习题课 阶段方法技巧训练（一） 专训2 切线的判定和性质 的四种应用类型
圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般 先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切 线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或 论证中常通过作辅助线解决有关问题．
1 应用于求线段的长 类型 1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长 线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由； (1)直线CD与⊙O相切．理由如下： 连接OD，如图， ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°. 即∠ADO＋∠1＝90°. 解：
∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1. 又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA. ∴∠CDA＋∠ADO＝90°. 即∠CDO＝90°. ∴OD⊥CD， 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC (2)∵AC＝2，⊙O的半径是3， ∴OC＝2＋3＝5，OD＝3. 在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4， ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE＝EB，∠CBE＝90°. 解：
设DE＝EB＝x， 在Rt△CBE中， 由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2， 则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2， 解得：x＝6.即BE＝6.
2 应用于求角的度数 类型 2．【中考·珠海】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个 顶点A，C，D，且与AB相切于点A. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
(1) 连接OA，OB，OC，如图， ∵AB与⊙O相切于A点， ∴OA⊥AB. 即∠OAB＝90°. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC. 又∵OA＝OC，OB＝OB， ∴△ABO≌△CBO(SSS)． ∴∠BCO＝∠BAO＝90°. ∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线． 证明：
(2)如图，连接BD， ∵△ABO≌△CBO， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC. ∴点O在BD上． ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD. 解：
∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD， ∴∠BOC＝2∠ODC. ∵CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC. ∴∠BOC＝2∠OBC. ∵∠BOC＋∠OBC＝90°， ∴∠OBC＝30°. ∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.
3 应用于求圆的半径 类型 3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接 圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半径r.
(1)⊙O与BC相切， 理由如下： 如图所示，连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD. ∴∠ODC＝90°. 解：
∵四边形ABCD为菱形， ∴AC垂直平分BD，AB＝AD＝CD＝CB. ∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上， ∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD， ∴△OBC≌△ODC. ∴∠OBC＝∠ODC＝90°. 又∵OB为⊙O的半径， ∴⊙O与BC相切．
(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD. ∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠COD＝2∠CAD，∴∠COD＝2∠ACD. 又∵∠COD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°. ∴OD＝ OC，即r＝ (OE＋CE)＝ (r＋2)， ∴r＝2.
4 应用于探究数量和位置关系 类型 4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于 点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长 线交于点P，连接PC，BC.
(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系， 并证明你的结论； 猜想：OD∥BC，OD＝ BC. 证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC. ∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB. ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，OD＝ BC. 解：
(2)求证：PC是⊙O的切线． (2) 如图，连接OC，设OP与⊙O交于点E. ∵OP⊥AC， ∴AE＝CE，即∠AOE＝∠COE. 证明： ︵ ︵
在△OAP和△OCP中， ∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP， ∴△OAP≌△OCP. ∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°.即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线．