第13章變異數分析與多變數分析  本章的學習主題  1. 變異數分析的應用時機 2. 變異數分析的假設前提 　　1. 變異數分析的應用時機 　　2. 變異數分析的假設前提 　　3. SSS , SSB , SST之算法及關係 　　4. 隨機集區設計之方法及應用 　　5. 多變異數分析的應用時機 　　6. 多重T檢定之方法 　　7. 變異數分析在SPSS軟體之操作說明

13.1 變異數分析的概念 1.當我們在檢定一個母體平均數或比較兩個樣本平均數時，通常是使用Ｚ檢定或ｔ檢定 H0：μ1 = μ2 H1： μ1 ≠μ2

13.1 變異數分析的概念 H0：μ1 = μ2 = … = μm H1： 並非所有的 μ 皆相等 13.1 變異數分析的概念 2. 如果實驗變數超過二個的時候，利用多變量變異數分析 ( ANOVA )。變異數分析的作用在於分析各種變異的來 源，並進而加以比較，以瞭解不同的實驗變數所造成的結果是否有顯著的差異，它的虛無和對立假設如下： H0：μ1 = μ2 = … = μm H1： 並非所有的 μ 皆相等

13.2 變異數分析的假設 進行 ANOVA 及 MANOVA 分析時，均必須符合以下之假定： 各母體呈常態分配。 13.2 變異數分析的假設 進行 ANOVA 及 MANOVA 分析時，均必須符合以下之假定： 各母體呈常態分配。 變異數同質：各母體的變異數σ2都相等。 自變數不應有高度的共線性。 對極端值應有足夠的敏感性。 可加性：所有樣本都是隨機抽樣，而且彼此獨立，可以進行累積與加減。 球面性：不同樣本在不同水準間重複測試 ，其變動情形應具有一致性，否則型一誤差(Type I error，即H0是對的而拒絕)的機率將增大

13.3 完全隨機設計 在此類變異數分析中，我們所要計算來作為檢定用途的，首先是樣本的離均差平方和，其內容有組內變異(誤差)的離均差平方和(sum of squares)： 而組間變異(實驗變數)的離均差平方和為： j = 1, 2, 3, ….,m

13.3 完全隨機設計 最後總變異的離均差平方和，是等於組內變異的離均差平方和加上組間變異的離均差平方和，即： 範例 13.3 完全隨機設計 最後總變異的離均差平方和，是等於組內變異的離均差平方和加上組間變異的離均差平方和，即： 範例 試以變異數分析來判別三所大學辦學績效是否有顯著差異。 成大 台大 政大 評審一 9 7 5 評審二 8 6 4 評審三 3 評審四 評審五 評審六

13.3 完全隨機設計 SSW=SSW成+SSW台+SSW政 =12 SSB=SSB成+SSB台+SSB政 13.3 完全隨機設計 成大 台大 政大 評審一 9 7 5 評審二 8 6 4 評審三 3 評審四 評審五 評審六 平均 總平均 SSW=SSW成+SSW台+SSW政 =[(9-8)²+…+(7-8)²]+[(7-6)²+…+(5-6)²]+[(5-4)²+…+(3-4) ²] =12 SSB=SSB成+SSB台+SSB政 =[6(8-6)²+6(6-6)²+6(4-6)²] =48 SST=SSW+SSB=60

13.3 完全隨機設計 在求出上列各項離差平方和後，我們再加以求算它們的不偏變異數。 組內不偏變異數(mean square) ： 13.3 完全隨機設計 在求出上列各項離差平方和後，我們再加以求算它們的不偏變異數。 組內不偏變異數(mean square) ： n為樣本總數，m為組數 組間變異的不偏變異數為：

