1.BOY的聲音問

當兩條線段(或直線)相交成直角時，我們稱這兩線段(或直線)互相垂直。習慣上，我們以符號「⊥」來表示垂直。如圖㈠中，∠AOB 為一直角，即表示BO 與 AO 垂直，可把它記為「BO⊥AO」，讀作「BO 垂直於 AO」。同樣的，圖㈡中，直線 L 與直線 M 交角成 90 度(直角)，也可以記為「L⊥M」。

互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足，如圖㈠、圖㈡中的 O 點；而與一線段(或直線)垂直的直線稱為該線段(或直線)的垂線，如圖㈡中，直線 M是直線 L 的垂線，也可以說，直線 L 是直線 M 的垂線。

接著來討論線段與角的平分。 在摺紙時，我們通常利用對摺的方法將圖形平分，如圖㈢，將 AB 對摺，使兩個端點 A、B 疊合在一起，此時，N 點將 AB 分成兩個等長的線段，即 AN＝BN，我們就說 N 為 AB 的中點，也就是 N 點平分 AB。而通過 N 點且與 AB 垂直的直線(摺線 L)，就稱為 AB 的垂直平分線(或中垂線)。

同樣的，我們也可以利用對摺的方式平分一個角，如圖㈣，將∠AOB 對摺，使 OA 與 OB 疊合在一起，此時，摺線 OE 把∠AOB 平分成兩個相等的角，也就是∠AOE＝∠BOE，我們就稱直線 OE (或 OE )為∠AOB 的角平分線(或分角線)，也就是 OE 平分∠AOB。

如右圖，已知 AB⊥BC，BE 平分∠ABD，BF 平分 ∠CBD，則∠EBF＝？ 因為 AB⊥BC，所以∠ABC＝90°， 又 BE 平分∠ABD，得∠DBE＝　∠ABD， BF 平分∠CBD，得∠DBF＝ ∠CBD， 所以 ∠EBF＝∠DBE＋∠DBF ＝　(∠ABD＋∠CBD) ＝ ∠ABC＝45°。

如右圖，若 A、O、B 三點共線，且 OD 是∠AOC 的角平分線，OE 是∠BOC 的角平分線，求∠DOE＝？ 因為 A、O、B 三點共線，所以∠AOB＝180°， OD 是∠AOC 的角平分線， 得∠COD＝ ∠AOC， OE 是∠BOC 的角平分線， 得∠COE＝ ∠BOC， 所以∠DOE＝∠COD＋∠COE ＝ (∠AOC＋∠BOC) ＝ ∠AOB ＝90°

剪紙不只是臺灣的傳統藝術，它也蘊含了數學知識呵！讓我們透過下面剪紙的圖案一起來探討線對稱圖形吧！

將一個圖形沿著某一條直線對摺，如果直線兩側的部分能完全重疊，這樣的圖形稱為線對稱圖形，而這條對摺線就稱為該圖形的對稱軸，疊合的點稱為對稱點，疊合的角稱為對稱角，疊合的線段稱為對稱線段。

如圖㈤，拿出附件㈠，沿虛線將紙張對摺，並用剪刀沿著黑色線剪開，再將剪下來的圖形攤開，即得星形的線對稱圖形，如圖㈥。

在圖㈥中，對摺線 AF 就是圖形的對稱軸。C 點的對稱點是 I 點，D 點的對稱點是 H 點；∠C 的對稱角為∠I，∠E 的對稱角為∠G；AB 的對稱線段為AJ，CB 的對稱線段為 IJ 等等。

觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是，請畫出它所有的對稱軸。 ⑴ 等腰三角形 ⑵ 正方形 ⑶ 菱形 ⑷ 箏形

⑴ 等腰三角形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。 ⑵ 正方形是線對稱圖形，有 4 條對稱軸。 ⑶ 菱形是線對稱圖形，有 2 條對稱軸。 ⑷ 箏形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。

圓形是不是線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？ 圓形是線對稱圖形，且每一條直徑都是對稱軸， 所以圓形有無線多條對稱軸。

