第四章 电 路 定 理

4-1 叠加定理 4-2 替代定理 4-3 戴维宁定理和诺顿定理 4-4 特勒根定理 4-5 互易定理 4-6 对偶原理

重 点 1、叠加原理及应用 2、戴—诺定理的熟练掌握 难点 1、含受控源电路的分析 2、特勒根定理及互易定理的应用

4-1 叠 加 定 理

要点： 1、叠加定理的描述？适用范围？ 2、应用叠加定理时，受控源怎样处理？

一、叠加的揭示 （证明见葛守仁：下册16-2） 如图，求iR1？ 列回路方程： il1 il2 il3 解得： 有：

进一步分析知： 如果i s2=0，则i’’R1=0，iR1=i’R1，因此，i’R1就是us1单独作用时在R1上产生的电流； 反之，如果us1=0，则i’R1=0，iR1=i’’R1，因此，i’’R1就是is2单独作用时在R1上产生的电流。 由此可见，iR1是每个电源单独作用在分别在R1上产生的电流的线性叠加。 要使每个电源单独作用，就必须让其它电源置零： 将us用短路替代；is用开路替代

对于以上分析的电路有： i0 原图 = + 分别计算得： 因此，分量计算所得到的结果与回路法的结果完全一致。

让我们来看看更为一般的情况： 对于具有l个独立回路的电路，据讲义，其第一个回路的电流为： 再将us1、us2、…、usb代入，便有： 同样为每个电源单独作用的电流分量的叠加。 结点分析亦然。

二、叠加定理 1、定理： 在线性电路中，任一支路的电流或电压，都是电路中各独立源单独作用时在该支路上所产生的电压或电流之和，线性电路的这一重要性质被称为叠加定理。 叠加定理既可以用来分析计算具体的电路，还能由它推导线性电路的一些重要定理(如戴维南定理)，引出某些重要的分析方法(如谐波分析法)。

2、说明： 1) 只适用于线性电路。 2) 分析计算具体的电路时 3) 功率不能叠加。 所谓电源不作用，是把us用短路替代，将is用开路替代。 受控源不能单独作用电路，且其方向、大小都将随各次叠加的激励变化而变化。 叠加时，电路的联接以及所有电阻、受控源都不允许变动。 3) 功率不能叠加。

例题 例题1: (a) (b)

根据叠加定理： 电压源：

电流源： Is=5V

受控源： I受=Ux/2 =2.82=1.4A U受=6+Ux =6+2.8=8.8V

例题2 所求的电压u可以看作是激励和产生的响应，利用线性电路的线性性质，响应u与激励和之间为一次线性函数关系： 联立方程组:

三、 强调几个概念 1.线性电路 2.激励与响应 3.齐次性和可加性

叠加定理的重要推论--- 齐性定理 齐次性: × K

可加性:

4-2 替代定理

一、定理内容 1.已知支路的替代 定理: 如果已知电路中第k条支路的电压为uk或电流为ik，则该支路可以用一个电压值为us= uk的电压源或用一个电流值为is= ik 电流源来替代。替代后，电路中所有的电压和电流保持原有值不变。

第k条支路 第k条支路 第k条支路 i us= uk u ik uk usk i u is= ik 1 + 若支路电压uk已知 1 N - 1/ us= uk u 第k条支路 若支路电压uk已知 + - uk ik N 1 1/ R usk 第k条支路 第k条支路 + i N 1 1/ is= ik - u 若支路电流 ik 已知

证明 第k条支路 + - uk ik N 1 1/ R

i1 = 2A i2 = 1A 举例说明：如图，若已知u3= 8v、i3=1A，求：i1=？、i2=？ i1 i3 R - u3 20v + 6Ω 8Ω + u i2 i1 i3 us=8 v 20v 6Ω 8Ω + - i2 用电压源us=8 v替代 用电流源is=1A替代 i1 i3 is=1A 20v 6Ω 8Ω + - i2 解法一 ： 用us= 8 v 的电压源替代 支路3 解法二 ： 用 is= 1A 的电流源替代 支路3 解得： 20 - us i1= 6 = 2A i2= 8 = 1A us 解得： i1 = 2A i2 = 1A

2.单口网络的替代 + - u i N1 N2 1 1/ 定理: 由两个单口网络N1和N2联接组成的电路，若已知端口电压值为α、电流值为β，则可以用一个电压值为α的电压源或用一个电流值为β的电流源来代替单口网络N1或N2，替代后电路中所有电压和电流将保持原有（替代前）的值不变。