13.3 完全隨機設計 上述兩個步驟完成後，便可求算其Ｆ值，再用Ｆ分配表檢定組間變異是否顯著，Ｆ值的算法如下： 13.3 完全隨機設計 上述兩個步驟完成後，便可求算其Ｆ值，再用Ｆ分配表檢定組間變異是否顯著，Ｆ值的算法如下： 如果F＞Fα， 即組間變異顯著，代表所檢定的組別 中，最少有一組之平均數是與其他組有顯著差異的， 因此拒絕Ｈ0 如果F＜Fα ，即組間變異不顯著(在α水準下)，無 法拒絕Ｈ0

13.3 完全隨機設計 範例： 假設某電器用品廠商要測定其三家經銷商之平均銷售量是否相同，於是該廠商從甲店上個月各天的銷售量中隨機抽選五天的銷售量，從乙店抽選六天的銷售量，從丙店抽選四天的銷售量，所得資料如表13 – 1 所列。

13.3 完全隨機設計 表 13-1 三家經銷商的銷售量 單位新台幣10萬元： 經銷商 甲 乙 丙 銷售量 14 13 10 17 16 8 13.3 完全隨機設計 表 13-1 三家經銷商的銷售量 單位新台幣10萬元： 經銷商 甲 乙 丙 銷售量 14 13 10 17 16 8 5 12 11 6 9 平均數 變異數 7.5 8.67

13.3 完全隨機設計 針對此一問題我們所發展的假設如下： Ｈ0：μ1＝μ2＝ μ3 ( 三家經銷商的平均銷售量相同 ) Ｈ1：至少一家經銷商的平均銷售量與其他不同

13.3 完全隨機設計 表 13-2 變異數分析表 ( 完全隨機設計 ) 變易來源 SS 自由度 MS F值 組間 ( 實驗變數 ) 66.93 2 MSB=33.47 3.79 組內 ( 誤差 ) 106.00 12 MSW=8.83 總變異 172.93 求出之F值為3.79 < F2,12,0.01值為6.9266，表不顯著，代表在1％的顯著水準下，無法拒絕Ｈ0的假設。換言之，我們並無足夠證據足以顯示這三家經銷商的平均銷售量有所不同。

13.4 隨機集區設計 隨機集區設計係先依據某一外在因素將實驗單位分成若干「集區」( block )，然後再衡量「實驗變數」的效果，其總離均差平方和( SST )可分割成集區離均差平方和( SSBB )、實驗變數離均差平方和( SSB )和誤差平方和( SSE )等三部份：

13.4 隨機集區設計 統一企業有四家生產飲料的工廠，我們想了解此四家工廠的飲料生產平均值是否有差異，隨機選擇三種品牌飲料，請用 5％的 顯著水準檢定不同品牌飲料的平均產出是否相同。 品種 地區 1 2 3 工廠A 15 14 16 工廠B 17 13 18 工廠C 10 12 工廠D

13.4 隨機集區設計 對於上述問研究我們所發展的假設如下：　 Ｈ0：μ1＝ μ2 ＝ μ3 　　 Ｈ1：至少有一個不相等。

13.4 隨機集區設計 表 13-4 變異數分析 ( 集區實驗 ) 變異來源 SS 自由度 MS F值 品種 14 3 – 1 = 2 7 3 集區 28 4 – 1 = 3 28/3 4 誤差 2 * 3 = 6 7/3 就品種方面而言，F=3，而Fα=5.14 (α=0.05, df=2,6)，Fα值大於Ｆ值＝3，故無法拒絕Ｈ0的假設，表示三種品牌飲料的平均產量無顯著不同。

13.5 事後檢定 在顯著水準α下，如果 H0 的假設被推翻時，接著我們會想知道這ｋ組中到底兩兩之間是否有顯著的差異，這就是成對的事後比較。

13.5 事後檢定 ) / 1 ( n WMS t + 各組樣本數相同 1. Tukey’s HSD法 Tu＝ 2. LSD法 T＝ 13.5 事後檢定 各組樣本數相同 1. Tukey’s HSD法 Tu＝ 2. LSD法 T＝ 3. Duncan法 N WMS k Q ) , ( - a ) / 1 ( ' 2 i n WMS t + , k N - a n WMS k N Q ) , ( - a

