第八章 允收抽樣

8.1 概論 允收抽樣 (acceptance sampling) 係指從送驗批量 (群體) 中隨機抽取一定大小的樣本進行檢驗；若檢驗結果小於設定的標準，則判定該批產品的品質符合標準，應得以允收；若檢驗結果超過設定的標準，則判定該批產品的品質不符合標準，應得以拒收。

允收抽樣 一、優點： 檢驗次數少，成本少，人力需求少，因此檢驗成本較經濟。 降低檢驗期間搬運之耗損率。 加強供應商製程管制的意願。 降低檢驗人員因重複性工作所導致之工作疲勞。 提供無法全面檢驗產品之品質評估標準。

允收抽樣 二、缺點： 可能會造成不良品被允收之風險。 可能會造成良品被拒收之風險。 抽樣計畫之設計需額外耗費時間、人力與成本。 無法確保送驗批量中所有產品之品質及其相關資訊。

允收抽樣 產品生產批 (lot) 或送驗批必須具相同的形式、等級、類別、成分及外觀等，且在同一環境、人員及設備的條件下所完成之產品，因此送驗產品之特性必須具一致性，即送驗產品必須在相同的製程設備、程序、環境及標準等情況下，所生產完成的產品，使其具有相同的品質特性。

8.2 抽樣計畫之形式 一、單次抽樣計畫 二、雙次抽樣計畫 單次抽樣計畫 (single sampling plans) 是由送驗批量中僅隨機抽取一次樣本執行檢驗，以做為判定之標準；若樣本的不良數小於允收數，則判定為允收，反之則判定為拒收。 二、雙次抽樣計畫 雙次抽樣計畫 (double sampling plans) 是由送驗批量中隨機抽取第一次樣本執行檢驗，以判定其「允收」、「續抽」或「拒收」等三個可能情況，且第一次抽樣之樣本抽後不再放回。若第一次抽樣結果無法判定「允收」或「拒收」，屬「續抽」情形，則執行第二次抽樣檢驗，且第二次抽樣結果必須能判定出「允收」或「拒收」，其抽樣程序，如圖8.1所示。

雙次抽樣計畫

多次抽樣計畫 三、多次抽樣計畫 四、截略抽樣計畫 多次抽樣計畫 (multiple sampling plans) 之抽樣次數大於2，但不得多於K次 (一般3 ≤ K ≤ 7)。 四、截略抽樣計畫 截略抽樣計畫 (curtailed sampling plans) 為節省檢驗的工作量及成本。於抽檢驗計畫執行期間，若已檢驗的樣本數小於應檢驗的樣本數 (n) 即可判定拒收時，即停止驗驗。

抽樣形式比較

抽樣計畫 五、連鎖抽樣計畫 六、跳批抽樣計畫 連鎖抽樣計畫 (chain sampling plans) 屬連續型抽樣計畫 (continuing sampling plans) 的一種，當抽樣結果不符允收要求時即停止檢驗。 六、跳批抽樣計畫 開始各批均進行100%檢驗； 連續i批均允收； 進行跳批抽樣檢驗； 跳批抽樣過程中有一批 (或二批、三批等，依雙方議定結果執行) 檢驗不合格，判定為拒收時，即重新回到步驟1開始後續的檢驗。

抽樣計畫 七、逐次抽樣計畫 逐次抽樣計畫 (sequential sampling plans) 是依照既定的驗收標準，執行抽樣、檢驗及判定，其作業方式與多次抽樣計畫雷同，惟逐次抽樣計畫沒有限制抽樣次數，可無限制的連續抽樣。

8.3 抽樣檢驗之風險 一、生產者風險 二、消費者風險 生產者風險 (Producer Risk, PR) 係指生產者品質良好，已達允收水準時，理應予以允收，惟因隨機抽取的樣本中恰好抽到較多的不良品，致該批產品被判為拒收，因此將導致生產者損失。 二、消費者風險 消費者風險 (Customer Risk, CR) 係指當產品品質相當惡劣，已達拒收水準時，理應予以拒收，惟因隨機抽取的樣本恰好抽到較多的良品，且符合品質規範要求，以致被判為允收，如此將導致消費者損失。

