7.2 部分分式與有限供應成長

7.2 部分分式與有限供應成長 學習目標 利用部分分式求不定積分。 以有限供應成長函數作為實際生活的模型。 第七章　積分技巧 P.7-10

部分分式 6.2 節與 7.1 節介紹了替代法與分部積分法，本節將學習第三種積分技巧，稱為部分分式 (partial fractions)。這個方法將有理函數拆成兩個或多個較簡單的有理函數之和。譬如， 第七章　積分技巧 P.7-10

計算有理函數部分分式的分解式只須用高中的代數方法。試解釋如何驗算 學習提示 計算有理函數部分分式的分解式只須用高中的代數方法。試解釋如何驗算 為以下 的部分分式的分解式。 第七章　積分技巧 P.7-10

部分分式 從等號右邊的部分分式的積分可算出左邊的積分，過程如下： 這個方法端賴將原有理函數的分母因式分解，並展開原函數成部分分式的能力。 第七章　積分技巧 P.7-10

部分分式 第七章　積分技巧 P.7-10

若有理函數中分子的次方小於分母的次方，則此有理函數 p(x)/q(x) 為真有理函數。 學習提示 若有理函數中分子的次方小於分母的次方，則此有理函數 p(x)/q(x) 為真有理函數。 第七章　積分技巧 P.7-10

範例 1　求部分分式的分解式 試寫出 的部分分式分解式。 第七章　積分技巧 P.7-11

首先將分母因式分解成 x2 － x － 6 ＝ (x － 3)(x ＋ 2)，於是部分分式的分解式為 範例 1　求部分分式的分解式 （解） 首先將分母因式分解成 x2 － x － 6 ＝ (x － 3)(x ＋ 2)，於是部分分式的分解式為 為了求得 A 和 B，將等式兩邊同乘以最小公分母 (x － 3)(x ＋ 2)，可得如下的基本方程式 (basic equation)。 x + 7 = A(x + 2) + B(x － 3) 基本方程式 因為對於所有的 x，上式皆成立，所以可以代入任意數。但使得某一因式為零的 x 值最為方便，如此一來就可輕易解出 A 與 B。 第七章　積分技巧 P.7-11

x + 7 = A(x + 2) +B(x－3) 寫出基本方程式 範例 1　求部分分式的分解式 （解） 若要解 B，代入 x ＝ －2： x + 7 = A(x + 2) +B(x－3) 寫出基本方程式 －2 + 7 = A(－2 + 2) +B(－2－3) 以 x ＝ －2 代入 5 = A(0) +B(－5) 化簡 －1 = B 解得 B 第七章　積分技巧 P.7-11

x + 7 = A(x + 2) +B(x－3) 寫出基本方程式 3 + 7 = A(3 + 2) +B(3－3) 以 x ＝ 3 代入 範例 1　求部分分式的分解式 （解） 若要解 A，代入 x ＝ 3： x + 7 = A(x + 2) +B(x－3) 寫出基本方程式 3 + 7 = A(3 + 2) +B(3－3) 以 x ＝ 3 代入 10 = A(5) +B(0) 化簡 2= A 解得A 所以，部分分式的分解式為 正如本節開頭所提到的。 第七章　積分技巧 P.7-11

將範例 1 算出的兩個分式相減合併，即可驗算是否為原分式，計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。 代數技巧 將範例 1 算出的兩個分式相減合併，即可驗算是否為原分式，計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。 第七章　積分技巧 P.7-11

檢查站 1 試寫出 的部分分式分解式。 第七章　積分技巧 P.7-11

學習提示 在範例 1 中，選擇方便計算的 x 值代入，以求解 A與 B；代入 x ＝ －2 可消去A(x ＋ 2) 項，代入 x ＝ 3 可消去 B(x － 3) 項。 第七章　積分技巧 P.7-11

範例 2　重複因式的積分 求 。 第七章　積分技巧 P.7-11

首先將分母因式分解為 x(x ＋ 1)2，再寫出部分分式的分解式 範例 2　重複因式的積分 （解） 首先將分母因式分解為 x(x ＋ 1)2，再寫出部分分式的分解式 為了求解方程式中的 A、B 與 C，將方程式的兩邊同乘以最小公分母 x(x ＋ 1)2。 5x2 + 20x + 6 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx 基本方程式 第七章　積分技巧 P.7-11~7-12

