第 九 章 虚功原理与结构位移计算

§9-1 结构位移计算概述 一、结构位移的概念 结构变形时，结构上某个点的移动或某个截面产生的移动或转动，称为结构的位移。 §9-1 结构位移计算概述 一、结构位移的概念 结构变形时，结构上某个点的移动或某个截面产生的移动或转动，称为结构的位移。 结构的位移有两大类。一类是线位移，指结构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位移，指结构上某截面转动的角度。 绝对位移：线位移和角位移——杆件结构中某一截面位置或方向的改变。 相对位移：相对线位移和相对角位移——两个截面位移的差值或和。 广义位移：绝对位移和相对位移的统称。

FP D A B C ⊿DV φC ⊿CV D’ ⊿CD C’ ⊿CH φCD

二、产生位移的原因 （3）支座沉降、制造误差 （1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩 以上都是绝对位移 以上都是相对位移 广义位移 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便

三、计算位移的目的 四、体系（结构）的物理特性 （1）刚度验算； （2）超静定结构分析的基础； （3）施工措施、建筑起拱、预应力等。 本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算的理论基础是虚功原理，计算的方法是单位荷载法。 线性变形体系是指位移与荷载成线性关系的体系，当荷载全部撤除后，位移将完全消失。

此体系的应用条件是： （1）应力、应变满足虎克定律； （2）变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位置不变，位移计算可用叠加原理； （3）体系几何不变，约束为理想约束。 非线性体系： （1） 物理非线性； （2）几何非线性（大变形）。

§9-2 虚功和虚功原理 一、虚功 一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积来衡量。 （9-1） W=PΔ §9-2 虚功和虚功原理 一、虚功 一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积来衡量。 （9-1） W=PΔ 实功是力在自身引起的位移上所作的功。 虚功是力在虚位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 把此式的定义扩大： W —功，单位是N·m P—力 Δ —与力相应的位移

1、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。 与力有关的因素，称为广义力S。 与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：W=PΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β，即角位移。

3）若广义力是等值、反向的一对力P 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m 这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m P A B A B m 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 Δ A B 表示AB两截面的相对转角。

2、虚功 为了与实功相区别，虚功的虚是指力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。 虚功 = 力 × 相应于力的位移 独立无关

二、刚体体系虚功原理的两种应用 即： W e = 0 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 即： W e = 0 理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。 刚体 ——具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒为零。 （9-2）

虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的基础。 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为虚设的。 根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，解决两类不同的问题。 虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，也适用于变形体体系。

1、求静定结构的未知约束力 应用虚功原理计算静定结构某一约束力X（包括支座反力或任一截面的内力）步骤如下： （1）撤除与X相应的约束，代以相应的约束力X，使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约束力X变成主动力X，X与原来的力系维持平衡。 （2）令机构发生一刚体体系的可能位移，沿X正方向相应的位移为单位位移，即δx=1，这时，与荷载P相应的位移为δp，得到一个虚位移状态。

（3）在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程 X·1+ΣP δp=0 （4）求出单位位移δx=1与δp之间的集合关系，代入虚功方程，得到 X=-ΣP δp 这种求约束力和内力的方法，称单位位移法。见教材P137例9.1

2、求静定结构的未知位移 例1： 图示简支梁，支座A向上移动一已知距离c1 ,现在拟求B点的竖向线位移ΔB。 △B 解：已给位移状态; 虚设力状态，在拟求位移ΔB方向上加一单位荷载FP=1，形成平衡力系。 c1 △B FP=1 FR1= - b/a

a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设FP=1，称为虚单位荷载法。 虚功方程： c1 △B FP=1 FR1= - b/a △B · 1+c1·FR1 =0 FR1 = - b/a 由平衡方程求出： △B=FP·c1=b/a ·c1 注： a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设FP=1，称为虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静力平衡求解几何问题。 c、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与c1相应的R1,即利用平衡方程求解几何问题。 上述方法也可称为“单位荷载法”

d、通过上例可推出静定结构支座移动时，位移计算的一般公式。 注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。

3、支座移动时静定结构的位移计算（属刚体体系的位移计算问题） 当支座有给定位移ck时（可能不止一个）， （a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力FRK。 （b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程： （9-3） （c）由虚功方程，解出所求位移： （9-4）