8.4 允收品質水準之訂定 8.4.1 經驗法 一、缺點等級 依據檢驗項目之嚴重缺點、主要缺點及次要缺點，分別訂定不同的允收品質水準。

允收品質水準之訂定 二、檢驗項目 依檢驗項目多寡決定允收品質水準的要求。

8.4.2　損益平衡法 經由品質成本分析可得其損益平衡點，如下式所示：

損益平衡法

例題 8.2 解

8.4.3　歸納法

例題 8.3 解

例題 8.3

8.5 操作特性曲線 操作特性曲線 (Operating Characteristic curve, OC curve) (OC曲線) 係指在不同的不良率 (p) 情況下，送驗產品被允收的機率 (Pa)。 一、A型OC曲線 當送驗產品係來自有限的群體，或樣本數 (n) 與批量 (N) 之比率 (n/N) ≥ 0.1時，則二項式分配可以超幾何分配計算其OC曲線，此OC曲線稱為A型OC曲線。

操作特性曲線 理想的操作特性曲線於不良率座標軸僅含合格區及不合格區兩部份，如圖8.3所示，其中合格區的允收機率為1，不合格區的允收機率為0。 二、B型OC曲線 當產品係來自批量生產或連續型生產的產品，此類產品批量 (N) 相當大，相對的 (n/N) 相當小，且製程不良率很小時，則二項式分配可以卜氏分配計算其OC曲線，此OC曲線稱為B型OC曲線。當N ≥ 10n時，A型OC曲線與B型OC曲線幾乎相同。一般沒有特別提及A型OC曲線，則可視該OC曲線為B型OC曲線。 理想的操作特性曲線於不良率座標軸僅含合格區及不合格區兩部份，如圖8.3所示，其中合格區的允收機率為1，不合格區的允收機率為0。

理想操作特性曲線

若以隨機抽樣方式執行檢驗，則操作特性曲線可分為「合格區」(p ≤ AQL)、「未定區」(AQL < p ≤ LTPD) 及「不合格區」(p > LTPD) 三大部份，其中「合格區」最大不良率為允收不良率 (p0)，「不合格區」最小不良率為拒收不良率 (p1)，不良率 (p) 在p0與p1之間的「未定區」稱為無差異品質水準 (Indifference Quality Level, IQL) 區。

風險 一、生產者風險 允收機率 (pa) = 1－α，相對應的允收不良率(p0) 為允收品質水準 (Acceptable Quality Level, AQL)，即p0 = AQL。 二、消費者風險 允收機率 (Pa) =β，相對應的拒收不良率 (p1) 為拒收品質水準 (Lot Tolerance Percentage Defective, LTPD)，即p1 = LTPD。

實際操作特性曲線

8.5.1 單次抽樣計畫 單次抽樣計畫之操作特性曲線製作步驟如下： 假設送驗批量的不良率 (p)； 預估不良數平均數 (λ) = np； 8.5.1　單次抽樣計畫 單次抽樣計畫之操作特性曲線製作步驟如下： 假設送驗批量的不良率 (p)； 預估不良數平均數 (λ) = np； A型OC曲線：以超幾何分配分別計算各允收數 (c = 0, 　　 1,…, c－1, c) 的允收機率，並以其累積 允收機率當作該不良率之允收機率 (Pa) B型OC曲線：以卜氏分配表查出各組 (np, d)≤允收數 量(c＝0,1, …, c－1, c)的累積允收機率 (Pa)；以p與Pa繪製OC曲線。 其他不良率可以內差方式求得。

例題 8.4 解

例題 8.4

8.5.2 雙次抽樣計畫 雙次抽樣計畫之操作特性曲線必須繪製兩條OC曲線，第一條OC曲線代表第一次抽樣的允收機率；第二條OC曲線代表第一次抽樣與第二次抽樣兩次合併的允收機率。

8.5.2 雙次抽樣計畫 雙次抽樣計畫之操作特性曲線繪製程序如下 (以圖8.6為例) ： 假設送驗產品之不良率 (p)； 比照單次抽樣計畫之操作特性曲線製作步驟，計算第一次抽樣之允收機率 (Pa) (Pa)I＝(Pa(≤ c1))I，其中I表第一次抽樣，(Pa)I為第一次允收機率

例題 8.5 解

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

例題 8.5

8.6 操作特性曲線之特性

OC曲線的品質保證特性 OC曲線的品質保證特性： 於送驗批量中隨機抽取相同比例的樣本數，即n/N為固定比率值，且允收數 (c) 為固定值，則OC曲線對不同n的比率值有很大的差異性，即同一允收機率情況下n愈小，被允收的機率(Pa)愈大；反之，被允收的機率(Pa)愈小。因此當指定不良率 (p) 時，抽樣的樣本數愈多，被允收的機率愈小。由OC曲線的變化知，允收機率(Pa)與 n/N 之關係，屬非線性關係，因此抽樣檢驗不宜採用百分比的觀念訂定樣本數 (n)。

OC曲線的品質保證特性 於不同數量的送驗批量 (N) 情況下，抽取相同數量的樣本數 (n) 及固定允收數 (c) 時，其OC曲線對品質保證之差異不大，此類型OC曲線適用於歸準型抽樣計畫。 於送驗批量 (N) 及允收數 (c) 固定不變的情況下，當抽樣的樣本數 (n) 愈大時，OC曲線將變得愈陡峭，即允收機率(Pa)愈小。當樣本數 (n) 愈大時，其α值愈大 (允收機率愈小)，β值愈小 (不良率愈小)；反之，其α值愈小 (允收機率愈大)，β值愈大 (不良率愈大)。此類型OC曲線適用於大多數的抽樣計畫。

OC曲線的品質保證特性 當送驗批量 (N) 及抽樣樣本數 (n) 不變的情況下，允收數 (c) 愈少時，OC曲線會變得愈陡峭，即允收機率(Pa)愈小。當允收數 (c) 愈大時，其α值愈小 (允收機率愈大)，β值愈大 (不良率愈大)；反之，其α值愈大 (允收機率愈小)，β值愈小 (不良率愈小)。

8.7 平均出廠品質 平均出廠品質 (Average Outgoing Quality, AOQ) 係指產品經由廠方執行選別型檢驗(screening inspection) 後再將產品送出廠，藉由長期檢驗的結果，可瞭解產品品質特性之平均出廠不良率，即為平均出廠品質。 若產品批量為N，其製程不良率為p，允收機率為Pa，由批量中隨機抽取n個樣本執行選別型檢驗，其可能發生的結果與處置方式為： 拒收：進行100% 檢驗，並將所有不良品以良品替換。因此，該批不良品數 = 0。 不良率 ( ) = 0

平均出廠品質 允收：以良品替換樣本中之不良品。該批未檢驗部份仍有不良品數 = p×(N－n)。當允收機率為Pa時，該批被允收時的不良品數量為：Pa×p×(N－n)，不良率 ( ) 為： 　經選別型檢驗後，該批產品之不良率，即為出廠品質 (Outgoing Quality, OQ)：

平均出廠品質 若有K批產品，每一批量為N，不良率為p，允收機率為Pa，K批之總數量為KN。經選別型檢驗後，於拒收時其不良率 ( ) = 0；於允收時其不良數為：K×Pa×p×(N－n)。K批之允收不良率 ( ) = K×Pa×p×(N－n)/ KN。每批的平均出廠品質 (AOQ) 為： 平均出廠品質極限 (Average Outgoing Quality Limit, AOQL) 為AOQ-p曲線中最高點，即AOQ的最大值。

例題 8.7 解

例題 8.7

例題 8.7

AOQ-p%曲線

8.8 平均樣本數 平均樣本數 (Average Sample Number, ASN) 係指於抽樣計畫中規劃不同的允收、續抽或拒收標準時，平均每一送驗批所需檢驗的樣本大小。

平均樣本數 雙次抽樣計畫之平均樣本大小係決定於是否需執行第二次抽樣，然第二次抽樣樣本大小又與送驗批的不良率有關。因此，若需執行第二抽樣情況下，雙次抽樣計畫之平均樣本數 (ASN) 之計算方式如下：

