第 4 章 正弦交流电路

4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路 4.5 阻抗的串联与并联 4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高 4.9 非正弦周期交压和电流

本章要求 1、理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2、理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 3、熟练掌握正弦交流电路的相量分析法，会画相量图； 4、掌握有功功率和功率因数的计算, 了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念； 5、了解正弦交流电路的频率特性，谐振的条件及特征； 6、了解提高功率因数的意义和方法。

交流电路中的元件向量模型 教学 重点 基尔霍夫定律，欧姆定律的相量形式 交流电路的分析方法 交流电路的功率计算

电感、电容元件电压电流关系的物理实质 教学 难点 利用相量图分析电路的方法

4.1 正弦电压与电流 + _ 正弦量：正弦电压、电流等物理量的统称。 随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为正弦电压、电流。 u i R a b _ 正半周：电流实际方向与参考方向相同 负半周：电流实际方向与参考方向相反

i O 设正弦交流电流： Im T  2  幅值 初相角 角频率 正弦量的三要素：幅值、角频率、初相角。

i 4.1.1 频率与周期 周期T （s） ：变化一周所需的时间 频率f （Hz） ： 角频率ω（rad/s） ： O 4.1.1 频率与周期 T 周期T （s） ：变化一周所需的时间 频率f （Hz） ： 角频率ω（rad/s） ： 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz

4.1.2 幅值与有效值 瞬时值: i、u、e 指正弦量任意瞬间的值 幅值: Im、Um、Em 指正弦量在一个周期内的最大值 4.1.2 幅值与有效值 t i Ｔ 振幅 Im 用小写表示 瞬时值: i、u、e 指正弦量任意瞬间的值 幅值: Im、Um、Em 指正弦量在一个周期内的最大值 幅值必须大写, 下标加 m 必须用大写表示，无下标 有效值： I、U、E 一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。

有效值的推导： 直流 交流 则有 同理： 说明：交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值

相位差 ： 两同频率的正弦量之间的初相位之差。 4.1.3 初相位与相位差 正弦量：  i O 相位： 反映正弦量变化的进程。 初相位：  表示正弦量在 t =0时的相角。 （用 的角度表示） 若所取计时时刻（时间零点的选择）不同， 则正弦量初相位不同。 相位差 ： 两同频率的正弦量之间的初相位之差。

设正弦量： i和u的相位差为： 如果： 电流超前电压 角。 如果： 电流 滞后电压  角。 说明：不同频率的正弦量无比较意义 u i i  t i u i u 如果： 电流超前电压 角。 如果：  电流 滞后电压  角。 说明：不同频率的正弦量无比较意义

u i ωt  O u i ωt 90° O 电流超前电压  电流超前电压 正交

u i ωt O ωt u i O 电压与电流反相 电压与电流同相

4.2 正弦量的相量表示法 一、正弦量现有的表示方法： 瞬时函数表示和波形图表示。 正弦量的函数式表示： 求和： 计算过程复杂

为简化计算采用一种新的表示方法：相量表示法 （用复数表示正弦量）  t i u i1 i2 正弦量的波形图表示： 求和： 计算过程复杂 为简化计算采用一种新的表示方法：相量表示法 （用复数表示正弦量）

r a A b 二、 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 设A为复数，则 A = a + jb 复数的模 复数的辐角 式中: +j 模 +1 A b a r 模 二、 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 幅角 设A为复数，则 A = a + jb 其中：a 称为复数A的实部， b 称为复数A的虚部。 复数的模 复数的辐角 式中:

由欧拉公式: 可得: 所以： 复数的几种形式： A = a + jb （代数式） （指数式） （三角式） （极坐标式）

表示正弦量的复数称为相量。 设正弦量: 相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 电压的有效值相量 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角 或： 电压的最大值相量

= 说明： 1、相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 2、只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 函数 复数 2、只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 3、只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

4、相量的两种表示形式 相量式: 相量图: 把相量表示在复平面的图形 例1: 将 u用相量式表示 解： 或 电压的有效值相量 可以不画坐标轴 例1: 将 u用相量式表示 解： 或 电压的有效值相量 电压的最大值相量 实际应用中，模多采用有效值，符号：

