率 P={p1, p2, ... , pn} ，证明该事件集的联合熵满 足H(X)≤log2(n) 。

H(X)=− 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 log 𝑝 𝑖 , 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 =1 限制定义域的函数极值问题——拉格朗日乘子法 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 =1 限制定义域的函数极值问题——拉格朗日乘子法 F=− 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 log 𝑝 𝑖 +λ( 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 −1) 𝜕𝐹 𝜕 𝑝 𝑖 =- log 𝑝 𝑖 -1+ λ 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑗 𝜕𝐹 𝜕λ = 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 −1 𝑝 𝑖 = 1 𝑛 带入H(X)求得极值log2(n)，★验证是最大值！

第一章补充习题2 对任意给定的事件集X1 、X2 及系数0≤a≤1 ， 证明香农熵的上凸性，即 a H(X1)+(1−a)H (X2)≤H[aX1+(1−a) X2 ]

i) aX1+(1−a) X2：{ 𝑥 11 𝑥 12 … 𝑥 1n 𝑥 21 𝑥 22 … 𝑥 2m } 事件集求和的定义？ i) aX1+(1−a) X2：{ 𝑥 11 𝑥 12 … 𝑥 1n 𝑥 21 𝑥 22 … 𝑥 2m } 对应概率 {a 𝑝 11 a 𝑝 12 … a𝑝 1n (1−a)𝑝 21 (1−a)𝑝 22 … (1−a)𝑝 2m } ii) { 𝑥 1 𝑥 2 … 𝑥 n }，对应概率 {a 𝑝 11 + (1−a)𝑝 21 ，a 𝑝 12 + (1−a)𝑝 22 ，… a𝑝 1n + (1−a)𝑝 2n } 不等式证明数学细节略过

第一章补充习题3 证明联合熵的链式法则: H(X1 X2 ... Xn) =H(X1)+H(X2∣X1)+...+H (XN∣( X1X2 ... XN−1))

二事件情形： H(XY)=− 𝑝 𝑥𝑖𝑦𝑗 log 𝑝 𝑥𝑖𝑦𝑗 , 𝑝 𝑥𝑖𝑦𝑗 = 𝑝 𝑦𝑗 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 =− 𝑝 𝑦𝑗 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 log 𝑝 𝑦𝑗 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 =− 𝑝 𝑦𝑗 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 log 𝑝 𝑦𝑗 − 𝑝 𝑦𝑗 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 log 𝑝 𝑥𝑖|𝑦𝑗 =H(Y)+H(X|Y) 反复把X1X2……Xi-1当作Y即可得到结论

第一章补充习题4 复习矩阵上三角化的Schur定理 并以此为基础论证厄密矩阵的谱分解性质， 即任意厄密矩阵A，总可以幺正对角化成一个 实对角矩阵；再把本征向量表示成dirac记号， 从而把A简单表示讲义上的成dirac记号的形式。

Schur定理：方阵A 酉相似于上三角阵 A是厄密矩阵的情形: 𝐴 † = (𝑈𝑇𝑈 † ) † = 𝑈 (𝑈𝑇𝑈 † 𝑈 † =𝐴= 𝑈𝑇𝑈 † 两边乘以 𝑈,𝑈 † 可以得到上三角阵 𝑇=𝑇 † ，即T是实对角阵 记U=( |1 , |2 , |3 … |𝑛 ),T=diag(a1,a2,…,an),即可得到dirac形式

第一章作业1 计算二元对称信道的信道容量。

二元对称信道 X ——————————Y 0 p 0 设P(x=1)= p 0 1-p I(X:Y)=H(X)+H(Y)-H(XY) =H(Y)-H(Y|X) 1-p =H(Y)+plogp+(1-p)log(1-p) 1 p 1 C=max{p0}I =max H(Y)+plogp+(1-p)log(1-p)

第一章作业2 空间H中存在两组正交归一化态{ | 𝜑 𝑖 }{ | 𝜑 𝑖 }.则 存在幺正变换U使得U | 𝜑 𝑖 = | 𝜑 𝑖 .试构造出该变 换.

