第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式

1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c＞b+c ③、a＞b， ， 那么ac＞bc； a＞b， ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 ） ⑥、 a＞b＞0 那么 （条件 ）

练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由： （1）如果a>b，那么ac>bc； （3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)； （4）如果a>b, c<d，那么a-c>b-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 （假命题） （假命题） （假命题） （真命题） 解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0， 所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

例1、求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。 由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd， 再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。 例2、 已知a>b>0，c>d>0，求证： 练习： 如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并说明理由 。

例3、若a、b、x、y∈R，则 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 C 例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： （1）若c>a>b>0，则 （2）若a>b, ，则a>0，b<0。 （真命题） （真命题） 例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]

例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且 a>0，所以b= 且c>0。 因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，所以b-c≥0. 当b-c>0，即b>c时，b= 得 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0 因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c. 从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2， 所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b， 与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.

小结：理解并掌握不等式的六个基本性质 作业：课本P10第3题。求证： （1）如果a>b, ab>0，那么 （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。 选做题：设a≥b,c≥d， 求证：ac+bd≥ (a+b)(c+d)

2、基本不等式 探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？ 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。

则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. H I D K G B J C F E 如图把实数a， b作为线段长度， 以a≥b为例，在 正方形ABCD中， AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b. 则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。

定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么 C A B D O 证明：因为 =a+b-2 ≥0， 所以a+b≥ ， 上式当且仅当 ，即a=b时，等号成立。 如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。 结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值

（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。 （2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。 H G 例4 某居民小区要建一座八边 形的休闲场所，它的主体造型 平面图（右图）是由两个相同的 矩形ABCD和EFGH构成的面积 为200平方米的十字型地域，计 划在正方形MNPQ上建一座花坛， 造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。 （1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。 （2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。 Q P C D A B M N E F

课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题 5、设a, b∈R+,且a≠b，求证： (1) (2) 6、设a,b,c是不全相等的正数，求证： （1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc； （2）a+b+c> 9、已知x、y∈R,求证：

小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。 作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。

3、三个正数的算术-几何平均不等式

练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。

13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？ 14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与 h为何值时，内接圆柱的体积最大？

二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离： x O a 任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 |a-b| A B x b a

联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系： x O a a+b b x a+b b a O

（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| O a x a+b 如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| a O a+b b x （3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b|

探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ 这个不等式称为绝对值三角不等式。 定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0时，等号成立。 探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ y 探究 当向量 a, b共线时，有怎样的结论？ x O

定理1的代数证明：

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|. 如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε. 证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.

当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 B

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。

练习：课本P20第1、2题 .求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明

D D

C

小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。 作业：课本P20第3、4、5题

2、绝对值不等式的解法 复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； O a -a x |x|<a |x|>a

（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。 ②分段讨论法：

例3 解不等式|3x-1|≤2 例4 解不等式|2-3x|≥7 补充例题：解不等式

|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 |ax+b|<c -c<ax+b<c {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b<-c}∪ {x|ax+b>c}, 并 型 课堂练习：P20第6题

x 1 2 -2 -3 A B A1 B1

y x O -3 2 -2

①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法 练习：P20第8题(2) 作业：P20第7题、第8题(1)(3)

补充练习：解不等式： （1）1<|2x+1|≤3. （2）||x-1|-4|<2. （3）|3x-1|>x+3. 答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7} （3）

作业

8.解不等式: