Euler(歐拉) Euler（1707～1783）生於 Basel(巴塞爾) ，卒於Saint Petersburg(聖彼得堡)。瑞士數學家 。 Euler 生於公元1707年4月15日，但隨即其家庭就搬到 Basel 近郊的 Riehen。 Euler 的父親 Paul Euler 是一名加爾文教派的教師 。大學求學期間在Jacob Bernoulli 家住過 。 Paul期望Euler成為神學家 。

柏 努 力 家 族 世居瑞士的柏努利家族 (Bernoulli family) 是數學史和科學史上最傑出的家族之一，他們從十七、十八兩世紀以來，三代中出現了八位非常了不起的數學家和科學家，柏努利家族在十七、十八世紀的微積分的發展和應用上扮演著領導的角色，既使是對現代數學演變作最簡明的敘述，也無法把他們的貢獻一筆帶過。 柏努利家族是於1583年為了躲避天主教徒對新教徒的大屠殺而由安特衛普（Antwerp，現為比利時北部的一海港）逃亡的許多新教家族之一。他們最初逃至法蘭克福，後來再遷往瑞士，在貝塞爾 (Basel) 地方定居下來，柏努利家族的先祖並與貝塞爾地方最古老的家族之一通婚，成為一個大商人。

Euler與Bernoulli 家族 Euler 常與Johann I Bernoulli 學習數學 ，而與Daniel I (丹尼爾I)私交不錯。 Jacob II (傑可布II)與Euler的孫女結婚。 Euler 讀大學時既接觸 Bernoulli 家族，這個宣傳數學真理的家族 。 Johann Bernoulli 勸Paul說「Euler 註定要成為大數學家，而非 Riehen 的鄉村牧師。」

Leonhard Paul Euler

舊瑞士的10法朗鈔票

Euler 的求學過程 1722年(15歲) ，完成大學學業。 1723年，拿到碩士學位，論文為探討並比較笛卡兒和牛頓的哲學差異。 1726年，在Basel大學取得博士學位。 1727年，第一篇論文「on isochronous curves in a resisting medium」解出當年巴黎科學院所提出之「關於船桅的問題」。 桅Xㄟˊ

Euler的學術生涯 1727~1741年：俄國聖彼得堡科學院時期。聖彼得堡科學院(Academy of Sciences of St. Petersburg)是彼得大帝受萊布尼茲(Leibniz,1647~1716)的建議所設立。 1741~1766年：德國柏林科學院時期。 經Leibniz多年亟力倡導，於1700年成立柏林科學院（Berlin Academy of Science） 1766~1783年：聖彼得堡科學院時期。

1727~1741年：俄國 聖彼得堡科學院 1727年Daniel I Bernoulli獲邀講學研究，推薦Euler擔任他的醫學研究助理。 海軍上尉軍官，數學研究部門。 1733年成為科學院之數學研究的靈魂人物。 與宮廷畫家Gsell的女兒Catharina結婚。 多產的數學家(共生13個但只有5個沒在幼時夭折。) 1735年贏得巴黎科學院的獎金，但右眼失明。 完成近90種著作，含1736年的二卷力學經典『力學或運動科學的分析解說』 1738及1740年拿到巴黎科學院研究大獎。 1735年為贏得巴黎科學院的獎金，3天解天文學家要幾個月，

前蘇聯郵票（1957年） 右眼失明 1957 stamp of the former Soviet Union commemorating the 250th birthday of Euler. The text says: 250 years from the birth of the great mathematician and academician, Leonhard Euler.

1741~1766年：德國柏林科學院 1741年受德國斐特列大帝(Frederich the Great)之邀請。 I can do just what I wish (in my research). The king calls me his professor, and I think I am the happiest man in the world. 造幣、水管鋪設、運河開挖、年金計算等 在柏林24年寫了380篇論文，涵蓋變分法、行星運行軌跡、重兵器設計、砲彈軌跡計算、船舶設計、月球運動、差分方程等 斐特列大帝諷稱Euler為『數學的獨眼龍』

德國 Stamp of the former German Democratic Republic honoring Euler on the 200th anniversary of his death. In the middle, it shows his polyhedral formula V − E + F = 2.

