本章大綱 實務案例 案例導讀 3-1　終值與現值 3-2　年金終值與現值 3-3　有效年利率

政府管太多：勞退金不能一次領「恐花不到」 實務案例 政府管太多：勞退金不能一次領「恐花不到」 圖 3-1　麥當勞員工 （圖片來源：蘋果日報）

案例導讀 　　所有的餐旅業從業人員，都是適用勞基法，退休時若勞工年滿60歲且年資未滿15年，可一次領回退休金；若勞工年滿60歲且年資滿15年及以上，須按平均餘命（現為83歲）計算，按季領回退休金。雖按季領回退休金，對於沒有理財規劃的勞工，提供相對的生活保障機制；但對於有資金需求的勞工卻相形之下又缺乏彈性。上述的報導中，可以讓學生明瞭勞工退休金「年金制度」的特性，並間接強調「資金時間價值」的重要性。

3-1　終值與現值 同樣現在的一筆「資金」，經過一段時間往後「滾利」，有其未來的價格，我們稱之為「終值」；同樣未來的一筆「資金」，經過一段時間往前「折現」，有其現在的價格，我們稱之為「現值」。

一、終值 （一）單利與複利

一、終值 （一）單利與複利

（二）終值的表示 圖 3-2　終值示意圖

FVIF(r, n) 代表利率為 r，期數為 n 的終值利率因子。

假設現在你有 1,000 元的資金，預計存入 3 年的銀行定存，銀行年利率為 5%，請問 3年之後你擁有多少本利和？ 例題 3-1 【終值】 假設現在你有 1,000 元的資金，預計存入 3 年的銀行定存，銀行年利率為 5%，請問 3年之後你擁有多少本利和？

【解法 1】 利用數學公式或終值表，計算機或查表解答 (1) 利用數學式解答 FV =1,000×(1+5%)3=1,157.6（元） (1) 利用數學式解答 FV =1,000×(1+5%)3=1,157.6（元） (2) 利用終值利率因子（FVIF）表，查利率 r = 5% ，期數 n = 3 ， FVIF(5%, 3) =1.1576 FV=1,000×FVIF(5%,3)=1,000×1,.1576=1,157.6（元）

解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」

解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (2) 選擇函數類別「財務」

解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (3) 選取函數「FV」

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (4)「Rate」填入「5%」 (5)「Nper」填入「3」 (6)「Pv」填入「－1000」 (7)「Type」填入「0」

解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (8) 按「確定」計算結果「1,157.625」

二、現值 PVn= FV × PVIF(r, n) PVIF(r, n)代表利率為 r，期數為 n 的現值利率 因子。 圖 3-3　現值示意圖

假設你 3 年後有 1,000 元的資金，在年利率為 5% 的情況下，請問 3 年後有 1,000 元之現值為多少？ 例題 3-2 【現值】 假設你 3 年後有 1,000 元的資金，在年利率為 5% 的情況下，請問 3 年後有 1,000 元之現值為多少？

【解法 1】 利用數學公式或現值表，計算機或查表解答 (1) 利用數學式解答 (1) 利用數學式解答 (2) 利用現值利率因子（PVIF）表，查利率r = 5% ，期數n = 3 ，PVIF(5%, 3) = 0.8638 PV=1,000×PVIF(5%, 3) =1,000×0.8638 = 863.8（元）

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「PV」 (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「PV」 (4)「Rate」填入「5%」 (5)「Nper」填入「3」 (6)「Fv」填入「－1000」 (7)「Type」填入「0」 (8) 按「確定」計算結果「863.84」

解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下：

3-2 年金終值與現值 年金（Annuity）是指在某一段期間內，每一期都收到等額金額的支付。 3-2　年金終值與現值 年金（Annuity）是指在某一段期間內，每一期都收到等額金額的支付。 通常年金的現金流量是發生在每期的期末，此種年金稱作「普通年金（Ordinary Annuity）」；如果年金的現金流量是發生在每期的期初，則此種年金稱作「期初年金」。

一、年金終值 （一）普通年金終值 圖 3-4　普通年金終值示意圖

其中， 為年金終值利率因子（Future Value Interest Factor for an Annuity, FVIFA）。

（二）期初年金終值 圖 3-5　期初年金終值示意圖

假設有一筆 10 年到期的年金，每年年底可領 1 萬元，在利率為 6% 的情形下， (1) 請問 10 年後年金終值是多少？ 例題 3-3 【年金終值】 假設有一筆 10 年到期的年金，每年年底可領 1 萬元，在利率為 6% 的情形下， (1) 請問 10 年後年金終值是多少？ (2) 若改為每年年初可領 1 萬元，請問此種情形下，10 年後年金終值是多少？