（2）注意电压源 us 的方向与被替代网络端口电压 u 的方向相同；电流源 is与被替代网络端口电流 i 的方向相同。 + - i N1 1 1/ us= α u N2 若已知端口电压： u = α + - u i N1 N2 1 1/ 1/ + i N1 1 is= β - u N2 若已知端口电流 i = β 注：（1）对N1可作类似的替代。 （2）注意电压源 us 的方向与被替代网络端口电压 u 的方向相同；电流源 is与被替代网络端口电流 i 的方向相同。

二.应用替代定理的说明及须注意的问题 （1）替代定理对线性和非线性电路均适用。 （2）含有受控源或含有受控源的控制量的支路不能作替代。 例如： ik R - us1 + u1 uk α 此支路不能作替代！ 若用电压源或电流源替代此支路， 则替代后受控源αu1将不复存在！

红框中的电路对于外电路而言是等效的： 蓝框中的电路对于外电路而言是等效的： 三、例题 例题1

4-3 戴维宁定理和诺顿定理

要点： 1、怎样求一端口网络的开路电压、短路电流、入端电阻？ 2、应用戴-诺定理时，如何处理含有受控源的电路？

一、一端口网络等效问题的提出 1、一端口的概念 Ns与No 复述 举例 化简 突出主要矛盾 等效问题的提出 2、无源一端口的等效 No Rin 3、有源一端口等效问题 的提出

二、戴维宁定理 1、定理： 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口的全部独立源置零后的输入电阻(入端电阻)。 无源一端口等效电阻 外电路 开路电压 Ns

2、定理的证明 假设定理成立 叠加原理

N的除源网络 N中的电源产生的响应

定理的证明 i uoc u u i u = uoc － Req i + u// is = i u u/ = uoc a i// b + N/ － u N a b + i N/的VAR为： 戴维南等效电路 u = uoc － Req i 用外加电流源法求N的 VAR + b N0 － u// i// is = i 无独立源的单口网络 a b a N + － u i is = i a Ns b + － u/ = uoc i/ 由叠加定理 等效 Ns为电流源is开路，N中所有独立源的作用 （为N 的端口开路电压） a i// b Req + － u// is = i N0 证明 N和N/的 VAR相同，所以N和N/等效

3.综述： 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口的全部独立源置零后的输入电阻(入端电阻)。 可等效为 M为任意外接电路 线性含 独立源 单口网 络 M a b + － u i N uoc Req N/ 其中：等效电路N/的端口的VAR为 u = uoc－ Req i uoc为N的端口开路电压 a N b + － uoc （端口开路电压）

端口等效电阻Req （也称作戴维南等效电阻） a b （为端口开路时，从端口看过去的等效电阻） N0 Req N中所有独立源置零值 独立电压源视为短路 独立电流源视为开路 注意：受控源不能置零，必须保留！ 求等效电阻Req 的方法 （1）等效输入电阻法 1Ω 2A + － 2v N 1Ω N0 Req = 1Ω

（２）短路电流法 i uoc uoc u isc uoc isc 例 uoc = 2 + ( 2×1 ) = 4 v isc a i uoc + － Req b u N a isc uoc + － Req b N 令 u= 0，相当于ab端短路 定义　——　 isc 为N的端口短路电流 则　　 Req ＝ uoc isc 注：（a） uoc为N的端口开路电压，注意uoc和 isc 的方向为非关联！ （b） 当 Req ＝ ∞时，N 的戴维南等效电路不存在！ 1Ω 2A + － 2v N uoc 例 uoc = 2 + ( 2×1 ) = 4 v 1Ω 2A + － 2v N isc isc = 2 + ( 2÷1 ) = 4 A uoc isc ∴ Req ＝ = 1 Ω