1766~1783年：聖彼得堡科學院 1771年，家遭到大火侵襲，後又遭洪水侵襲，間接造成雙眼失明。 Euler以堅強樂觀的態度面對一切。 數學史家E.T. Bell說：『那個時代整個數學領域的主要公式都完全精準的裝在他的腦海中』。 Euler的作品有一半以上是全盲時完成的。 1776年愛妻過世，隔年再婚，對象為前妻的同父異母的妹妹。

1753年的畫像

…il cessa de calculer et de vivre —… 1783年9月18日，77歲Euler在計算完『氣球升高的定律』及『天王星運行的軌跡』後，在與孫子玩耍中安詳的離開人間。 Euler以每年800頁的寫作速度發表極高水準的論文。 著作及論文計有560餘種。 法國物理學家J.A. Condorcet(1743~1794)對Euler的評語：『Euler停止計算，便停止生命』

葬於俄羅斯 Euler's grave at the Alexander Nevsky Lavra.

Euler—全能的大師(1) 天文方面：1753年出版『月球運動理論』； 1774年發表『行星與彗星運動理論』。 天文方面：1753年出版『月球運動理論』； 1774年發表『行星與彗星運動理論』。 光學方面：1771年發表3大冊『屈光學』。 聲學方面：研究過聲音的傳播理論及和諧問題，為傅立葉(Fourier,1768~1830)鋪路。 力學方面：1736年出版『力學或運動科學的分析解說』，首次將數學分析的方法引入力學中。1765年著作『剛體運動理論』。

Euler—全能的大師(2) 流體力學方面：1741年出版二卷『航海學』；1757年發表『流體的平衡之ㄧ般原理』、『流體運動的一般原理』、『流體運動理論續篇』；1761年出版『流體運動原理』。 熱力學方面：1738年以『火的論述』得到科學院獎金。 數學方面：有「分析學的化身」之封號。

Euler—數學成就(1) 數學符號： 1734年用函數 f(x) 1736年圓周率π、自然指數底數e 1748年正餘弦sin、cos 1753年正切tan 1755年自變數增量Δx、級數和Σ 1777年單位虛數

Euler—數學成就(2) 經典名著： 1741年『求證最大值和最小值的曲線方法 或等周問題的解答』。 1748年『無窮分析引論』，簡稱『引論』 可比美歐幾里得(Euclid)之『幾何原 本』。 1755年『微分原理』。 1768~1770年『積分原理』。

『無窮分析引論』(1) Euler首先將「函數」置於微積分發展的中心。使函數成為近代數學發展的研究對象。 「函數」的觀念源自文藝復興時期的伽利略(G. Galilei,1564~1645) 。首先找出自由落體之移動距離S與時間t之關係： 萊布尼茲(Leibniz,1646~1716) 首次將「函數,function」引入數學中，表示附屬於曲線上之各種幾何數量。

『無窮分析引論』(2) 約翰、柏努力( J. Bernoulli)首先從解析的角度定義函數，1718年將函數定義為：變數x與常數所構成的任何表示式，並以Φ(x)表示x的函數。 Euler在「引論」中定函數為：一個變量的函數是由此變量及常數任意組合的解析表示。他的解析表示指所有代數式、指數式、對數式、三角函數。 代數式又分為(1)有理函數：只含變數之四則運算 (2)無理式：含根式。 定義超越函數：非代數式之函數。

『無窮分析引論』(3) 1755年在「微分原理」中更廣義的定義函數：若某些量與其他量有關，後者有變化時，前者跟著變化，則前者的量稱為後者的量的函數。 1768~1770年在「積分原理」中更定函數為：在xy平面上徒手畫出的曲線所表示的y與x之關係。

『無窮分析引論』(4) 首次將「對數」用冪級數來定義。並得數e 用無窮級數展開式研究三角函數性質。 導出複角、積化和差、和差化積、 隸美弗(De Moivre Rule) 及 Euler公式

掛在聖彼得堡科學院大門口 "the most remarkable formula in mathematics" by Richard Feynman In 1988, readers of the Mathematical Intelligencer voted it "the Most Beautiful Mathematical Formula Ever".

『無窮分析引論』(5) Euler首次用sinx之展開式來表示π。 1698年Jacob Bernoulli曾在「無窮級數論文集」中證明

『無窮分析引論』(6) 1734年於聖彼得堡的第一年，利用sinx算出

『無窮分析引論』(7) 在「引數」中導出連分數的結論：『每個有理數均可寫成有限繁分數，而無理數則可寫成無限繁分數』

『無窮分析引論』(8)