例2: 将 u1、u2 用相量表示 +1 +j 解: (1) 相量式 (2) 相量图 超前 落后 ？ 落后于

例3:已知 求： 有效值 I =16.8 A

4.3 单一参数的交流电路 4.3.1 电阻元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 (1) 频率相同 相量式： 4.3 单一参数的交流电路 4.3.1 电阻元件的交流电路 R u + _ 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 (1) 频率相同 相量式： (2)大小关系： (3)相位关系 ： u、i 相位相同 相位差 ：

(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 i ωt u O i u 小写 ωt p O p 结论: （耗能元件）,且随时间变化。

注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。 R u + _ (2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值 p ωt O 大写 P 单位:瓦（W） 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

4.3.2 电感元件的交流电路 设： - 1. 电压与电流的关系 + 基本关系式： eL (1) 频率相同 (2) U =I L ωt i O (1) 频率相同 (2) U =I L (3) 电压超前电流90 相位差

或 有效值: 定义： 感抗(Ω) 则: 直流： f = 0, XL =0，电感L视为短路 交流：f XL  电感L具有通直阻交的作用

O 感抗XL是频率的函数 根据： 超前 可得相量式： 相量图 则： 电感电路复数形式的欧姆定律

2. 功率关系 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 L是非耗能元件

 电感L是储能元件。 分析： 瞬时功率 ： 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i - u i - u i 瞬时功率 ： i u o 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o 可逆的能量 转换过程 + p >0 + p >0 p <0 p <0  电感L是储能元件。 储能 放能 储能 放能

(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即 瞬时功率 ： 单位：var

4.3.3 电容元件的交流电路 设： 1.电流与电压的关系 + 基本关系式： 则： 电流与电压的变化率成正比。 (1) 频率相同 4.3.3 电容元件的交流电路 u i C + _ 1.电流与电压的关系 基本关系式： 设： 则： 电流与电压的变化率成正比。 i u (1) 频率相同 (2) I =UC (3)电流超前电压90 相位差

有效值 或 定义： 容抗（Ω） 则: XC 直流： XC ，电容C视为开路 交流：f 所以电容C具有隔直通交的作用

容抗XC是频率的函数 超前 电容电路中复数形式的欧姆定律 O 容抗XC是频率的函数 由： 可得相量式 超前 相量图 则： 电容电路中复数形式的欧姆定律

2.功率关系 u i C + _ 由 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 Ｐ C是非耗能元件

纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 瞬时功率 ： u i o u,i 结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o + p >0 + p >0 p <0 p <0 所以电容C是储能元件。 充电 放电 充电 放电

为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设 (3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设 则： 同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。 单位：var

单一参数正弦交流电路的分析计算小结 R L C 电路 参数 设 i + u 则 - 设 i + u - 设 i + 则 u - 阻抗 电压、电流关系 功　率　　　　　　　 基本 关系 电路 参数 电路图 (参考方向) 瞬时值 相量图 相量式 有效值 有功功率 无功功率 设 i + R u 则 - u、 i 同相 设 i + L 则 u - u领先 i 90° 设 i + C 则 u - u落后 i 90°

4.4 R、L、C串联的交流电路 1. 电流、电压的关系 R L C + _ (1) 瞬时值表达式 根据KVL可得： 设： 则

(2)相量法 1)相量式 R jXL -jXC + _ 设 （参考相量） 则

Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 根据 令 阻抗 复数形式的 欧姆定律 则 Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 注意 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。

阻抗模： 阻抗角：  由电路参数决定。 电路参数与电路性质的关系： 当 XL >XC 时，  > 0 ，u 超前 i 呈感性 当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性

2) 相量图 由电压三角形可得: 参考相量 + R _ XL < XC XL > XC jXL (  > 0 感性) -jXC + _ XL < XC XL > XC (  > 0 感性) (  < 0 容性) 由电压三角形可得: 电压 三角形

2) 相量图 由相量图可求得: 电压 三角形 阻抗 三角形 由阻抗三角形：

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。 2.功率关系 (1) 瞬时功率 R L C + _ 设： 耗能元件上的瞬时功率 储能元件上的瞬时功率 在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。