例1: φC ⊿CV 图示三铰刚架，支座B下沉c1，向右移动c2。求铰 C的竖向位移⊿CV和铰左右截面的相对角位移φC。 l c1 c2

φC ⊿CV =-∑FRKcK= FP=1 l/2 l c2 ⊿CV 实际状态 虚拟状态 1/4 1/4 1/2 1/2

φC=-∑FRK cK= φC 1 /l 1 /l - [-1/l×c2]= c2 /l ( ) MP=1 ⊿CV l 实际状态 c2

虚功方程： 解：①在B处加铰（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。  例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移 。 解：①在B处加铰（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。  B A ②A点加单位荷载FP=1，在铰B处虚设一对弯矩M（为保持平衡） B A 1 虚功方程： A B 

解：①、在B截面处加机构如图（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。 例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 。 解：①、在B截面处加机构如图（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。  B A ②、A点加单位荷载FP=1，在铰B处虚设一对剪力Q（为保持平衡） B A 1  A

由平衡条件： 虚功方程：   当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有： 例4、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 。  由平衡条件： B A 虚功方程： B A  1 B A 当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：

§9-3 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。 推导位移计算一般公式有几种途径： 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一般公式。 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公式。

一、局部变形时的位移计算公式 基本思路： （1）三种应变： 设静定结构中的某个微段ds出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，仍然是刚体，分析局部变形所引起的位移。 ds ds ds ds A  R R B （1）三种应变： 弯曲应变 R为杆件轴向变形后的曲率半径 轴线曲率

轴向伸长应变 平均剪切应变 ds R  A B （2）微段两端相对位移：  1

续基本思路： 设 三种相对位移还存在，相当于整个结构除B截面发生集中变形外，其他部分都是刚体未变形，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求局部变形位移。 （3）应用刚体虚功原理求出点A的位移d－即前例的结论。 或 （9-5）

二、结构位移计算的一般公式 由叠加原理： 总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小  由叠加原理： 总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小 位移d⊿ 如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为： 若结构的支座还有给定位移，则总的位移为： （9-6）

其中包含： （9-7） 弯曲变形对位移的影响 （9-8） 轴向变形对位移的影响 （9-9） 剪切变形对位移的影响 （9-10） 单位荷载虚功 = 所求位移 其中包含： （9-7） 弯曲变形对位移的影响 （9-8） 轴向变形对位移的影响 （9-9） 剪切变形对位移的影响 （9-10） 支座移动对位移的影响

各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即： 变形体虚功原理 各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即： （9-11） （9-12）

适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。【给出已知变形（内部变形κ、ε、γ0 和支座位移ck），与拟求位移⊿之间的关系。】 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。 （3）结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。 （4）材料种类：弹性与非弹性，各种变形固体材料。

位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。 1 ds ds K ds ds ds ds ds 外虚功： 内虚功：

三、结构位移计算的一般步骤 已知结构杆件各微段的应变κ、ε、γ0（根据引起变形的原因而定），支座移动ck，求结构某点沿某方向的位移⊿。 1、沿欲求⊿方向设FP=1。 2、根据平衡条件求出FP=1作用下的M、FN、FQ、 FR。 3、根据公式 可求出⊿。 注意正负号： ①求得⊿为正，表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方向一致。 ②位移计算公式中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积为正，反之为负。

§9-4 荷载作用下的位移计算 一、荷载作用下的结构位移计算公式 （9-6） §9-4 荷载作用下的位移计算 一、荷载作用下的结构位移计算公式 根据公式 （9-6） 本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微段应变 κ、 ε 、 γ0 是由荷载引起的（实际位移状态），由荷载—内力—应力—应变顺序求出。

由材料力学公式可知： 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应变可表示为： 弯曲应变： κ = MP /EI 轴向应变： ε = NP /EA (9-13) 平均剪切应变： γ0= k QP /GA

式中： ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的内力。 ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。 ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。 ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯刚度。 ⑤k是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均匀系数） 计算公式 （9-14）

将（9-14）代入（9-6）可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式： （9-15） 将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。 正负号规定： N 、 NP 拉力为正； Q 、 QP 同材料力学 M、 MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。

二、各类结构的位移计算公式 （1）梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。 （2）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。 （9-16） （2）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。 （9-17）

（3）组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。 （9-18） （4）拱： ①扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时： （9-19） ②通常情况： （9-20）

三、 荷载作用下的位移计算举例 例: 简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点C的竖向位移⊿CV 和截面B的转角φB。 FP=1 例: 简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点C的竖向位移⊿CV 和截面B的转角φB。 解：求C点的竖向位移。 虚拟状态如图； FP=1 实际状态 虚拟状态 MP=q(lx-x2)/2 M=x/2 1/2 Q=1/2 QP=q(l-2x)/2 因对称性，只计算一半。