微分原理(1) 定義：微分是確定函數得到無窮小增量與變量的那些無窮小增量之比的方法，它們是變量的函數。 Euler把該書定位為純粹的分析學，故整本書無圖形。 微分的處裡方式：對函數用無窮級數展開，再忽略較高之無窮小項。Euler的解釋:『無窮小量同有限量相比較變為零，鑒於考慮有限量因而可以將其捨棄。』、『從而無窮小的分析忽略數學的嚴格性的反對意見消失了，…，因為沒有捨棄別的甚麼只是根本就沒有甚麼』。

微分原理(2) Ex:

微分原理(3) Ex:

積分原理 Euler定義積分為：它是以某量的給定的微分關係中求出量本身的方法。 既積分為微分的逆運算，而不把積分看成求面積的方法。

三角級數(1) 1807年法國數學家傅利葉(Joseph Fourior,1768~1830)在探討熱傳導的論文中宣告：『在一區間上之任意定義的週期函數都可以寫成正、餘旋函數之和』。

三角級數(2) Euler在1753年發表函數值為1且週期為1的週期函數的sin,cos展開式。 1777年Euler研究天文時得到

數論(1) 費馬(Pierre Fermat,1601~1665) ：法國數學家。 費馬小定理：『若p為質數且a,p互質，則p能整除 』 Ex: 證 ， 12不整除

數論(2) 費馬大定理(1637年提出)：『若整數 無非零整數解』。 1700年Euler證明n=3 於1994年被美國普林斯頓大學數學教授 安德魯、懷爾斯(A. Wiles，英國數學家)解決 。 證明長達200頁。 1963年懷爾斯10歲，一天從學校漫步回家時，決定到路上的小圖書館去，懷爾斯被一本書所吸引住，這本書只有一個問題卻沒有解答。

數論(3) 30年後懷爾斯回憶說：它看上去如此簡單，但歷史上所有大數學家都未能解決它。這裡正擺著一個我—一個十歲的孩子能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它。 費馬—十七世紀的業餘數學家，在一本關於古希臘數學家工作的書頁「算術」的空白處記下：不可能將一個立方數寫成兩個立方數的和，或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和，總的來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。

數論(4) 費馬—喜歡惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註：我有一個對這個命題的十分美妙的証明，這裏空白太小，寫不下。 證明是一個偶像，數學家在這個偶像前折磨自己—阿瑟、愛丁頓(A. Eddington,1882-1964)英國物理學家。 1908年德國實業家—保羅、沃爾夫斯凱爾(Paul Wolfskehl) ，在大學裏學過數學，且與數學家常保持聯絡。感情強烈的他，迷戀一位漂亮女性卻被拒絕，因此訂下自殺計畫。自殺前在圖書室看到一篇關於庫默爾提出的一個假定所吸引，而忘記自殺。因此提供10萬馬克的獎金給證明費馬最後定理的人，規定到2007年9月13日止。

數論(5) 懷爾斯的証明是利用50年代日本數學家谷山豐提出的一個猜想，不過當時並沒有人看出谷山猜想和費馬定理的關聯性。 懷爾斯是用反證法：假設費馬定理是錯的，既費馬方程式是有解的話，就會存在谷山猜想中所討論的一條橢圓曲線(甜甜圈)，懷爾斯證明的關鍵就是說明不可能存在這樣的一條曲線。(代數問題用微分幾何解決)

數論(6) 1750年左右的著作『論數的學說』定義 :小於n且與n互質之正整數個數。 Ex: Euler定理：設 1760年：若整數a與n互質，則n整除 費馬小定理為其特例。

數論(7) 友誼數(friendship number)：二整數其一數之真因數之和等於另外一數。 畢氏找出一對(220,284) 。 因為 所以 220的真因數有1,2,4,5,10,11,20, 22, 44, 55, 110，總和為284； 284的真因數有1,2,4,71,142，總和為220。

220 284 (1) 畢達哥拉斯說： 『朋友是你靈魂的倩影，就像220與284一樣親密。』 這兩個數，都用全部的生命去成全對方 .... 這兩個數，都用全部的生命去成全對方 .... 西元1984年英國倫敦Viking出版了Martin Gardner所著《Mathematical Magic Show》一書，書中提道說220與284在中世紀的占星術鑄件與護身符扮演增進情誼的角色。

220 284 (2) 在舊約聖經《創世紀篇》第32章寫道「當夜，雅各在那裡住宿、就從他所有的物中拿禮物、要送給他哥哥以掃母山羊二百隻、公山羊二十隻、母綿羊二百隻、公綿羊二十隻、… 」雅各給他哥哥以掃山羊220隻、綿羊220隻，雅各選擇220表達了對哥哥的摯愛。