(2) 平均功率P （有功功率） cos 称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。 单位: W 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

u 与 i 的夹角 根据电压三角形可得： (3) 无功功率Q 根据电压三角形可得： 单位：var 总电压 总电流 电阻消耗的电能 电感和电容与电源之间的能量互换 单位：var 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。 电路中总电压与总电流有效值的乘积。 单位：V·A 注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。  P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。

将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 S Q P R

例1： 在RLC串联交流电路中， 已知: 求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。 解：

方法1： (1) (2)

方法1： 通过计算可看出： 而是 (3)相量图 (4) 或

(4) (电容性) 方法2：复数运算 解：

4.5 阻抗的串联与并联 4.5.1阻抗的串联 + - 通式:

有两个阻抗 , 它们 串联接在 的电源; 求: 并作相量图。 例1: + - 解： 同理：

或利用分压公式： + - 相量图 注意：

4.5.2 阻抗并联 + - + - 通式: 对于阻抗模一般 注意： 分流公式：

例2: 有两个阻抗 , , 它们并联接在 的电源上; 求: 和 并作相量图。 解: + - 同理：

或 相量图 注意：

· · · · · 例1: 已知：I = 1845 A，求: UAB。 j8 解: ———×18 45 I1 = 30+j8 I2 10 20 j2 j6 I I1 I2 = 4.64 120 A I2 = · 30+j8 ———×18 45 30 = 17.4 30 A VA= 20 I1 = 92.8 120 V · VB= j6 I2 = 104.4 120 V · · UAB = VA – VB = 92.8 120 – 104.4 120 = – 11.6 120 V = 11.6 – 60 V

例2、 图示电路中, 已知电流表A1的读数为3A, 试问(1)A2和A3的读数为多少? (2)并联等效阻抗Z为多少? A1 + - A2 思考

4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。 试用支路电流法求电流 I3。 + - 例1: 图示电路中，已知

解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程 + - 代入已知数据，可得： 解之，得：

解：(1)断开Z3支路，求开路电压 - - (2)求等效内阻抗 (3) 例2: 应用戴维宁计算上例。 解：(1)断开Z3支路，求开路电压 + - + - (2)求等效内阻抗 (3)

*4.7 交流电路的频率特性 时域分析:电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析。 时域分析:电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析。 频域分析:电压与电流都是频率的函数，在频率领域内对电路进行分析。 频率特性或频率响应： 研究响应与频率的关系 幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。 相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。

4.7.1 RC滤波电路的频率特性 滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 需要的某一频带的信号通过, 抑制不需要的其它 频率的信号。 滤波电路主要有： 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。 C + – R 1.低通滤波电路 (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 均为频率的函数

C + – R (2) 传递函数（转移函数） 电路输出电压与输入电压的比值。 设: 则:

频率特性 幅频特性： 相频特性：  0 0  1 0.707 0 (3) 特性曲线

当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )| 明显下降,信号衰减较大。 频率特性曲线  0 1  0 0  1 0.707 0 0.707 0  C + – R 当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )| 明显下降,信号衰减较大。 一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性

把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。 频率特性曲线 0  0.707 1 C + – R 通频带： 0<  0 截止频率: 0=1/RC 通频带： 把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。

+ (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性： 2. RC高通滤波电路 C R + – (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性：

当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时, |T(j )| 变化不大，接近等于1。 (3) 频率特性曲线  1 0.707  0 0  1 0.707 0 0 通频带： 0< 截止频率: 0=1/RC 当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时, |T(j )| 变化不大，接近等于1。 一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性

3. RC带通滤波电路 R C + – (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 (2) 传递函数

设： 频率特性 幅频特性： 相频特性：

(3) 频率特性曲线   0 0  1 1/3 0 0 1 2 R C + – 0 RC串并联电路具有带通滤波特性

由频率特性可知 在=0 频率附近, |T(j )| 变化不大,接近等于1/3; 当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处，(|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率之差即： △ = (2-1) 仅当 时， 与 同相，U2=U1/3 为最大值，对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有选频作用。常用于正弦波振荡器。