4. 应用举例 例1. 求下图所示电路的戴维南等效电路。 a i a i u isc uoc isc a i u 1kΩ 0.5 i + 4. 应用举例 例1. 求下图所示电路的戴维南等效电路。 1kΩ 0.5 i + － 10v i u a b b isc + － 10v 1kΩ i a 0.5 isc 求短路电流isc 分析：求戴维南等效电路的关键，是求端口开路电压 uoc和等效电阻R0 解得 isc = 1 150 A 解：（1）求端口开路电压 uoc ∴ Req = uoc isc = 1500Ω 由原电路求得: uoc=10 v 戴维南等效电路为 + － 10v 1.5kΩ i a b u （2）求等效电阻Req 为求Req先求短路电流isc 由端口短路电路可知 1000 isc + 1000（ isc － 0.5 isc ） － 10 = 0

i is u N i is u us u = R（i + is）+ us － + u i N 例2. 如图所示电路中，N为线性含源单口网络。已知：u=2000i+10 （v）；is=2mA，求N的等效电路。 解：依据戴维南定理，原电路可等效为 is － + u i N us R 电路的VAR方程为： u = R（i + is）+ us = R i + 2 ×10－3 R + us 令： R = 2 000 2 ×10－3 R + us = 10 解得 : R = 2 000 Ω ； us = 6 v

i u us u i = － us uoc us isc isc us i uoc = us u 例3. 右图所示电路中，已知：R = 4 Ω ；u = 8v ，求N的戴维南等效电路。 + － 3Ω i u us 2i R N 解:（1）求N的端口开路电压uoc 由题意得 u R i = － = － 2 A ∴ us = －3 i － 2 i + u = 18 v 解得 isc = us 5 显然 uoc = us = 18 v ∴ Req = uoc isc us = = 5 Ω （2）求N的端口短路电流 isc + － 3Ω us －2isc N isc －isc 因此，N的戴维南等效电路为 + － Req = 5Ω i R u N uoc = us －2 isc + 3（ － isc ）+ us = 0 依据 KVL ：

5. 戴维南等效定理应用小结及注意事项 a a i uoc + i u u （1） 只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2） 求戴维南等效电阻 Req 时，受控源不能置零值，必须保留在原电路中一并计算 Req 。 （3） uoc、Req、isc三个参量中，只要知其二就可确定戴维南等效电路。但是，如果N的 Req = ∞ ，则N的戴维南等效电路不存在。 （4）切记，等效是指 N 和 N/ 的端口 VAR相同，对任意外接电路的作用等效，而戴维南等效电路与 N的原内部电路之间不存在等效关系。 M a b + － u i M 为任意外接电路 线性含独 立源单口 网络 N N/ M uoc + － Req b a i u 等效为 对 M 的作用 对 M 的作用 等效

（5） 注意等效电压源 uoc 的方向与端口电压 u 的参考方向相同，而与端口电流 i 的方向为非关联。 （6）单口网络N和外电路之间必须无任何耦合联系，例如： （a）N内部的任一支路电压或电流，不能是N以外电路中的受控源的控制量。 N βu1 u1 + － R1 b a i u R2 R3 N不允许作戴维南等效变换！ N u1 b a + － u R3 βu1 R1 i R2 is （b）N 中受控源的控制量，不允许是 N 以外电路中电流或电压。但可以为N的端口电压或电流。 N不允许作戴维南等效变换！

二、 诺顿定理 1、定理 无源一端口等效电阻 外电路 短路电流

二、 诺顿定理 1．定理的描述 a isc i + u a u isc 线性含独立源的单口网络N，就其对任意外接电路的作用来看，可等效为一个理想电流源与一个电阻的并联组合，其电流源的电流等于N的端口短路电流，并联电阻等于N中所有独立源为零值时的等效电阻。 可等效为 M Req b a i + － u N/ isc M为任意外接电路 线性含 独立源 单口网 络 M a b + － u i N a N b isc （1）端口VAR为 i = isc－ u Req isc为 N 的端口短路电流 其中等效条件为： （2） Req同于戴维南等效电阻，为N的端口等效电阻。 但须指出，若 Req = 0 则N的诺顿等效电路不存在！

2. 定理的证明 uoc isc = a i uoc isc i + u u M为任意外接电路 线性含 独立源 单口网 络 a b u i 2. 定理的证明 M为任意外接电路 线性含 独立源 单口网 络 M a b + － u i N 依据电源等效变换 等效变换条件： isc = uoc Req isc为 N 的 a b 端口短路电流 戴维南等效变换 a M uoc + － Req b i u N M Req b a i + － u N/ isc