數論(8) 阿拉伯數學家阿巴那(al-Banna,1256-1321)與1636年費馬找出另一對(17296,18416) 。 1638年笛卡兒(Decartes,1596-1665)發現一對(9363584,9437056) 。 1747-1750年間Euler一口氣發現了57對，如(122265,139815)

數論(9) Euler則在西元1747年，推導出「如果 都是質數，其中m與n是整數，且1≦m≦n-1，則 與 就是親和數」，

數論(10) 完全數(perfect number)：一個整數等於它的真因數之和者。 Ex: 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+…+31 8128=1+2+3+…+127 33550336 8589869056

數論(11) 梅仙數(Mersenns number,法國數學家梅仙神父，1588-1648) ： 歐幾里得完全數定理：若 且 為質數，則正整數 為完全數。 Euler完全數定理：若n為一偶數完全數，則n必為 型式，其中 與 互質。

圖論(1) 哥尼斯堡的七橋問題：18世紀初哥尼斯堡小鎮(今蘇俄的列寧格勒附近) ，有一條河之支流環繞過一小島，有七座橋橫跨這兩隻流上。 問題:在只允許走一次之情況下，能否找到一條路徑，可走遍每一座橋？ 為今日拓樸學(Topology)與圖論(Graph Theory)之先驅。

哥尼斯堡的七橋 Map of Königsberg in Euler's time showing the actual layout of the seven bridges, highlighting the river Pregel and the bridges.

圖論(2) 1736年Euler發表『與位置幾何有關的一個問題之解』解決這個問題。 把問題簡化成點與線間的連結組合之「一筆畫」問題。

圖論(3) 能否一筆畫之判斷準則： 1.若連接路徑數目為奇數的點(奇數點)之數目大於2時，則所求之ㄧ筆畫路徑不存在。 2.若奇數點的數目等於2時，則由任一奇數點出發，並由另一個奇數點結束。 3.若所有的點皆為偶數點，則由任一點出發，皆可找到一筆畫路徑。

圖論(4) 十九世紀後期第八座橋樑建成(h)

圖論(5) 1944年二次大戰期間被俄國空襲之後所繪製的地圖(現狀)：

問題 下圖無法一筆畫，如何讓其一筆畫？ 是否能在一張紙上一筆畫圓心及圓？

應用「Euler環道」 以色列的電力公司找出提高查表員的工作效率，結果查表工作時間縮減40%，原本24位員工，減少為15位。 負責規劃各種導遊行程者。 掃街車，如何有效率的清理道路兩側溝道。 郵差如何避免兩次通過相同路徑。

圖論(4) Euler的網絡公式： 令V=網絡中頂點(既交點)個數 R=網絡中區域(既圍成的部份)的個數 L=網絡中連線的個數

圖論(5) Euler點線面公式：任給一多面體，其頂點v個、邊數e條、面數 f，則 v-e+f=2

結語(1) Euler：一位偉大的創作天才，在作品中常不厭其煩的解釋他的看法及想法，不像高斯的作品如狡猾狐狸般的不露思考痕跡只留下美麗的結果。 Euler個性仁慈寬厚，溫和謙卑，與人相處融洽。不像牛頓個性內向，孤僻而神秘。 Euler以樂觀的態度面對人生，既使在完全失明時也不怨天尤人，或藉口停止其研究。 對Euler而言生命就是研究、思想、計算與創作，工作之餘，過著平凡家居生活，享受含貽弄孫之樂。

結語(2) Euler有驚人的記憶力及超凡的解題計算能力，能記得前100個質數及其2次、3次、4次、5次方的數目。 法國科學家Condorcet描述Euler說：「他常為引導學子滿足發現的小驚奇而感到喜悅」。

結語(3) Euler在76年的歲月中為人類寫下近代科學鉅作73大冊的「Euler全集」，包含886本書及近800篇學術論文。 數學史上的定律和定理的命名，所幸有許多都不採用原創者的名字作命名，否則有半數的解析學將以Euler命名—W. Dunham Laplace常對年青的數學家說：「讀歐拉，讀歐拉，他是我們全能的大師」。

結語(4) 高斯說：「就數學各科而言，研究Euler的作品，仍將是最好的功課，且無其他能夠取代」。 1956年數學家紐曼(Newman,1897-1984)說：「數學家的英雄對Euler而言，是當之無愧」。 研究範圍含蓋：數學的分析、代數、數論、幾何；物理的力學、光學、聲學、彈道；天文、航海、地理、建築、社會福利、保險等。 數學的巴哈；數學界的莎士比亞。