勇闖無窮大 梁子傑老師 香港道教聯合會青松中學 網上分享版 首次演講於 97 年 11 月 11 日，屯門天主教中學，原題目為「勇闖無限大」，以高映片製作，現改為簡報形式，並加插了一些增潤的內容，亦將題目改為較乎合國內的講法「勇闖無窮大」。 2002 年 2 月 1 日於聖文德書院首次演出。 網上分享版

由「循環小數」談起 s = 0.3333333333333333333… … 10s = 3.3333333333333333333… … 9s = 3 由此得 s = 。 觀察以上的運算，可得到以下的結論：   1 =    n =   =  + 1  =  + n 或

數數雙數 這個世界上，雙數多一些，還是整數多一些呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 …         2 4 6 8 10 12 14 16 … 所有整數和所有雙數都一樣多！ 結論   2 =     =    n =   = 2    =  +   = n   或

格點與整數的比較 結論 格點數量 = 整數數量    =  1  (1 , 1) 2  (2 , 1) 3  (1 , 2) y 1  (1 , 1) 2  (2 , 1) 3  (1 , 2) 5 4 3 2 1 4  (3 , 1) 5  (2 , 2) 6  (1 , 3) …  … … x 1 2 3 4 5 結論 格點數量 = 整數數量    = 

格點與整數的比較 結論 分數數量 = 格點數量 = 整數數量 換句話說 整數和分數一樣多！ 同時，我們可以將每一個分數編號。 1 2 3 4 5 6 …       (1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3) …       從以上證明，我們彷彿證了 分數數量  整數數量。但由於整數亦是分數的一部分，所以它們才相等。 結論 分數數量 = 格點數量 = 整數數量 換句話說 整數和分數一樣多！ 同時，我們可以將每一個分數編號。

是否所有的「無窮大」 都相等？ 是否所有的「無窮大」 都可以被編號？

實數與整數的比較 假如可將 0 與 1 之間的每個實數編號： a1 = 0. 2 4 5 0 8 7 … … = … … … … b = 0. 2 0 5 0 6 1 …        凡雙數改 1、單數改 2 1 b' 2 … 1 = 0. 1 2 1

 實數與整數的比較 矛盾！ 假如可將 0 與 1 之間的每個實數編號： a1 = 0. 2 4 5 0 8 7 … … = … … … … 注意： b' 不可能是 a1、a2、a3 …等的其中之一； 但 b' 卻是介乎於 0 與 1 之間的實數！ 矛盾！ b = 0. 2 0 5 0 6 1 …        = 0. 1 b' 2 … 2 1 1 1

實數與整數的比較 結論 實數不可以被編號。 實數的數量比 整數的數量為多！

新思維的創造者 康托（Georg Cantor; 1845  1918） 出生於俄國的聖彼得堡，猶太人後裔。 11 歲時遷入德國，1867 年獲柏林大學的博士學位，1872 年升為教授。 1874 年開始引進他的無窮大概念，從而創立出「超窮集合論」。

超窮數（Transfinite Numbers） 0 所有整數和分數的數目 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, … … 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/2 , 1/5 , 1/6 , 2/5 , 3/4 , 4/3 , 5/2 , 22/7 , 113/355 , 52163/16604 , 17/12 , … …

超窮數（Transfinite Numbers） 1 線、面、立體上 所有幾何點的數目

超窮數（Transfinite Numbers） 2 所有幾何曲線的數目

超窮數（Transfinite Numbers） 3 ？ “Je le vois, mais je ne le crois pas.” ~~ Cantor 「我看到了，但我不相信。」 ～～ 康托

不幸的結局 可惜的是，康托的觀點未能被當時的數學家所認同。 康托的反對者： 龐加萊 1854  1912 克萊因 1849  1925 龐加萊；Jules Henri Poincaré 克萊因；Felix Klein 克羅內克；Leopold Kronecker 克羅內克為康托的老師。由於他不接受康托的超窮集合論，所以他曾試圖阻止康托在柏林大學任教。 龐加萊 1854  1912 克萊因 1849  1925 克羅內克 1823  1891

不幸的結局 由於康托受不起別人的評擊，他的精神終於在 1884 年崩潰。 1918 年 1 月 6 日，康托死於德國的一所精神病院之內。

遲來的認同 踏入二十世紀，康托的理論終於獲得承認。 「任何人都無法把我們從康托為我們創建的樂園中趕走。」 ～～希爾伯特 羅素 希爾伯特 1872  1970 希爾伯特 1862  1943

連續統假設 在 0 與 1 之間，不會再有超窮數。 1878 年，康托在一篇論文中提出以上的假設，但無法證明。 1900 年夏天，希爾伯特在巴黎舉行的第二次國際數學家代表大會上，提出了 23 個未解決的問題，其中第一個問題就是：「證明連續統假設。」

連續統假設 在 0 與 1 之間，不會再有超窮數。 哥德爾（Kurt Gödel; 1906  1978） 1938 年，哥德爾證明了連續統假設並不與現有的數學系統發生矛盾。 出生於捷克，後移居美國。

連續統假設 在 0 與 1 之間，不會再有超窮數。 科恩（Paul Joseph Cohen; 1934  ） 1964 年，科恩證明了即使否定了連續統假設，亦不會與現有的數學系統發生矛盾。 美國人

完 多謝！ 梁 子傑

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