13.5 事後檢定 各組樣本數不同時 1. 雪費法(Scheffé method) Scheffé法的事後比較是同時討論全體的對比，此一 13.5 事後檢定 各組樣本數不同時 1. 雪費法(Scheffé method) Scheffé法的事後比較是同時討論全體的對比，此一 方法用於樣本數n不相等的一種多重比較技術。 Sc = 2. Bonferroni法 解決型一錯誤的方式是向下調整α，最常用的方法 即是Bonferroni法 B0= n WMS k N F 2 ) , 1 ( - a tα/2m n WMS k 2 ) ( - m =

13.6 多變數的檢定 　 當研究資料中，依變數不再只有一個，而是有多個依變數，此時便需要使用多變數分析。單變異數分析 ( ANOVA ) 程序雖然可以個別計算每個依變數之變異數，但這樣做就會忽略了多個依變數之間的相關。將單變異數分析擴展成多個依變數，稱為多變數分析 ( MANOVA )。

13.6 多變數的檢定 MANOVA 可同時分析兩個或兩個以上的準則變數，為什麼不分別對每一個準則變數進行 ANOVA或 t 檢定即可呢？ 這是因為個別的檢定會忽略依變數間的互動關係，未充分利用所有可用的資訊來評估各群體的整體差異，必然會影響檢定的效力。如果依變數間有複共線性 ( multicollinearity ) 存在，則利用 MANOVA 才能檢測出各準則變數間線性結合的影響 。

13.6 多變數的檢定 以本書範例而言，我們探討工作滿意度及工作績效的不同，檢定個體在敬畏順從的構面下的表現 (包括順從行為、服從行為、敬畏行為、羞愧行為)上是否會有所不同。多變量分析之結果如表13—4所示。

13.6 多變數的檢定 Phillai’s Trace＝1.169 (F＝115.318) 13.6 多變數的檢定 表 13-4 多變數分析 (不同工作績效與滿意度分群在各因素的比較) 構面與因素名稱 中滿意 低績效 n=233 高滿意 高績效 n=77 低滿意 中績效 n=52 F值 P值 Duncan 順從行為 4.3991 5.2208 3.6923 40.321 .000 (3,1,2) 服從行為 4.4893 5.4113 3.5385 71.159 敬畏行為 3.7253 3.5325 4.4808 11.349 (21,3) 羞愧行為 5.1631 6.1169 5.1026 48.709 (31,2) Phillai’s Trace＝1.169 (F＝115.318) Wilk’sλ＝0.132 (F＝143.525)

13.6 多變數的檢定 由上表可得知，不同績效表現分群在「順從行為」、「服從行為」、「敬畏行為」、「羞愧行為」上皆有差異。 13.6 多變數的檢定 由上表可得知，不同績效表現分群在「順從行為」、「服從行為」、「敬畏行為」、「羞愧行為」上皆有差異。 並且就四個變數之線性關係而言，Phillai’s Trace值及Wilk’sλ值均達顯著之水準，可見績效表現的四個變數之線性組合有顯著之差異，而且以高滿意高績效之社群成員其內部順從行為、服從行為、敬畏行為、羞愧行為之程度最高。

13.6 多變數的檢定 本書是以Duncan來做示範，其中(3,1,2)之意義為經過Duncan兩兩T檢定後，第3組、第1組與第2組之平均值則有顯著差異，亦即凡是有打逗點則此組與下一組有顯著差異，(要注意在Duncan欄中組別出現之順序為由小到大之順序)。

13.6 多變數的檢定 表 13-5 多變數分析（不同工作滿意及績效之分群在各研究構面的比較）

13.6 多變數的檢定 由此例我們可推斷出，當部屬的工作滿意度及工作績效越高，其主管的領導方式應當是偏向於仁慈領導或者德行領導，且其部屬會產生順從行為、服從行為、感恩及認同等反應。