平行线分线段成比例 本节内容 3.2
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知 道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
如下图所示，已知直线a∥b∥c，直线l1，l2 被直线 a、b、c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且AB=BC. 过点B作直线l3∥l2 ，分别与直线a、c相交于点 A2、C2.由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线 间的平行线段相等” 可知A2B =A1B1，BC2 = B1C1 .
在△BAA2和△BCC2中，∠ABA2=∠CBC2， BA=BC，∠BAA2=∠BCC2， 因此 △BAA2≌△BCC2 . 从而 BA2= BC2， 所以 A1B1 = B1C1. 由此可以得到：两条直线被一组平行线所截， 如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在 另一条直线上截得的线段也相等.
动脑筋 如图，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2 相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度， 与 还相等吗？ =
下面我们来证明： 假设 ，则把线段 二等分，分点为D，过点D 作直线d∥a，交l2于点D1，如下图:
把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F 作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1. 由已知 ， 得 . 由于 ， 因此 .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线 被 直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC 和A1B1 ，B1C1， 若 （其中m，n是正整数），则 l1，l2
进一步可以证明，若 （其中k为无理数），则 从而 ， 我们还可以得到：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 结论 由此，得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
动脑筋 如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，则 和 成立吗？为什么？
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE. ∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， 同时还可以得到
结论 由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
举 例 例 如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3， A1B1= 1.5，求 B1C1 的长.
由平行线分线段成比例可知 ， 解 即 ， 因此
练习 如图，AC，BD相交于点O ，直线MN过点O， 且 BA∥MN∥CD. 已知 OA=3，OB= 1， OD = 2，求OC的长. 1.
则由平行线分线段成比例可知 ， 解 所以 BA∥MN∥CD， 因为
2. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且 DE∥BC. 若AB =3，AD = 2，EC =1.8，求AC 的长.
则由平行线分线段成比例可知 ， 解 DE∥BC， ∵ 又 ∴ 解得
中考 试题 例 如图，在△ABC中，DE∥BC，且DB=AE，若AB=5，AC=10，求AE的长. 由DE∥BC，可得 解 设 DB=AE=x，∵ AB = 2，BC = 3， ∴（5-x）: 5 = x:10. 解得 x = 即AE的长为
结 束