畫出下列圖形的所有的對稱軸。 ⑴ 等腰梯形 ⑵ 長方形 ⑶ 正五邊形 ⑷ 正六邊形

觀察前面附件㈠所剪下來的星形線對稱圖形，如圖㈦，並回答下列問題。 ⑴ 連接 BJ、DH，分別與 AF 交於 P、Q 兩點， 如圖㈦，則： ① BP 和 JP 相等嗎？ ② DQ 和 HQ 相等嗎？ ③ ∠APB 和∠APJ 相等嗎？ ④ ∠AQD 和∠AQH 相等嗎？ ⑤ ∠1 和∠2 相等嗎？ ⑵ AF 是否為 BJ 及 DH 的中垂線？ ⑶ I、G 分別是 C、E 的對稱點，若連接 CE 及 IG，則 IG 是否為 CE 的對稱線段？ 相等。 相等。 相等。 相等。 相等。 是。 是。

從問題探索 1 我們知道，將圖㈦的對稱點連接起來的線段，如：BJ、DH，會與對稱軸 AF 互相垂直，且被對稱軸平分，即： 線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的線段。

圖㈦中，對稱軸 AF 上的點 A、F，它們的對稱點各是哪個點？ 在對稱軸上的點，其對稱點即為本身， 也就是 A 的對稱點為 A，F 的對稱點為 F。

由例題 2 可知，等腰三角形、正方形、菱形、箏形都是線對稱圖形。接下來，我們就來看看這些多邊形還有哪些對稱的性質？ ⑴ 等腰三角形： 如圖㈧，等腰△ABC 中，CD 為對 稱軸，A、B 為對稱點， 所以 CD 垂直平分 AB，且 CD 平分∠ACB， 即 CD⊥AB，AD＝BD，且∠1＝∠2。

⑵ 正方形： 如圖㈨，正方形 ABCD 中，BD 為對稱 軸，A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC，即 BD⊥AC，且 OA＝OC； 同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，即 AC⊥BD，且 OB＝OD。

⑶ 菱形： 如圖㈩，菱形 ABCD 中，BD 為對稱軸， A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC，即 BD⊥AC，且 OA＝OC； 同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，即 AC⊥BD，且 OB＝OD。

⑷ 箏形： 如圖　，箏形 ABCD 中，AC 為對稱軸， B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，且 AC 平分∠BAD 與∠BCD， 即 AC⊥BD，OB＝OD，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。

⑴ 等腰三角形：對稱軸垂直平分底邊，且平分頂角。 ⑵ 正方形：兩對角線互相垂直平分。 ⑶ 菱形：兩對角線互相垂直平分。 ⑷ 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。

如右圖，已知五邊形 ABCDE 是以 直線 L 為對稱軸的線對稱圖形，其 中∠C＝∠D＝90°，AE＝10cm、 DE＝12cm、DF＝6cm，求五邊形 ABCDE 面積。 因為五邊形 ABCDE 為線對稱圖形， 所以 BE⊥L，CD⊥L，(對稱點的連線垂直對稱軸) 又∠D＝90°，得到∠DEG＝90°， 可知四邊形 DEGF 為長方形，且 EG＝DF＝6cm， 直角△AEG 中，AE＝10cm，EG＝6cm， 得 AG＝　 　　　　 (cm)， 所以五邊形 ABCDE 面積 ＝(△AGE 面積＋長方形 DEGF 面積)×2 ＝(　×6×8＋12×6)×2＝192 (cm2)。

如右圖，四邊形 ABCD 是以 BD 為對稱軸的線對稱圖形，若 AB＝6 公分，OC＝4 公分，∠ADB＝45°，則： ⑴ ∠ACD＝？　⑵ △ABC 的面積＝？ ⑴ 因為 BD 為對稱軸，∠ADB＝45°， 所以 BD⊥AC，∠CDB＝45°，得∠ACD＝45°。 ⑵ AB＝6 公分，得 BC＝6 公分， 又 OC＝4 公分，所以 AC＝8 公分， 且 OB＝　 　　　　＝ 　　　 ＝ (公分)， 所以△ABC 的面積＝ ×AC×OB ＝ ×8× ＝ (平方公分)。

利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的 線對稱圖形。 以直線 L 為對稱軸，分別找出 A、B、C 的對稱點 D、E、F，再畫出 DE、EF、DF，即完成線對稱圖形。

利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

如圖　，四邊形 ABCD 為正方形，因為正方形的對角線 AC 是對稱軸，因此 B 點和 D 點互為對稱點，即正方形對角的頂點互為對稱點。利用這個結論，我們可以在方格中完成較複雜的線對稱圖形。

利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的 線對稱圖形。 以直線 L 為對稱軸，因為正方形 對角的頂點互為對稱點，所以可 以分別找出 B、C、D 的對稱點 F、G、H，再畫出 AF、FG、 GH、HE，即完成線對稱圖形。

利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

由前面的介紹我們可以知道，要判斷一個圖形是否為線對稱圖形，我們可以利用對摺的方式，如果對摺後，摺線兩側的部分完全重疊，那麼這圖形就是線對稱圖形，而且摺線就是對稱軸。接下來，我們就利用摺紙來剪出線對稱圖形。

依照下圖指示，先將紅色的正方形色紙對摺兩次後，在右上角沿 AB 剪一刀(其中 OA≠OB)，請問： ⑵ 承⑴，展開後的圖形是否為線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？

⑴ 其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反， 所以只要逆推回去即可找出展開圖形。 故選 B ⑵ 是；摺痕就是對稱軸，所以共有 2 條對稱軸。

承例題 6，若依照下圖指示對摺兩次，剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ 。 (C)

依照下圖指示，先將紫色的正方形色紙對摺兩次後，在右方剪一刀，如下圖所示，請問剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？

其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反， 所以只要逆推回去即可找出展開圖形。 故選 (C)

承例題 7，若依照下圖指示對摺三次，剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ 。 (A)

過已知線段中點且與該線段垂直的直線。 　 已知線段 AB，D 為 AB 中點，若直線 L 過 D 點， 且垂直 AB，則直線 L 即為 AB 的垂直平分線。

將已知角平分為兩個等角的直線(或線段)。 　 已知∠ABC，若直線 BD(或 BD)平分∠ABC，即 ∠ABD＝∠CBD，則直線 BD(或 BD)即為∠ABC 的 角平分線。

將一個圖形沿著一條直線對摺，如果直線兩側的部分 能完全疊合，則此圖形稱為線對稱圖形，而這條直線 就稱為該圖形的對稱軸。 如右圖，因為△ABC 可以完全疊合到△ADC，所 以右圖是一個線對稱圖形，且直線 L 為此圖形的對 稱軸。

對稱軸為任意兩對稱點連接線段的垂直平分線。 右圖為線對稱圖形，B、D 為對稱點，則直線 L 會 垂直平分 BD。

⑴ 等腰三角形：對稱軸會垂直平分底邊，且平分頂角。 　 如圖　，△ABC 為等腰三角形，則 AD⊥BC，BD＝CD， 且∠1＝∠2。 ⑵ 正方形：兩對角線互相垂直平分。 　 如圖　，四邊形 ABCD 為正方形，則 AC⊥BD、且 OA＝OC、OB＝OD。

⑶ 菱形：兩對角線互相垂直平分。 　 如圖　，四邊形 ABCD 為菱形，則 AC⊥BD、且 OA＝OC、OB＝OD。 ⑷ 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。 　 如圖　，四邊形 ABCD 為箏形，則 AC⊥BD、OB＝OD， 且 AC 平分∠BAD 和∠BCD，即∠1＝∠2，∠3＝∠4。

判斷下列各圖形是否為線對稱圖形，是的打ˇ，並畫出該圖形的對稱軸；不是的打×。

利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

在下面的方格中： ⑴ 畫出以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 ⑵ 繼續以直線 M 為對稱軸，畫出線對稱圖形。

已知坐標平面上一點 A(－4 , 3)，試根據下圖回答問題。 ⑴ 若以 x 軸為對稱軸，則 A 點的對稱點坐標為何？ ⑵ 若以直線方程式 y＝x 為對稱軸，則 A 點的對稱點 坐標為何？ ⑴ 由圖可知，A 點的對稱軸坐標為(－4 , －3)。 ⑵ 由圖可知，A 點的對稱軸坐標為(3 , －4)。

如下圖，將一張正方形色紙依下圖方式對摺兩次，然後在其右上角刺穿一個洞，則此正方形色紙展開後的圖形可能為下列何者？　　　　　。 (c) 將摺疊兩次的圖逆推回去即可找出到展開圖形。 故選 C。