現在代入 x ＝ －1 和 x ＝ 0，求解 A 和 C。 代入 x ＝ －1： 代入 x ＝ 0： 範例 2 重複因式的積分 （解） 範例 2　重複因式的積分 （解） 現在代入 x ＝ －1 和 x ＝ 0，求解 A 和 C。 代入 x ＝ －1： 代入 x ＝ 0： 第七章　積分技巧 P.7-12

範例 2　重複因式的積分 （解） 此時可使得含 A 或 C 的項消失的 x 值已用完，但還沒解得 B 值。對此，可代入其他任何的 x 值，再與已知 A 與 C 一起求解 B 值。 代入 x ＝ 1、A ＝ 6 和 C ＝ 9： 第七章　積分技巧 P.7-12

範例 2　重複因式的積分 （解） 所以，部分分式分解式的積分為 第七章　積分技巧 P.7-12

代數技巧 將範例 2 算出的分式相加合併，即可驗算是否為原分式，計算過程可參考本章代數複習範例 1(b)。另外，範例 2 的化簡過程可參考範例 1(c)。 第七章　積分技巧 P.7-12

檢查站 2 求 。 第七章　積分技巧 P.7-12

部分分式 範例 1 和 2 所用的部分分式分解技巧只可用在真有理函數(即其分子次方小於分母次方)。若是有理函數的分子次方等於或大於其分母次方，則先做除法運算。譬如，有理函數 第七章　積分技巧 P.7-12

部分分式 為假有理式，因為其分子次方大於其分母次方。在應用部分分式分解技巧之前，先將分子除以分母即可得下式： 第七章　積分技巧 P.7-12

範例 3　假有理函數的積分 求 。 第七章　積分技巧 P.7-13

此有理函數為假有理式，即其分子次方大於其分母次方。所以，將先分子除以分母可得 範例 3　假有理函數的積分 （解） 此有理函數為假有理式，即其分子次方大於其分母次方。所以，將先分子除以分母可得 則部分分式的分解式可表示為 第七章　積分技巧 P.7-13

將等號兩邊同乘以最小公分母 x3(x － 1)，可得基本方程式。 x3 ＋ x － 1 ＝ Ax2(x － 1) ＋ Bx(x － 1) 範例 3　假有理函數的積分 （解） 將等號兩邊同乘以最小公分母 x3(x － 1)，可得基本方程式。 x3 ＋ x － 1 ＝ Ax2(x － 1) ＋ Bx(x － 1) ＋ C(x － 1) ＋ Dx3　基本方程式 再利用類似前兩例的代入技巧，求解 A、B、C 和 D 為 A ＝ 0、B ＝ 0、C ＝ 1　和　D ＝ 1 第七章　積分技巧 P.7-13

範例 3　假有理函數的積分 （解） 所以積分為 第七章　積分技巧 P.7-13

將範例 3 算出的兩個有理式相加合併，即可驗算是否為原分式，其計算過程可參考本章代數複習範例 2(a)。 代數技巧 將範例 3 算出的兩個有理式相加合併，即可驗算是否為原分式，其計算過程可參考本章代數複習範例 2(a)。 第七章　積分技巧 P.7-13

檢查站 3 求 。 第七章　積分技巧 P.7-13

有限供應成長函數 5.6 節中提到，指數成長的現象發生在某族群成長率正比於其當時的族群數量，即若 y 為時間 t 時的族群數量，則 dy/dt ＝ ky，此微分方程式的通解為 y ＝ Cekt。指數成長可能為無止境；當 C 和k 為正數且 t 很大時，Cekt 也非常大。 第七章　積分技巧 P.7-13

有限供應成長函數 然而在實際生活裡，族群數量的成長是受限的，而且不可能超過某數 L，如圖 7.3 所示。這個上限 L 稱為飽和狀態容量 (carrying capacity)，即時間 t 增加時，該族群數量 y(t) 的極大值。這類成長常以有限供應微分方程式 (logistic differential equation) 表示 其中 k 和 L 為正數。 第七章　積分技巧 P.7-13