利用年金終值表與數學公式，查表或計算機解答 (1) 年底存入（普通年金終值） 【解法 1】 利用年金終值表與數學公式，查表或計算機解答 (1) 年底存入（普通年金終值） FVA10=10,000+10,000(1+6%)1+10,000(1+6%)3 +……+10,000(1+6%)9 =10,000FVIFA(6%, 10)=131,808

利用年金終值表與數學公式，查表或計算機解答 (2) 年初存入（期初年金終值） 【解法 1】 利用年金終值表與數學公式，查表或計算機解答 (2) 年初存入（期初年金終值） FVA10=10,000(1+6%)1+10,000(1+6%)2 +10,000(1+6%)3+……+10,000(1+6%)10 =10,000FVIFA(6%, 10)(1+6%)=139,716.4

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「FV」 (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「FV」 (4)「Rate」填入「6%」 (5)「Nper」填入「10」 (6)「Pmt」填入「－10,000」

(7)「Type」若填入「0」為年底存入；若填入「1」為年初存入 解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (7)「Type」若填入「0」為年底存入；若填入「1」為年初存入 (8) 按「確定」計算結果「131,807.95」（普通年金終值）；「139,716.43」（期初年金終值）

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例題 3-4 【年金終值】 假設有一在老爺酒店上班的員工，參加勞工退休年金制度，該員工每年公司與自己共提領 3 萬元至年金帳戶。自他開始上班到退休，共提撥 40 年的年金至退休金帳戶，在年利率為 3% 的情形下，請問該員工最後可以領到多少退休金？

每年提領 3 萬元至年金帳戶，共提領 40 年，在年利率為 3% 的情形下，年金終值為 FVA40 ＝ 3 萬 ×FVIFA(3%, 40) 解答 【解法 1】利用年金終值表，查表解答 每年提領 3 萬元至年金帳戶，共提領 40 年，在年利率為 3% 的情形下，年金終值為 FVA40 ＝ 3 萬 ×FVIFA(3%, 40) ＝ 3 萬 ×75.4013 ＝ 226.2039 萬（元） 該員工最後可以領取 226.2039 萬的退休金。

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「FV」 (4)「Rate」填入「3%」 (5)「Nper」填入「40」 (6)「Pmt」填入「30,000」 (7)「Type」若填入 「0」 (8) 按「確定」計算結果「2,262,037.79」

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二、年金現值 （一）普通年金現值 圖 3-6　普通年金現值示意圖

其中， 為年金現值利率因子（Present Value Interest Factor for an Annuity, PVIFA）。

（二）期初年金現值 圖 3-7　期初年金現值示意圖

假設有一筆 10 年到期的年金，每年年底可領 1 萬元，在利率為 6% 的情形下 (1) 請問現在年金現值是多少？ 例題 3-5 【年金現值】 假設有一筆 10 年到期的年金，每年年底可領 1 萬元，在利率為 6% 的情形下 (1) 請問現在年金現值是多少？ (2) 若改為每年年初可領 1 萬元，請問此種情形下，現在年金現值是多少？

利用年金現值表與數學公式，查表或計算機解答 (1) 年底存入（普通年金現值） 【解法 1】 利用年金現值表與數學公式，查表或計算機解答 (1) 年底存入（普通年金現值）

利用年金現值表與數學公式，查表或計算機解答 (2) 年初存入（期初年金現值） 【解法 1】 利用年金現值表與數學公式，查表或計算機解答 (2) 年初存入（期初年金現值）

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「PV」 (4)「Rate」填入「6%」 (5)「Nper」填入「10」 (6)「Pmt」填入「10,000」

(7)「Type」若填入 「0」為年底存入；若填入 「1」為年初存入 解答 【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (7)「Type」若填入 「0」為年底存入；若填入 「1」為年初存入 (8) 按「確定」計算結果「73,600.87」（普通年金現值）；「78,016.92」（期初年金現值）

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例題 3-6 【年金現值】 假設有一奧運選手在比賽得到金牌，政府將頒發一筆獎金，若獎金領取的方式有兩種，一種是現在就一次提領 1,600 萬獎金；另一種則為每月 5 萬，但只能採年領 60萬的方式提取，一直到此選手離開人間為止。若此選手自從拿到奧運金牌後，假設仍有30 年的壽命，請問在這低利率時代（年利率僅 1%）的情形下，此運動員應選擇何種方式提領獎金對他而言最有利？

解答 【解法 1】利用年金現值表，查表解答 (1) 方式一： 若採一次提領 1,600 萬獎金獎金現值即為 1,600 萬（元）

若採年領 60 萬，連續領 30 年，在年利率 1% 的情形下獎金現值為 PVA30 ＝ 60 萬 × PVIFA(1%, 30) 解答 【解法 1】利用年金現值表，查表解答 (2) 方式二： 若採年領 60 萬，連續領 30 年，在年利率 1% 的情形下獎金現值為 PVA30 ＝ 60 萬 × PVIFA(1%, 30) ＝60 萬 ×25.8077＝1,548.46 萬（元） 由兩種方式比較結果，應該採一次提領1,600萬獎金較有利。