平均樣本數 因此平均樣本數 (ASN) 為上述兩種情況之累加：

例題 8.8 解

例題 8.8

例題 8.8

8.9 平均總檢驗數 平均總檢驗數 (Average Total Inspection, ATI) 是在選別型抽樣計畫下，每批產品之平均檢驗數量。 若每批產品數量為N，其不良率為p，允收機率為Pa，由批量中隨機抽取n個樣本執行選別型檢驗。其檢驗結果可能被判定為允收或拒收： 允收：檢驗樣本數 = n。 拒收：需執行100% 檢驗，其發生之機率為1－Pa，拒收時除檢驗已抽取的n個樣本數外，尚需檢驗產品的數量為(1－Pa) ×(N－n)。

若有K批產品送驗，則總檢驗數量＝K×n＋K×(1－Pa)×(N－n)，則每一批平均總檢驗數量 (ATI) 為：

單次抽樣計畫之平均總檢驗數 單次抽樣計畫與雙次抽樣計畫之平均總檢驗數為： 一、單次抽樣計畫 ATI＝n＋(1－Pa) ×(N－n) 若送驗批不良率p = 0，則允收機率 (Pa) = 1，1－Pa = 0，即ATI = n；若送驗不良率p = 100%，則允收機率為 (Pa) = 0，ATI = N。

雙次抽樣計畫之平均總檢驗數 二、雙次抽樣計畫 ATI＝n1＋(N－n) ×(Pr)I＋n2×[1－(Pa)I－(Pr)I] ＋(N－n1－n2) ×(Pr)II 　其中(Pa)I = 第一次抽樣之允收機率； 　　　(Pr)I = 第一次抽樣之拒收機率； 　　　(PI)I =1－(Pa)I－(Pr)I= 第一次抽樣之續抽機率； 　　　(Pr)II = 第二次抽樣拒收機率。

例題 8.11 解

例題 8.11

例題 8.11

例題 8.12 解

例題 8.12

8.10 計數值抽樣計畫之設計 8.10.1 單點式抽樣計畫 單點式抽樣計畫僅滿足消費者風險或生產者風險。滿足消費者風險的OC曲線必須通過 (Pa(β), p1) 點，如圖8.18所示；滿足生產者風險的OC曲線必須通過 (Pa(α), p0) 點如圖8.21所示。

滿足消費者風險 一、滿足消費者風險 確定滿足消費者風險 (β) 時之(Pa(β), p1) 及生產者風險 (α)； 假設不同的允收數 (c)； 依據允收機率 (Pa(β)) 及假設的允收數 (c)，即可以卜氏機率分配表 (或表8.20)，查出np =np(β)值；

滿足消費者風險 當送驗批量不良率 (p) 已知時，則樣本數 (n) 可以卜氏機率分配表 (或表8.20)，查出之np(β)值，除以該允收機率(Pa(β)) 之相對應的不良率 (p1)： 在滿足消費者風險 (β) 之允收機率(Pa(β)) 及其不良率 (p1) 的情況下，同時又符合生產者風險(α)之允收機率 (Pa(α)=1－α) 時，則可以 Pa(α)之允收機率及允收數 (c)，查卜氏機率分配表 (或表8.20)，得出 np = np(α)值；

滿足消費者風險 在先滿足消費者風險 (Pa(β), p1)，再滿足生產者風險之允收機率 (Pa(α)) 情況下，其不良率 (p0) 係以卜氏機率分配表 (或表8.19) 查出之 np = np(α) 值，除以樣本數 (n)：

例題 8.13 解

例題 8.13

例題 8.13

例題 8.13

例題 8.13

例題 8.13

滿足生產者風險 二、滿足生產者風險 確定滿足生產者風險 (α) 時之 (Pa(α), p0) 及消費者風險之允收機率 (Pa(β))； 假設不同的允收數 (c)； 依據滿足生產者風險 (α) 的允收機率 (Pa(α)) 及假設的允收數 (c)，查卜氏機率分配表 (或表8.20)，得出np = np(α) 值；

滿足生產者風險 滿足允收數 (c) 及生產者風險 (α) 之允收機率(Pa(α)) 情況下，由卜氏機率分配表 (或表8.20) 查出np(α)值。其樣本數 (n) 為： 滿足生產者風險 (α) 之允收機率 (Pa(α)) 及其不良率 (p0)，同時又符合消費者風險 (β) 之允收機率 (Pa(β)) 時，可以允收機率Pa(β)及允收數 (c)，查卜氏機率分配表 (或表8.20)，得出np(β)值；