有限供應成長函數 第七章　積分技巧 P.7-13 圖7.3

有限供應成長函數 滿足此方程式的族群數量並非無止境地成長，當時間 t 增加時族群數量趨近於 L。此微分方程式的通解稱為有限供應成長模型 (logistic growth model)，其模型的推導過程見範例 4。 第七章　積分技巧 P.7-13

學習提示 的圖形稱為有限供應曲線，如圖 7.3 所示。 第七章　積分技巧 P.7-14

範例 4　推導有限供應成長模型 解方程式 。 第七章　積分技巧 P.7-14

範例 4　推導有限供應成長模型 （解） 再解 y 即求得有限供應成長模型為 。 第七章　積分技巧 P.7-14

範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(c)。 代數技巧 範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(c)。 第七章　積分技巧 P.7-14

試證明若 ，則 。[提示：首先以 t 表示 ky(1 － y)，再計算dy/dt，證明兩者相等。] 檢查站 4 試證明若 ，則 。[提示：首先以 t 表示 ky(1 － y)，再計算dy/dt，證明兩者相等。] 第七章　積分技巧 P.7-14

試以圖形來討論 L、b 和 k 對以下函數圖形的影響。 範例 5　比較有限供應成長函數 試以圖形來討論 L、b 和 k 對以下函數圖形的影響。 第七章　積分技巧 P.7-14

L 值決定圖形右側的水平漸近線，即當 t 無止境地增加時，圖形趨近於極限 L (如圖 7.4 所示)。 範例 5　比較有限供應成長函數 （解） L 值決定圖形右側的水平漸近線，即當 t 無止境地增加時，圖形趨近於極限 L (如圖 7.4 所示)。 第七章　積分技巧 P.7-14 圖7.4

範例 5　比較有限供應成長函數 （解） b 值決定圖形的反曲點。當 b ＝ 1 時反曲點發生於 t ＝ 0；當 b > 1時反曲點在 y 軸的右側；當 0 < b < 1 時反曲點在 y 軸的左側 (如圖7.5 所示)。 第七章　積分技巧 P.7-15 圖7.5

k 值決定圖形的成長率。在 b 和 L 值固定時， k 值增加會使成長率較大 (如圖 7.6 所示)。 範例 5　比較有限供應成長函數 （解） k 值決定圖形的成長率。在 b 和 L 值固定時， k 值增加會使成長率較大 (如圖 7.6 所示)。 第七章　積分技巧 P.7-15 圖7.6

檢查站 5 求圖形 的水平漸近線。 第七章　積分技巧 P.7-15

範例 6　族群數量的模型 州狩獵委員會在保護區內釋放了 100 頭鹿，5 年後的鹿群數量增加至 432 頭。委員會認為鹿群數量的模型為有限供應成長，且其上限是 2000 頭，試寫出此鹿群數量的有限供應成長模型，再以此模型來製作未來 30 年鹿群數量的表格。 第七章　積分技巧 P.7-15

令 y 為在年份 t 的鹿群數量。有限供應成長模型的假設是指鹿群數量的變化率是同時正比於 y 和 (1 － y/2000)；即， 範例 6　族群數量的模型 （解） 令 y 為在年份 t 的鹿群數量。有限供應成長模型的假設是指鹿群數量的變化率是同時正比於 y 和 (1 － y/2000)；即， 而此方程式的通解為 第七章　積分技巧 P.7-15

利用在 t ＝ 0 時 y ＝ 100 的條件，可解得 b。 再利用在 t ＝ 5 時 y ＝ 432 的條件，可解得 k。 範例 6　族群數量的模型 （解） 利用在 t ＝ 0 時 y ＝ 100 的條件，可解得 b。 再利用在 t ＝ 5 時 y ＝ 432 的條件，可解得 k。 所以，此鹿群的有限供應成長模型為 第七章　積分技巧 P.7-15~7-16

範例 6　族群數量的模型 （解） 而每 5 年為間隔的鹿群數量列在下表。 第七章　積分技巧 P.7-16

若在範例 6 保護區的鹿群上限為 4,000 頭，試寫出鹿群數量的有限供應成長模型。 檢查站 6 若在範例 6 保護區的鹿群上限為 4,000 頭，試寫出鹿群數量的有限供應成長模型。 第七章　積分技巧 P.7-16