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「PV」 (2) 選擇函數類別「財務」　　　　 (3) 選取函數「PV」　　　　 (4)「Rate」填入「1%」　　 (5)「Nper」填入「30」　　 (6)「Pmt」填入「－600,000」　　　　　 (7)「Type」若填入 「0」 (8) 按「確定」計算結果「15,484,624.93」

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若承上例3-6，奧運選手可每月月領5萬，可領30年，但年利率改為0.9%的情形下，請問此選手所領的獎金的現值為何？ 例題 3-7 【年金現值】 若承上例3-6，奧運選手可每月月領5萬，可領30年，但年利率改為0.9%的情形下，請問此選手所領的獎金的現值為何？

在年利率 0.9% 的情形下，每月為 0.075% ， 30 年共有 360 個月（30×12） 解答 【解法 1】利用數學公式，計算機解答 在年利率 0.9% 的情形下，每月為 0.075% ， 30 年共有 360 個月（30×12） 獎金現值為PVA360 = 50,000×PVIFA (0.075%, 360) =15,769,549.88

【解法 2】利用 Excel 解答，步驟如下： (1) 選擇「插入函數」 (2) 選擇函數類別「財務」 (3) 選取函數「PV」 (2) 選擇函數類別「財務」　　　　　 (3) 選取函數「PV」　　　　　 (4)「Rate」填入「0.075%」　　　　　 (5)「Nper」填入「360」　　　　　 (6)「Pmt」填入「－50,000」　　　　　 (7)「Type」若填入「0」　　　　　 (8) 按「確定」計算結果「15,769,549.88」

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財管新鮮事 奧運金牌 將可終身月領 12.5 萬 （資料來源：節錄自聯合報 2013/11/18） 圖 3-8　2012 倫敦奧運舉重銀牌得主 許淑淨（圖片來源：中央社）

財管新鮮事 短評 　　奧運金牌選手獎金可選擇一次領 2,000 萬元，或亦可改領 12.5 萬元的「月終身俸」。兩者何者較利於選手，端視選手的當時的資金需求、存續年齡、未來的利率而定，但年金的提領方式確實提供選手後續生活的穩定保障。

3-3　有效年利率 一般實務與學理中，如果沒有特別宣稱，通常名目利率以「年」為計算標準。但如果計息的標準不是以「年」為單位，例如，以季、月、日等，那麼實際在計算利息時，就必須換算成以年為計價單位的有效年利率（Effective Annual Rate, EAR）。

假設甲向銀行借款 10 萬元，期限 1 年，借款年利率為 8%，並以半年複利一次為計息標準。 其實際支付的利息為 8.16% ，因此甲所付的 8.16%為以年為計價單位的有效年利率。若以一季複利一次為計息標準，約為8.24% 。

EAR表有效年利率，r為年利率，m為一年中複利的次數。

假設清泉溫泉民宿向銀行借款100萬元，借款利率為6%，銀行採每季複利一次，一年付息一次收取利息，則 例題 3-9 【有效年利率】 假設清泉溫泉民宿向銀行借款100萬元，借款利率為6%，銀行採每季複利一次，一年付息一次收取利息，則 (1) 請問有效年利率為何？ (2) 請問 1 年後應付多少本利和？ (3) 若借款利率為 9%，銀行採每月複利一次，一年付息一次收取利息，請問有效年利率為何？

(1) 利率 6%，每季複利一次，有效年利率 (2) 利率 6%，每季複利一次，1 年後本利和 (3) 利率 9%，每月複利一次，有效年利率 解答 (1) 利率 6%，每季複利一次，有效年利率 (2) 利率 6%，每季複利一次，1 年後本利和 (3) 利率 9%，每月複利一次，有效年利率

1. 請問此借款條件以「單利」與「複利」計算的有效年利率各為何？ 2. 請問若借 50 天後須付多少本利和？ 例題 3-10 【有效年利率】 茶王手搖杯飲料店，因最近景氣不好使得短期營運出現問題，因本身信用不好，無法向銀行借錢，於是轉向地下錢莊調頭寸 10 萬元，其借款條件為借貸 10 萬元，每日只要還 800 元利息。 1. 請問此借款條件以「單利」與「複利」計算的有效年利率各為何？ 2. 請問若借 50 天後須付多少本利和？

(2) 借 50 天後須付多少本利和 FV =100,000× (1+0.8%)50=148,945.2（元） 解答 (1) 借 10 萬元，每日還 800 元利息，其每日利息為 0.8%（800/100,000） 單利：EAR ＝0.8% × 365 ＝292% 複利：EAR=(1+0.8%)365 − 1=1,732.71% 地下錢莊通常都是採每日複利，所以換算成年利率高達 1,732.71%。 (2) 借 50 天後須付多少本利和 FV =100,000× (1+0.8%)50=148,945.2（元）