⊿Q / ⊿M = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响： 设简支梁为矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 横向变形系数 μ=1/3, E/G=2(1+ μ)=8/3。 ⊿Q / ⊿M = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2·k·E/G ·I /A = 2.56(h/l)2

对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 当 h/l =1/10时, 则：⊿Q / ⊿M =2.56﹪ 对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但当梁h/l＞1/5时, 则：⊿Q / ⊿M =10.2﹪ 则对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。

计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。 求截面B的转角φB 。 虚拟状态如图所示。 实际状态 虚拟状态 MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l M=1 1/l 1/l 计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。

例: 试求顶点C的竖向位移。 解： （1）求NP 先将均布荷载q化为结点荷载FP=ql/4 。 求结点荷载作用下的FNP 。 图示一屋架，屋架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆采用钢杆。 试求顶点C的竖向位移。 解： （1）求NP 先将均布荷载q化为结点荷载FP=ql/4 。 求结点荷载作用下的FNP 。

1 FNP 1 1 0.278l 0.263l 0.088l 0.444l - 4.42 1/2 - 4.74 1.50 - 0.95 4.50 3.00 2.0 （2） 求 FN 1 -1.58 0.278l 0.263l 0.088l 0.444l -1.58 1.5 1.5 0.5

§9-5 图乘法 一、图乘法的适用条件 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为： （1）杆轴为直线； 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分： 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为： （1）杆轴为直线； （2）杆段 EI = 常数； （3）M和MP中至少有一个是直线图形。

二、图乘公式 M为直线图形， MP 为任意图形。 由M图可知： M= y= x tanα O’ dA=MPdx 图示为AB杆的两个弯矩图。 C MP图 A B dx 该杆截面抗弯刚度EI=常数。 M图 由M图可知： yC y α O x M= y= x tanα xC

由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值⊿就等于MP图的面积A乘其形心所对应M图上的竖标yC，再除以EI。 1 EI ⊿= A xC tana xC tana=yC 1 EI ⊿=∫(M MP /EI)ds= ·A·yC （9-21） 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值⊿就等于MP图的面积A乘其形心所对应M图上的竖标yC，再除以EI。 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。

三、应用图乘法计算位移时的几点注意 1、应用条件： 杆段必须是分段等截面（直杆）；EI不能是x的函数；两图形中必有一个是直线图形，yC取自直线图形中。 2、正负号规定： A与yC同侧，乘积 A yC取正； A与yC不同侧，则乘积A yC取负。 3、几种常用图形的面积和形心位置： 见书P.146,图9.13，注意正面积和斜面积是相同的。 曲线图形要注意图形顶点位置。

4、如果两个图形均为直线图形，则标距yC可取自任何一个图形。 A2 A1 A3 5、当yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行。在折点处分段图乘，然后叠加。（为什么？） y1 y2 y3 当杆件为阶段变化杆件时（各段EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。（为什么？）

6、把复杂图形分为简单图形 （使其易于计算面积和判断形心位置） 6、把复杂图形分为简单图形 （使其易于计算面积和判断形心位置） 取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。

yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3c yC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c （1）、如两图形均为梯形，不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。 C D a C1 b MP C2 B A MP=MP’+MP’’ yC2 d yC1 M c ⊿=(1/EI)∫MMPds =(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds l C a ⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2] C1 MP’ A D yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3c D MP’’ yC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c b C2 A B ⊿= l 6EI (2ac+2bd+ab+bc)

⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2] (2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。 a C1 MP A B C2 O b D ⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2] c yC1 其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2= (2d/3 - c/3) M yC2 d l a C1 MP’ ⊿= l 6EI (2ac+2bd-ab-bc) MP’’ C2 b

（3）、一般情况 右图所示为某一段杆(AB)的MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与M图图乘，图乘后叠加。

四、示例 例1、求悬臂梁中点C的挠度⊿CV，EI=常数。 解： （1）、设虚拟力状态如图，作M和MP。由于均为直线图形，故AP可任取。 FP l/2 l/2 FP l FP M: A=1/2×l/2×l/2=l2/8 MP 5FP l/6 MP: yC=5/6×FP l A ⊿CV=A·yC /EI =(l2/8×5/6×FP l)/EI 1 l/2 M =5FP l3/48EI (↓)

(2)、讨论 若： AP=1/2×FPl×l=Pl2/2 yC=1/3×l/2=l/6 ⊿CV=AP·yC /EI =(FPl2/2×l/6)/EI =FP l3/12EI(↓) 对否？错在哪里？ l/2 l/2 AP FP l FP MP 1 l/2 M l/6

3、正确的作法 FP ⊿CV l/2 l/2 AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 y1=l/3 ⊿CV=∑AP·yC/EI =(FP l2/4×l/3+ FP l2/8× l/6+FP l2/8 ×0)/EI =5FP l3/48EI (↓) 1 l/2

例: EI=常数 解: 1、作荷载作用下结构的弯矩图。 12kN 72kN 图示刚架，用图乘法求B端转角θB ; CB杆中点D的竖向线位移⊿DV。各杆EI=常数。 60kN EI=常数 12kN 72kN 解: 1、作荷载作用下结构的弯矩图。

45=1/8×10×62 252 1 M=1 90 MP图 (kN•m) M 2、作虚拟力状态下的图M。 3、求θB。图乘时注意图形分块。 C2 252 y1 1 y2 M=1 C1 C3 12*6+1/2*10*62=252 y3 12*6+60*3=252 C4 y4 1/4*60*6=90 90 MP图 (kN•m) M 2、作虚拟力状态下的图M。 3、求θB。图乘时注意图形分块。 1/2*90*1/2*6*2/3+ 1/2*90*1/2*6*1/3=1/2*90*6 * (1/2)

45/4=1/32ql2 C3 45 y1 1 252 C1 y3 y2 3 C4 C2 81 y4 C5 y5 90 MP图 (kN•m) M (m) 4、作虚拟力状态下的图 M。 5、求⊿CV，图乘时注意图形分块。

例： q=16kN/m EI=5×104 kN·m2 。 16kN•m 解： 作荷载作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图。 16kN•m 求铰C左右截面相对转角θC。 各杆 EI=5×104 kN·m2 。 解： 作荷载作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图。 （注意：①斜杆弯矩图的做法；②各弯矩图的单位。） 16kN•m 16kN•m 64kN•m 64kN•m

θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) 32=1/8×16×42 32 θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI kN·m m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向与虚拟力方向一致。

§9-6 静定结构温度变化时的位移计算 ①组成：无多余约束的几何不变体系； 平面杆件结构位移计算的一般公式 §9-6 静定结构温度变化时的位移计算 平面杆件结构位移计算的一般公式 在此：ε，γ， κ由温度作用引起。 注意静定结构特征： ①组成：无多余约束的几何不变体系； ②静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。 温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。

1、温度变化时静定结构的特点： （1）有变形（热胀冷缩） 均匀温度改变（轴向变形）； 不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）； 无剪切变形。 （2）无反力、内力。

2、微段由于温度改变产生的变形计算 设温度沿截面厚度h直线变化。 （1）轴向伸长（缩短）变形： 设杆件上边缘温度升高t10，下边缘升高t20。形心处轴线温度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不对称于形心轴时） t0 =(t2+t1)/2 （截面对称于形心轴时） du = εds = α·t0 ds α ——材料线膨胀系数。 +t1 αt1ds du h1 形心轴 h t0 dφ h2 +t2 αt2ds ds

γds =0 (2) 由上下边缘温差产生的弯曲变形： 上下边缘温差 ⊿t = t2 – t1 dθ= κds = α(t2-t1)/h ds=α⊿t /h ds （3）温度作用不产生剪切变形 γds =0 3、温度作用时位移计算公式 （9-22）

如t0，⊿t和h沿每杆杆长为常数，则： （9-23） ①正负号：轴力FN以拉力为正，t0以温度升高为正。弯矩M和温差Δt用其乘积定正负号，比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若使杆同侧产生拉伸变形时，则取正号，反之，则取负号。 ②刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。

-100C 例： 图示刚架，施工时温度为200C，试求冬季当外侧温度为-100C，内侧温度为00C时，点A的竖向位移⊿AV，已知α=10-5，h=40cm（矩形截面）。 -300C A l=4m -200C 00C l=4m 外侧温度改变：t1= - 10 – 20 = - 300 内侧温度改变：t2 = 0 – 20 = - 200

⊿AV= α×(-25) ×(-1) ×l+(-)α×10/h× -300C FP=1 FP=1 l A FN=0 FN= -1 -200C l=4m M FN l=4m t0=(t1+t2)/2=（ -30–20）/2= - 250 ⊿t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100 ⊿AV= α×(-25) ×(-1) ×l+(-)α×10/h× (1/2×l×l+l×l) = - 0.5 cm ( ↑ )

提问： （1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求结构的位移，应如何处理？ 应根据位移计算的一般公式进行讨论。 特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找κ、ε、γ即可。