滿足生產者風險 由卜氏機率分配表 (或表8.20) 查出的np(β)值及滿足生產者風險之抽樣樣本數 (n)，即可計算其拒收不良率 (p1) ：

例題 8.14 解

例題 8.14

例題 8.14

例題 8.14

例題 8.14

8.10.2 兩點式抽樣計畫 若要同時滿足生產者風險及消費者風險時，必須通過 (Pa(α), p0) 及 (Pa(β), p1) 兩點，如圖8.23所示，此抽樣計畫稱為兩點式抽樣計畫 (two-point sampling plans) 或稱規準型抽樣計畫。 於完全滿足消費者風險情況下，盡可能接近生產者的風險。 於完全滿足生產者風險情況下，盡可能接近消費者的風險。

兩點式抽樣計畫

例題 8.15 解

例題 8.15

8.10.3　選別型抽樣計畫 選別型檢驗係當送驗批被判定為拒收時，需執行100%檢驗，並挑出不良品以良品替換；當送驗批被判定為允收時，僅需將樣本中之不良品以良品更換。選別型抽樣計畫係使經由選別型檢驗之產品其平均總檢驗數量 (ATI) 最小，以降低檢驗成本。

選別型抽樣計畫

選別型抽樣計畫

選別型抽樣計畫

8.10.4 連續型抽樣計畫 連續型抽樣計畫屬AOQL型抽樣計畫可保證產品的平均出廠品質，其決定產品品質的因素為：平均出廠品質極限 (AOQL)、檢驗間隔數 (clearance number) (i) 及抽樣頻率 (sampling frequency) (f)，

連續型抽樣計畫 一、平均篩檢數量 當執行篩檢階段發現一個不良品後連續檢驗i個良品的機率為p×qi。發現一個不良品後維持篩檢的條件機率 (p) 為： 發現一個不良品後仍維持篩檢的數量

連續型抽樣計畫 二、平均檢驗頻率 當執行抽樣頻率為f之抽樣檢驗階段，發現一個不良品的機率為p，因此在該不良品出現前平均已檢驗數量 (v) ＝1/(f×p)。於篩檢階段通過檢驗的樣本數為u；於抽樣檢驗階段通過檢驗的樣本數為v×f，因此平均檢驗頻率為：

連續型抽樣計畫 三、平均出廠品質 於檢驗期間發現不良品時即以良品更換，因此檢驗過的產品均為良品，其不良率為0。將未檢驗的平均檢驗頻率(1－F)乘以不良率 (p)，即為平均出廠品質。 AOQ＝p×(1－F)

例題 8.19 解

例題 8.20 解

例題 8.20

8.10.5 逐次抽樣計畫

逐次抽樣計畫 允收線 (d0) 與拒收線 (d1) 之計算可以下式表之： d0＝－h0＋s×n d1＝h1＋s×n 其中

逐次抽樣計畫 其中d0及d1為整數，取大於d1的最接近整數當作拒收數，取小於d0的最接近整數當作允收數。

例題 8.21 解

例題 8.21

例題 8.21

例題 8.21

8.11 計量值抽樣計畫之設計 8.11.1 保證送驗批平均數之抽樣計畫 一、管制單邊規格下限 若產品製程變異已知，僅管制規格下限時，其抽樣計畫為 (n, )，其中 為樣本平均數管制下限，其允收機率 (1－α) 及拒收機率 (α) 之分布；及當製程平均數由μ0 偏移至μ1時，其允收機率 (β) 及拒收機率 (1－β) 之分布，如圖8.29所示。

例題 8.22 解

例題 8.22

例題 8.22

例題 8.22

管制單邊規格上限 二、管制單邊規格上限 已知製程變異，單邊規格管制上界之抽樣計畫為：

例題 8.23 解

管制雙邊規格界限 三、管制雙邊規格界限 已知變異性，雙邊規格之抽樣計畫為：

例題 8.25 解

例題 8.25

8.11.2 保證送驗批不良率K值法

例題 8.26 解

8.11.3 保證送驗批不良率M值法 當製程標準差已知，以樣本標準常態分配Z值推估群體變異時其統計量為： 其推估批量不良率 ( )， 如圖8.34所示。

當 ，允收時，其最大允收不良率 (M) 為： 其判定方式如下：

例題 8.27 解