3. 应用举例 u ic i1 i i2 a b isc i/1 a b i/2 i/c a b i//2 i//c uoc i//1 3. 应用举例 + － 20kΩ 40v u ic 5kΩ i1 i RL i2 a b 例1. 如图所示电路中，已知 ic = 0.75 i1 ，负载电阻RL= 2.5k Ω，试运用诺顿定理求 u 和 i 的值。 解：（1）求a b 端的短路电流 isc （2）求诺顿等效电阻R0 首先求a b 端的开路电压 uoc isc + － 20kΩ 40v 5kΩ i/1 a b i/2 i/c + － 20kΩ 40v 5kΩ a b i//2 i//c uoc i//1 ∵ i/c = 0.75 i/1 i/2 = 0 uoc = 20×103 i//2 解得： uoc = 35（v） ∵ ∴ isc = i/1 + i/c = 1.75 i/1 = 1.75× 40 5 × 103 = 14 ×10－3（A） i//2 = i//1 + i//c i//c = 0.75 i//1 Req= uoc isc = 2.5k Ω i//1 = －uoc 40 5 × 103

a i isc = 14 mA + u u = 17.5（v） u = R0 （ isc － i ） i = 7（mA） （3）由诺顿等效电路求 u 和 i Req = 2.5k N/ isc = 14 mA b a i － + u RL 解得： u = 17.5（v） i = 7（mA） u = R0 （ isc － i ） u = RL i = 2.5 × 103 i

4. 诺顿等效等效定理的应用说明及注意事项 （1） 只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 4. 诺顿等效等效定理的应用说明及注意事项 （1） 只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2） 求诺顿等效电阻Req时，受控源不能置零值，必须保留在原电路中一并计算R0。 （3） uoc、Req、isc三个参量中，只要知其二就可确定诺顿等效电路。但是，若N的 Req = 0，则 N 的诺顿等效电路不存在。 （4） 切记，等效是指 N 和 N/ 端口的 VAR 相同，对任意外接电路的作用等效，而诺顿等效电路与原 N 的内部电路之间不存在等效关系。 （5） 注意等效电流源 isc 的方向与端口电流i的参考方向相同，而与端口电压 u 的方向为非关联。 （6） 同于戴维南等效变换，N 和外电路之间必须无任何耦合联系，例如： （a）若 N 内部的任一支路电压或电流，是为 N 以外电路中的受控源的控制量，则该网络 N 不可作诺顿等效变换。 （b）N中受控源的控制量，不允许是 N 以外电路中电压或电流。但可以为N的端口电压或电流。

三、 最大功率传递定理 1、内容 由线性单口网络传递给可变负载的功率为最大的条件：负载电阻应该与戴维南（诺顿）等效电阻相等。

2、说明 1）该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。 2）线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。（即由等效电阻算得的功率并不等于网络内部消耗的功率)

例1 例题 这是常遇到的“电桥”电路。 这类问题只关系某一条支路的响应，用前面的方法必然引入多余的电量。 如果用前面的“支路法”、“回路法”或“节点法”计算负载电阻上电流较麻烦。 这类问题只关系某一条支路的响应，用前面的方法必然引入多余的电量。 用戴维南或诺顿定理比较简单！

开路电压 无源等效电阻 原电路等效为

例2 将独立源置零 这一部分可能会遇到复杂电路，就可以用网孔法或节点法来解决 求Is

用叠加定理求Is:

电路等效为：

4-4 特勒根定理

一、特勒根功率定理 1、定理: 如图例，有： 2、意义: 功率守恒 3、说明： 1)适用于集总参数电路 2)结论适用于同图的电路

二、 特勒根拟功率定理 1、定理： 对于具有相同的图的两个不同电路，有： 或: 如图例，有： 或: 2、意义: 拟功率守恒定理

三、 例 题 例1

4-4 互易定理

二端口网络介绍： 互易定理1: 如图，当端口流入的电流等于流出的 电流，称之为二端口网络. 互易定理前提：网络内仅含线性电阻（无源元件） 证明： 设网络内共b条支路，据特勒根定理：

代入关系： 注意到： 得： 代入其端口关系： 有结论：

互易定理2: 有结论： 证明：

互易定理3: 当： 有结论：

例 题 例题1

例题2

例题3 重画如下: 根据互易第三种形式:

4-6 对偶原理

1、对偶问题的提出： 如图所示： 网孔方程： 结点方程： 对偶关系 对偶原理的揭示

2、对偶元素表： 串联 并联、 网孔 结点、 回路电流 结点电压 3、重要的对偶关系： 串联KVL： 并联KCL:

所谓对偶：是指电路方程或伏安关系的数学表达式完全相同的电路或元件。在电路理论中，对偶的关系可能针对元件，可能针对方程，可能针对变量，可能针对参数，也可能针对拓扑联接方式和图论特性。