4.7.2 谐振电路 在含有电阻、电感和电容的交流电路中，若电路中的电流与电 源电压同相，电路呈电阻性，称这时电路的工作状态为谐振。 串联谐振：在串联电路中发生的谐振。 谐振 并联谐振：在并联电路中发生的谐振。 一、串联谐振 – + – jXC R jXL UL • 1. 谐振条件 即: UR • U • I • 电压与电流同相,电路 中发生串联谐振。 Uc •

在串联谐振时,UL和UC是Q倍的电源电压，可能会损坏设备。在电力系统中应避免发生串联谐振。而串联谐振在无线电工程中有广泛应用。 2. 谐振频率 谐振角频率 谐振频率 品质因数 特性阻抗 在串联谐振时,UL和UC是Q倍的电源电压，可能会损坏设备。在电力系统中应避免发生串联谐振。而串联谐振在无线电工程中有广泛应用。 3. 串联谐振电路特点 最大; 总阻抗值最小Z = R ; （1） （2） （3）电路呈电阻性，电容或电感上的电压可能高于电源电压。

应用举例：无线电接收设备的输入调谐电路如图。 接收天线 C L2 L1 R C L – + 信号 信号 可调电容 各电台信号（频率不同）

二、并联谐振 C L – + R 1. 谐振条件 线圈 I • U • 可得 一般线圈电阻R<<XL (忽略R）得： 谐振频率

2. 并联谐振电路的特点： （1）电压一定时，谐振时电流最小； （2）总阻抗最大； （3）电路呈电阻性，支路电流可能会大于总电流。 通过对电路谐振的分析，掌握谐振电路的特点，在生产实践中，应该用其所长，避其所短。 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。

4.8 功率因数的提高 功率因数低的危害 1. 电源设备的容量不能充分利用 在电源设备容量 一定的情况下 4.8 功率因数的提高 功率因数低的危害 1. 电源设备的容量不能充分利用 在电源设备容量 一定的情况下 ，功率因数越低，P越小，设备得不到充分利用 （功率因数的高低完全取决于负载的参数）。 2. 增加输电线路的功率损耗 在P、U一定的情况下， cos 越低，I 越大，线路 损耗越大。 用户提高功率因数方法：感性负载采用电容并联补偿。

常用电路的功率因数 纯电阻电路 R-L-C串联电路 纯电感电路或 纯电容电路 电动机 空载 电动机 满载 日光灯 （R-L串联电路）

并联电容值的计算 + - Isinφ 即:

1、对于电感性负载，采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么? 思考题: 1、对于电感性负载，采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么? 2、原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?

（2）如将 从0.95提高到1，试问还需并多 大的电容C。 （1）如将功率因数提高到 ,需要 并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。 一感性负载,其功率P=10kW, ， 接在电压U=220V , ƒ=50Hz的电源上。 例1: 解： (1) 即

求并C前后的线路电流 并C前: 并C后: (2) 从0.95提高到1时所需增加的电容值 可见 : cos   1时再继续提高，则所需电容值很大(不经济)，所以一般不必提高到1。

4.9 非正弦周期电压和电流 O  t 2 4 Um u O  t  2 Um u 全波整流波形 矩形波 O  t 2  矩齿波 三角波

1.非正弦周期量的分解 设周期函数为f(  t )，且满足狄里赫利条件，则 可以分解为下列傅里叶级数： 二次谐波 （2倍频） 基波（或 一次谐波） 直流分量 高次谐波 2.几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式 矩形波电压 矩齿波电压

从上面几个式子可以看出列傅里叶级数具有收敛性。 三角波电压 全波整流电压 从上面几个式子可以看出列傅里叶级数具有收敛性。 3. 非正经弦周期电流 i 的有效值 结论：周期函数 的有效值为直流 分量及各次谐波 分量有效值平方 和的方根。 计算可得 式中

同理，非正弦周期电压 u 的有效值为 　例1:一可控半波整流电压, 在   之间是正弦电压， 求其平均值和有效值。 解: 平均值 有效值

4. 非正弦周期电流电路中的平均功率 设非正弦周期电压和电流如下 利用三角函数的正交性，整理得 结论：