等腰三角形

从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？

魁星阁 金字塔

侗寨吊脚楼

等腰三角形 一.基本概念 1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.等腰三角形的基本要素: 相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边 如图AB=AC， 就是等腰三角形 2.等腰三角形的基本要素: 顶角 A B C 相等的两边叫做腰 腰 另一边叫做 底边 两腰的夹角叫做顶角 底角 腰和底边的夹角叫做底角 底边

C A B AC=BC B C A AB=CB AC，BC 腰： 底边： 顶角： 底角： 腰： 底边： 顶角： 底角： AB，CB AB AC C B A， B A， C

二.等腰三角形性质的探索 做一做1： （1）把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来； （2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。 （3）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD。 B A C D 观察后你发现了什么现象？

结论： 1、等腰三角形是轴对称图形 2、∠ B =∠ C 3、BD = CD ，AD 为底边上的中线 4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高 C A B D 5、∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线 问题1、结论（2）用文字如何表述？ 等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”） 问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳为什么？

归纳： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合，简称“三线合一” A (2)要注意是哪三线? C B D (1)“等腰三角形”是三线合一的大前提 C B A (2)要注意是哪三线? G E 做一做2：画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边(腰)上的中线和高，看是否重合？ F 如图：BF为AC边上的高，BE为 ABC的平分线，BG为AC边上的中线

思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？ 如何证明：等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”） 已知：如图△ABC中AB=AC 求证：∠B=∠C C A B 证明：过A作AD⊥BC于D 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC（已知） AD=AD（公共边） ∟ ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） D ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 思考1：还有其他的证明方法吗？ 思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？

要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。 等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”） 2、等腰三角形的 顶角平分线、底边上的高和底边上的中线 互相重合（简称“三线合一”） 要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。 一般的三角形有这种性质吗？

等腰三角形的性质 ①在ΔABC中，∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C（ ） 等边对等角 ②在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD⊥BC， ∴∠____ = ∠____，___= ___ BAD CAD BD CD B C D （2）∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____ AD BC BAD CAD （3）∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，___ =___ 等腰三角形底边上的中线和高线、顶角的平分线互相重合。 AD BC BD CD

 例题 学一学 ∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45° ∠ADC=∠BDC=∠ACB=90° 例1。在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB 则图中有哪些角相等？ A C B D ∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45° ∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°

A 解： C B 例2、已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 80°， 求∠C 和 ∠A的度数。 因为 AB =AC

解： 例3、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。 A B C 1 2 因为等腰三角形的“三线合一” 所以AD是△ABC的顶角平分线、 底边上的高，即 ∠1 = ∠ 2 ∠ADC = 90° 因为 ∠ BAC =180° - 30°-30° = 120° 所以

20或22 20 70°,40°或55°,55° 35°,35° 巩固练习: 1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 ___________________ 2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 ________ 70°,40°或55°,55° 35°,35° 3等腰三角形有两边长为6和8，则该等腰三角形的周长为 20或22 4.等腰三角形有两边长为4和8，则该等腰三角形的周长为 20

练一练 1、判断下列命题是否正确。 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°。 （ ） 2、如图，在△ABC中，已知 AB = AC ，AD为∠BAC 的平分线，且∠2=25°，求∠ADB和∠B的度数。 D 1 2 A B C

当堂练习 1、等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6， 求另两边的长。 2、等腰三角形的底角比顶角大15 °，求各内角的度数 4、等腰三角形的底角可以 是直角或钝角吗？为什么？

补充例题：

达标练习二(A 水平) √ × 17 50° 80° 50° 一、填空题： 1、等腰三角形若两边长为3和7，则其周长为________。 2、如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和______。 3、如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为________。 二、判断题： 1、等腰三角形的底角都是锐角( ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形( ) 17　　 50° 80° 50° √ ×

达标练习二(B水平) 1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两个内角为__________________ 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两个内角为______ 70°,70°或40°，100 ° 30°,30° 结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论

5.已知 如图：在△ABC中，AB=AC，点M在△ABC内，且MB=MC。求证：∠ABM=∠ACM

6.已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， （1）图中有几个等腰三角形？ （2）求△ABC各角的度数。 A D B C

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF 分析： CD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD ∠2=∠3+∠DAC F 1 2 3 ∠3=∠B ∠ACB =90°，CE是AC边上高

解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x 挑战：已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？ 解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x ∵底边BC＝5 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ∴BC＋CD＝5＋x AB＋AD＝3x x 2x x ∴(5+x)：3x＝2:1 　或3x：(5+x)=2:1 5

例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB,求∠A的度数. 解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC ∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE ∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∠AED=∠EBD+∠EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°） ∴解得x=45° 即：∠A=45°

挑战５：如图，已知CE、CF分别平分∠ACB和它的外角，EF∥BC，EF交AC于D，你能说明DE＝DF的理由吗？ G

小结： 本节课你学到了什么? 1、等腰三角形的性质： 等边对等角 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合（三线合一） 3、“三线合一”性质在实际应用中，只要推出 其中一个 结论成立，其它两个结论一下成立， 所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。

再 见！