𝑈 𝑖𝑗 = 𝜑 𝑖 U | 𝜑 𝑗 = 𝜑 𝑖 | 𝜑 𝑗 U= 𝑖,𝑗 𝜑 𝑖 | 𝜑 𝑗 𝜑 𝑖 𝜑 𝑗 = 𝑗 𝜑 𝑗 𝜑 𝑗 𝑈𝑈 † = 𝑖,𝑗 𝜑 𝑖 𝜑 𝑖 𝜑 𝑗 𝜑 𝑗 =𝐼

第一章作业3 空间H中存在两组归一化态{ | 𝜑 𝑖 }{ | 𝜑 𝑖 }. 满足 𝜑 𝑖 𝜑 𝑗 = 𝜑 𝑖 𝜑 𝑗 则存在幺正变换U使得U | 𝜑 𝑖 = | 𝜑 𝑖 .试构造出该 变换.

Schmidt正交化：系数仅与 𝜑 𝑖 𝜑 𝑗 有关 化归为作业2

第一章作业4 对两比特态 i)求约化密度矩阵； ii)求的Schmidt分解形式. |ϕ = 1 2 0 𝐴 1 2 0 𝐵 + 3 2 1 𝐵 + 1 2 1 𝐴 3 2 0 𝐵 + 1 2 1 𝐵 i)求约化密度矩阵； ii)求的Schmidt分解形式.

𝜌 𝐴 =𝑡𝑟𝐵( |ϕ ϕ| ) = 1/2 3 /4 3 /4 1/2 = − 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2 (2− 3 )/4 0 0 (2+ 3 )/4 − 2 /2 2 /2 2 /2 2 /2

第一章作业5 | ϕ 𝐴𝐵𝐶 = 𝑖 𝑝 𝑖 | 𝑖 𝐴 | 𝑖 𝐵 | 𝑖 𝐶 一定成立?给出理由。 对三粒子系统纯态，在空间中是否存在中的 正交基，使得 | ϕ 𝐴𝐵𝐶 = 𝑖 𝑝 𝑖 | 𝑖 𝐴 | 𝑖 𝐵 | 𝑖 𝐶 一定成立?给出理由。

不一定 | ϕ 𝐴𝐵𝐶 = 𝑖 𝑝 𝑖 | 𝑖 𝐴 | 𝑖 𝐵C | 𝑖 𝐵𝐶 = 𝑗 𝑝 𝑖j | 𝑖𝑗 B | 𝑖𝑗 C --仅j只有一项时,满足题给的形式 举个例子 |ϕ = 1 2 0 𝐴 1 2 0 𝐵 + 3 2 1 𝐵 0 C + 1 2 1 𝐴 3 2 0 𝐵 + 1 2 1 𝐵 3 2 0 𝐵 + 1 2 1 𝐵 0 C

i)随机的猜想一个态 |ϕ ，求猜测态相对于 |Ψ 的 平均保真度 第一章作业6 设 |Ψ 为量子态，在Bloch球面上均匀随机分布 i)随机的猜想一个态 |ϕ ，求猜测态相对于 |Ψ 的 平均保真度 ii)对此量子态做正交测量{ 𝑃 ↑ , 𝑃 ↓ }，测量后系统 被制备到ρ,求ρ与原来态 |Ψ 的平均保真度

先猜 |ϕ ,然后对 |Ψ 平均 |Ψ =cos𝜃/2 |0 + 𝑒 𝑖𝜑 sin𝜃/2 |1 |ϕ =cos𝜃′/2 |0 + 𝑒 𝑖 𝜑 ′ sin𝜃′/2 |1 | Ψ ϕ | 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃’ 2 +𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃’ 2 𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃’ 2 +𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃’ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑/4𝜋 第二问同理, P ↑ = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃’ 2 𝑒 𝑖 𝜑 ′ 𝑠𝑖𝑛 𝜃’ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃’ 2 𝑒 −𝑖 𝜑 ′ 𝑠𝑖𝑛 𝜃’ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃’ 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃’ 2