Week 4,5 隨機變數 (Random Variable)

離散型(Discrete) 離散型 (discrete variable) ：離散型的變數一般為類別 (category) 或變數取值有一定的間隔。 類別例如性別,老中青(年齡分類別),職業別,婚姻狀 況別,學歷,種族,自殺方式,住地,遺傳基因,或學院… 等所有分門別類或分組。 變數取值有一定的間隔,例如每家中人口數, 每家中 投票數,每週外食天數,每週唸書時數(>8, 6-8, 4-6, 2- 4, <2), 缺課次數(0, 1-3, 4-5, 6-10, >10)…等數值變 數。(一般取值範圍較少或分組)

連續型(Continuous) 變數取值間可小到任意“小”的程度 (忽略儀器的測量極限,而且“小”的程度視問題而定) 例如身高,收入,花費,體重,生物測量值,分數,國家人口數,投票數(一般取值範圍較廣) 此地“任意小”或“間隔”往往必須視問題而 定，例如每家小孩數目可視為離散變數；然而， 若各國之人口數目則可視為連續變數。

2016總統大選投票人數 台北市 148 萬/218 新北市 215 萬/320 桃園縣 109 萬/163 新竹市 22 萬/33 台中縣市 146 萬/214

隨機變數 (Random Variable) 連續型 實際上，連續的變數為一種理想狀況，僅為方便分析或建立模式用。 例如收入，二者之收入有一定間隔（錢幣之最小單位），但一般仍視為連續變數。 連續的變數可經由分組而離散化 離散的變數亦可藉由數量化而連續化 (例如，住地變成距離、教育水準變成教育年數）。

隨機變數 以大寫字母 X, Y, Z 代表 當取一組資料數 小寫代表數值 會有如此的表式 P (X = x)

如何描述隨機變數:離散型 OR Probability density function (p.d.f.) （機率密度函數） f(x) Probability mass function OR Probability density function (p.d.f.) （機率密度函數） f(x) Cumulative distribution function (c.d.f.) (累積分配函數) F(x)

p.d.f.:離散型機率密度函數

連續型 Probability density function (p.d.f.) （機率密度函數） Cumulative distribution function (c.d.f.) (累積分配函數)

連續型機率密度函數

Bernoulli（白努力分布） 例如：同意與否； 有生病與無生病； 有感染與否； 事件有無發生； 零件作用與否； 系統作用與否； 動物有被捕取與否。

伯努利家族 （Bernoulli family, 17-18世紀） 瑞士數學家族，祖孫三代出過十餘位數學家和物理學家。其中有三個人成就最大： 雅各布．伯努利(Jacob Bernoulli) 約翰．伯努利(Johann Bernoulli):雅各布之弟 丹尼爾．伯努利(Daniel Bernoulli):約翰之子

雅各布．伯努利 (Jacob Bernoulli) 分別於1671和1676年獲得哲學和神學學位，受笛卡兒、沃利斯等人的著作影響，轉向數學研究。主要貢獻有：極座標的早期使用， 1690年首先使用數學意義下的「積分」一詞 ,1713年出版《猜度術》，給出「伯努利數」、「伯努利大數定理」等結果。

約翰．伯努利 （Johann Bernoulli） 1691年時在巴黎當過洛必達的私人教師，解出懸鏈線問題，1694年最先提出「洛必塔法則」。1695年到格羅寧根大學教數學，第二年提出「最速降線問題」，後得到正確解答，引發變分學的研究。曾當過歐拉的教師，給他以特別指導。

丹尼爾．伯努利 （Daniel Bernoulli） 1728年與歐拉一起研究彈性力學，1738年出版《流體動力學》，給出「伯努利定理」等流體動力學的基礎理論。

二項分布 (Binomial Distribution) 作了 n 次獨立白努力實驗每次成功機率均為p Ｘ： n 次中得到成功之個數 X=0, 1, 2, …,n 例如： 核能廢料運送100次輻射外洩次數； 測試某零件200個其中不良品之個數； 城市感染某病之人數； 歸還取樣中同意之人數。

為何稱二項分布？ 源自二項展式 令

丟三個骰子, 6 出現次數 =0,1,2,3 P(不出現) = f(0) P(出現1次) = f(1) P(出現2次) = f(2) 丟三個骰子, 6 出現次數 =0,1,2,3 P(不出現) = f(0) P(出現1次) = f(1) P(出現2次) = f(2) P(出現3次) = f(3)

P(出現1次) = f(1) 6 X X p (1-p)(1-p) X 6 X (1-p)p(1-p) X X 6 (1-p)(1-p)p

P(出現2次) = f(2) 6 6 X p p (1-p) X 6 6 (1-p) p p 6 X 6 p (1-p) p

一般 Binomial (n, p) K 成功 p p p…p = pk n-k 失敗 (1-p)(1-p)….(1-p) = (1-p)n-k 共有 C (n,k) 情形

幸運輪盤(wheel of fortune) 冒險家自 1-6 中任選一個數字，下注一元。莊家丟三個骰子，若選定的數字出現 i 次， i =1,2,3 則莊家賠 i 元，若該數字沒出現則冒險家輸，賭注歸莊家。冒險家平均勝算有多少？

幸運輪盤其實不幸運 冒險家贏1元之機會 P(出現1次) 冒險家贏2元之機會 P(出現2次) 冒險家贏3元之機會 P(出現3次) 故平均而言,冒險家輸贏：

丟2n次銅板，恰有n 個正面n 個反面的機會 丟2次銅板，恰有1個正面，1 個反面的機會 丟4次銅板，恰有2個正面，2 個反面的機會 丟10次銅板，恰有5個正面，5 個反面的機會 丟100次銅板，恰有50個正面，50 個反面的機會 無窮多次(偶數)，恰有一半正面，一半反面的機會

丟2n次銅板，恰有n 個正面n 個反面的機會

卜瓦松分布 (Poisson) 例如：在某一固定時間；描述重大意外事件之次數或頻率；某時間內捕取動物之數目；某地區感染疾病之人數。λ用來表示發生次數之平均值

卜瓦松 (Poisson, Simeon-Denis) Poisson是一位數學家，力學家和物理學家，在科學上的著作量很大，內容包含數學、物理與天文，現在數學中的Poisson過程、Poisson分配、Poisson定律...都是為了紀念這位數學家的貢獻。 Poisson主要的數學貢獻之一是研究 Fourier 級數，為日後 Dirichlet 與 Riemann 的工作打下基礎

卜瓦松小故事 關於他的有趣的傳說，在他還是嬰兒時期時，是由一個保姆帶大的，有時候，這保姆會出去外面辦事情，為了怕Poisson到處亂跑弄亂東西，以及接觸到地上不乾淨的東西而生病，於是他天才的保姆就用布把他包起來，並吊在牆壁上，Poisson說被吊著擺來擺去，就是他一天最重要的運動，而他也因為從小就接觸擺動，於是他晚年都在研究''擺''，因為這對他來說，是再熟悉不過。

被馬踢死人數 騎兵隊數 機率分布 配適數目 144 139(280x0.497) 1 91 97(280x0.348) 2 32 Bortkiewicz’s Data（1868－1931：最早的Poisson Data） 被馬踢死人數 騎兵隊數 機率分布 配適數目 144 139(280x0.497) 1 91 97(280x0.348) 2 32 34(280x0.122) 3 11 8(280x0.028) 4 2(280x0.005) Total : 280（平均值＝0.7）

地震的模式 在1901-2000百年間，全球有37年無強震(六級以上) ，26年有一次六級以上強震，23年有兩次，8年有三次，1年有四次，2年有五次，2年有六次，1年有七次，共129次，平均 1.29次。試以卜瓦松模式描述此數據。

地震的模式

酵母菌的個數模式

疾病的模式 1986年，美國德州某郡發生了18個百日咳病例(當時該郡人口2,942,550)若百日咳全國罹病率為1.2/100,000人，則該地是否可適用全國罹病率？ (假設該地區發生百日咳病例為卜瓦松分布，若全國罹病率適合，則可利用卜瓦松分布且=1.2*29.4255=35.31，計算在此情況下人數少於或等於18的機率有多少？)

超幾何分布（Hypergeometric Distribution） 假設在人群中有 m 個男性, n 個女性,任取 r 個人（不歸還取樣） 令X：男性的個數, max(0, r-n)≦x≦min(r, m) 例如：不歸還抽樣中滿意施政之人數；重複捕取中有記號之動物。

超幾何函數

20男, 10女不歸還取樣範圍 X：男性的數目 任抽5人，男性人數 X=0, 1, 2, …, 5 X=0, 1, 2, …, r X=max(r-n, 0), …, r 任抽22人，男性人數 X=12, 13, …, 20 X=max(r-n, 0), …, min(r, m)

20男，10女不歸還取樣5人 男性人數 = 2, 女性人數 = 3 (男男女女女) 機會 = (男女男女女) 機會 = (女女男男女) 機會 = 總共 =

超幾何分布（Hypergeometric Distribution） 假設在人群中有 m 個男性, n 個女性,任取 r 個人（不歸還取樣） 令X：男性的個數, max(0, r-n)≦x≦min(r, m) 例如：不歸還抽樣中滿意施政之人數；重複捕取中有記號之動物。

二項分布 20男10女，歸還取樣5人 男性人數=2，女性人數=3 (男男女女女)機會= = (男女男女女)機會= = 總共= 二項分布

幾何分布(Geometric Distribution) X：要抽多少次才會得到第一個成功呢？ X=1,2,… P(X=1)= p P(X=2)= P(X=3)= … P(X=k)= 幾何序列

負二項分布 NB(r,p) （Negative Binomial Distribution） X =等到第r次成功之次數, X = r，r+1，…… 或令 Y = X – r, Y = 0, 1, … 特例：r = 1稱為幾何分布（Geometric Distribution） 例如：歸還抽樣中至抽到50個男性停止；動物捕取中直到抽到某一稀有種為止。

負二項分布 NB(r,p) P(X=k)=P(第k次為第r個成功) =P(第k次為成功 且 前面(k-1)次 有(r-1)成功 (k-1)失敗) =

另一種形式 Y=X-r Y：在得到第r個成功前，失敗的次數 Y=0,1,2,… P(Y=k)=P(X=k+r) =

為何稱為負二項分布 源自負二項展式

離散均勻分布（Discrete Uniform Distribution） 例題：擲骰子點數的分布、生日的分布、 彩卷數字分布。

離散均勻分布 生日分布 X =1,2,…,12

離散均勻分布 樂透數字分布 X =1,2,…,42

多項分布（Multinomial Distribution） MN(n;p1,p2,…,pK) ㄧ地區中有種類為j 之比率為 今歸還取樣n 次 令 為 n 次中種類為j 之數目 例如：某一地區鳥種之分布、人類血型之分布、 數種基因形式之分布等。

多項分布(Multinomial舉例) 某地A種佔50% , B種佔30% , C種佔20%

利用R計算各項分配 Poisson分配機率的算法： 隨機生成Poisson資料(n:生成筆數) 計算Poi(lambda)在x的機率密度函數 rpois(n, lambda) 隨機生成Poisson資料(n:生成筆數) dpois(x, lambda) 計算Poi(lambda)在x的機率密度函數 ppois(x, lambda) 計算累積機率 p=P(X<=x) qpois(p, lambda) 算出百分位點 p=P(X<=x)對應的x值

以講義的卜瓦松分布之被馬踢死人 數例題來說明(平均值=0.7)： #做”被馬踢死人數”實驗10次 rpois(10, 0.7) #被馬踢死人數等於1時的機率 dpois(1, 0.7) #被馬踢死人數小於等於5的機率 ppois(5, 0.7) ; sum(dpois(0:5, 0.7)) #算出百分位點0.4=P(X<=x)對應的 x值 qpois(0.4, 0.7) 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0.3476097 0.99991 0.99991

Binomial分配機率的算法 隨機生成Poisson資料(n:生成筆數) 計算Ber(size,prob)在x的機率密度函數 rbinom(n, size, prob) 隨機生成Poisson資料(n:生成筆數) dbinom(x, size, prob) 計算Ber(size,prob)在x的機率密度函數 pbinom(x, size, prob) 計算累積機率 p=P(X<=x) qbinom(p, size, prob) 算出百分位點 p=P(X<=x)對應的x值

Binomial分配機率的算法 若X為5次白努力實驗中得到成功之個數，成功的機率為0.4 #生成三次結果 rbinom(3, 5, 0.4) #計算兩次成功的機率 dbinom(2, 5, 0.4) #計算成功次數小於等於4的機率 pbinom(4, 5, 0.4) ; sum(dbinom(0:4, 5, 0.4)) #算出百分位點0.8=P(X<=x)對應的 x值 qbinom(0.8, 5, 0.4) 1 3 3 0.3456 0.98976 0.98976 3

Hypergeometric 分配機率的算法 rhyper(nn, m, n, k) 隨機生成Hypergeometric資料 (nn:生成筆數；m、n:兩類個數；k:抽取個數) dhyper(x, m, n, k) 計算Hyp(m,n,k)在x的機率密度函數 phyper(x, m, n, k) 計算累積機率 p=P(X<=x) qhyper(p, m, n, k) 算出百分位點 p=P(X<=x)對應的x值

Hypergeometric 分配機率的算法 #若一班中男生有15人，女生有20人，現任取5人 #生成三次結果(結果為抽到的男生人數) rhyper(3, 15, 20, 5) #計算抽到兩位男生的機率 dhyper(2, 15, 20, 5) #計算抽到男生人數小於等於4的機率 phyper(4, 15, 20, 5) ; sum(dhyper(0:4, 15, 20, 5)) #算出百分位點0.4=P(X<=x)對應的 x值 qhyper(0.4, 15, 20, 5) 3 2 3 0.3687252 0.9907495 0.9907495 2

Negative Binomial分配機率的算法 ※R為白努力實驗中直到size次成功所需”失敗”次數 rnbinom(n, size, prob) 隨機生成Negative-Binomial資料 (n:生成筆數；size:直到size次成功；prob:成功機率) dnbinom(x, size, prob) 計算NB(size,prob)在x的機率密度函數 pnbinom(x, size, prob) 計算累積機率 p=P(X<=x) qnbinom(p, size, prob) 算出百分位點 p=P(X<=x)對應的x值

Negative Binomial分配機率的算法 #若X為白努力實驗中直到10次成功所需"失敗"次數，成功的機率為0.6 #生成五次結果 rnbinom(5, 10, 0.6) #計算所需"失敗"次數為2的機率 dnbinom(2, 10, 0.6) #計算所需"失敗"次數小於等於5的機率 pnbinom(5, 10, 0.6) ; sum(dnbinom(0:5, 10, 0.6)) #算出百分位點0.8=P(X<=x)對應的 x值 qnbinom(0.8, 10, 0.6) 9 6 4 9 5 0.05321023 0.4032156 0.4032156 9