實驗7: 簡諧運動 (課本實驗9) 目的: 滑車受彈簧恢復力作用的簡諧運動(Simple Harmonic Motion- SHM ) 原理: 如彈簧伸展量(x)不大, 則遵守虎克定律(Hook’s law) 恢復力 Fr = -kx = -kxx (k: 彈性係數(spring constant), x x/x) 恢復位能 U = kx2/2 [設彈簧質量ms ~ 0 (ms << 滑車質量m)] md2x/dt2 = -kx (二階微分方程式) x(t) = Asin[(k/m)1/2t + f] = Asin(t + f) 角頻率(angular frequency): 2f = (k/m) [rad/s] 振幅(amplitude) :A 週期(period): T = 1/f 相位(phase): f 如彈簧質量 ms 0 = [k/(m + ms/3)]1/2 m k(ms)
實驗: 利用無摩擦力空氣軌上滑車加彈簧 [空氣軌實驗III] 1. 測量彈簧彈性係數k A: 靜態(static)測量: 彈簧加砝碼(m1)垂直懸掛, 平衡時, 伸長值y1 總力 F = F1 + Fr = m1g - ky1 = 0 k(static) = m1g/y1 (測量質量及平衡位移) B: 動態(dynamic)測量: 伸長y2作簡諧振盪(振幅A = y2 - y1) 週期 T = 2p(m1/k) k(dynamic) = 4p2m1/T2 (測量質量及週期) (ms修正?) (7-2) y1 2A
k1 k2 m x 2. 耦合振盪(coupled oscillation) [保護儀器] 滑車(m)左右各繫一根彈簧(k1,ms1),(k2,ms2)耦合振盪 二彈簧恢復力永遠與位移方向相反, 為負值(一壓縮, 另一伸長) md2x/dt2 = - k1x - k2x = -(k1 + k2)x 耦合彈性係數: k = k1 + k2 耦合彈簧位能: U = (k1 + k2)x2/2 A. 改變滑車質量(加砝碼)m: 求週期T隨m之變化 B. 換彈簧/改變彈性係數k: 求T隨k之變化 C. 改變振幅A: 求T隨A之變化 D. 求速度v(t)對位移x(t)之變化 E = mv2/2 + kx2/2 = constant (無摩擦不生熱) (7-3) k1 k2 m x