（2）、静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？ 可先分开计算，在进行叠加

§9-7 线性变形体系的互等定理 一、功的互等定理 贝蒂（ E. Betti 意 1823—1892）定理 §9-7 线性变形体系的互等定理 一、功的互等定理 贝蒂（ E. Betti 意 1823—1892）定理 ⊿12 FP1 FP1 FP2 ⊿12 ⊿21 ds ds 状态Ⅰ 状态Ⅱ FR1 令状态Ⅰ上的力系在状态Ⅱ的位移上作虚功

令状态Ⅱ上的力系在状态Ⅰ的位移上作虚功 比较（a）、（b）两式，知： W12=W 21 （9-24） 或写为： ∑FP1⊿12= ∑FP2⊿21 虚功W有两个下标，第一个下标表示做功的力系状态，第二个下标表示相应的变形状态。

功的互等定理： 功的互等定理应用条件： （1）材料弹性，应力与应变成正比。 （2）小变形，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功W12，等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功W21。 功的互等定理应用条件： （1）材料弹性，应力与应变成正比。 （2）小变形，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。

应用时注意： ⊿21 ⊿12 FP1 M2 M2 广义力 广义位移 对应 由：W12=FP1·⊿12 ， W21=FP2·⊿21 广义力 广义位移 对应 由：W12=FP1·⊿12 ， W21=FP2·⊿21 有：W12=W21， FP1·⊿12=FP2·⊿12

二、位移互等定理 （位移影响系数互等） 位移互等定理是功的互等定理的一个特殊情况。 位移互等定理： 二、位移互等定理 （位移影响系数互等） 位移互等定理是功的互等定理的一个特殊情况。 位移互等定理： 在任一线性弹性体系中，由单位荷载FP2=1所引起的与荷载FP1相应的位移δ12，等于由荷载FP1=1所引起的与FP2相应的位移δ21。

δ21 δ12 两种状态如图示 FP1=1 δij—单位力FPj=1在i方向上引起的与FPi相应的位移，也称位移系数。 由功的互等定理 W12 = W21 FP1·δ12= FP2·δ21 ∵ FP1= FP2=1 ∴ δ12= δ21 (9-25) 注：数值相同，量纲相同。 FP1=1 δ21 FP2=1 δ12

例：如图所示，根据位移互等定理，可求得： θA=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI 现 FP=M=1, 故:θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力） θA ：单位力引起的角位移； fC ：单位力偶引起的线位移。 位移含义不同，但数值相同，量纲相同。

三、反力互等定理 反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理） 功的互等定理的一种特殊情况。 用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。

⊿1=1 k11 k21 ⊿2=1 k12 k22 同一线性变形体系中的两种变形状态 kij—支座j发生单位位移⊿j=1时，在支座i处产生的反力，也称反力影响系数。 kij=Kij/⊿j

由功的互等定理： W12 = W21 k12·⊿1= k21·⊿2 ∵⊿1= ⊿2=1 ∴ k12= k21 (9-26) 即为反力互等定理。

反力互等定理 在任一线性变形体系中，由单位支座位移⊿1=1所引起的，与支座位移⊿2相应的支座反力k21 ，在数值上等于由单位支座位移⊿2所引起的与支座位移⊿1相应的支座反力k12。 注：数值相等，量纲相等。

k21 k31 k12 k32 k12(力偶）= k21 (力） k13 k13 (力偶） = k31 (力） k23 Δ1=φ1=1 定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。 如图： k21 k31 Δ2=1 k12 k12(力偶）= k21 (力） k32 k13 k13 (力偶） = k31 (力） Δ3=1 k23 = k32 k23 单位支座位移可以换成与该约束相应的广义位移，而支座反力则可以换成与该约束相应的广义力。

复习： 位移计算的一般公式： 提问：此公式的理论依据是什么？ （1）式中包括哪两套物理量？ （2）应用范围？ 位移，应变（ ⊿ c ε γ0 κ ） 给定的 外力，内力（ FP R FN FQ M ） 虚拟的 （2）应用范围？ （3）位移计算公式在各种具体情况下的简化公式：

荷载作用： 支座移动： 温度变化：

（4）图乘公式： （5）、互等定理： 功的互等定理： W12 = W21 位移互等定理： δ12= δ21 反力互等定理： k12= k21 注意其适用条件，正负号，图形分段、分块。熟练其计算方法。 （5）、互等定理： 功的互等定理： W12 = W21 位移互等定理： δ12= δ21 反力互等定理： k12= k21 注意其适用条件，应用范围，加深理解。

思考题:判断下列图乘是否正确? 图乘结果:

思考题:判断下列图乘是否正确? 图乘结果:

作业： 9.1、9.5、9.9、9.7（用图乘法） 9.22、9.25、9.27、9.31、9.32