電子工程概論 (第七章 一般的電阻電路)

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 環路電流法式採用KVL於特定的環路或封閉路徑。首先以元件電流當作電流，再考慮以一組稱為網目（mesh）電流當作電路電流，以能擁有更系統化的分析法。 以後所討論的電路限制為平面電路，為所有元件都可能在一平面上繪出的電路，並不能有任一元件和其它元件相互交叉通過。也就是除節點外，沒有任何元件或導線相互接在一起。 環路分析亦可以應用於非平面電路，但此種電路要尋得一組用來分析適切環路十分的困難。

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 圖7.1是平面電路的例子，電路中有兩個環路，環路由箭頭及所標示的1和2加以區分。（此種電路亦有一環繞的電路外圍，這環路在分析上是不需要的。） 圖7.1 具有兩個環路的平面電路

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 一個非平面網路的例子如圖7.2中。 圖7.2 非平面電路

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 網目 如圖7.1中，平面分成不同的區域，如同木框來劃分窗戶一樣。封閉的環路形成了這些區域或”窗戶”的邊界，稱為電路的一個網目。因此網目是沒有含任何元件的特殊環路。在圖中的環路1和環路2就是網目的例子，外圍的環路不是網目，因為內部包含了一個6Ω電阻器。 網目是最容易使用的環路，因它最容易找出，網目的數目剛好是分析電路所需組成聯立方程式的正確數目。在圖7.1中，電路有兩個網目，而電路中每一元件不是在網目上，就是在另一個網目上。 環路方程式 環路分析法是由寫出環路方程式而開始的，此方程式是使用KVL 環繞這電路而獲得。因電阻器兩端的電壓是IR壓降，在方程式中的未 知數是電流。不論環路中前進電流方向是否正確，只要克希荷夫及歐 姆定律正確使用即可。

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 環路方程式 為了說明分析的步驟，讓我們寫出圖7.1電路中的環路方程式。利用 KVL按照箭頭所指的方向環繞環路1可得： (7.1) 同樣，依照箭頭指引的方向環繞環路2可得： (7.2) 利用元件電流I1、I2和I3來代替，配合歐姆定律的IR壓降可得： (7.3) 將這些數值代入(7.1)和(7.2)式中，可環環路方程式為： (7.4)

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 在此有三個元件電流在兩方程式中，但可以使用KCL在節點a上面 獲得另一個方程式為： (7.5) 將I2之值代入(7.4)式中可得： 此方程式可以化簡為： (7.6) 必須解出這些環路方程式，才能完整的分析電路。解出I1和I2之後， 可將此二數值代入(7.5)式而求得I2。電流求得後，可以求得電路中所 有的電流和電壓。例如，IR壓降可從(7.3)式求出結果。

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 方程式的解法 在(7.6)式的聯立方程式解法有很多種。其中一種是消去法，把一 適當的常數乘上一個或數個方程式，再把這些方程式作相加或相減以 消去一未知數。讓我們把(7.6)式中的I2消去來說明此方法，將(7.6)式 的第一次每項乘以4，第二式每項都乘以3，得： 把方程式1減去方程式2，可以把I2消去。結果為： 從此式中可得： (7.7)

使用元件電流的環路分析法 （LOOP ANALYSIS USING ELEMENT CURRENTS） 知道I1值後，將它代入(7.6)式任一式而求得I2。例如把I1=2代入(7.6) 式第一個方程式，可得： 或 因此 (7.8) 從(7.5)式可求德最後一個元件電流為： (7.9) 從(7.3)式得知IR壓降是： (7.10)

行列式 （DETERMINANTS） 係數行列式 在有兩未知數x1和x2的兩方程式時，具有 (7.11) 此處a、b、c、d、k1、k2是已知的常數。係數行列式Δ被寫成2×2數 列（兩行和兩列）。 (7.12)

行列式 （DETERMINANTS） 第一列（row）包含了第一個方程式中未知數x1和x2的係數a和b，而第 二列包含二個方程式中的係數c和d。 這Δ的數值被定義為： 此數可由對角線法則由下列可獲得： (7.13) 因此，Δ的右下對角線的乘積ad和左下對角線的乘積bc的差值。例如 在(7.6)式的狀況，未知數x1 = I1和x2 = I2，且係數行列式為： (7.14)

網目電流 （MESH CURRENTS） 環路分析法常把環路方程式中的元件電流，以網目電流來取代， 而簡化表示式。首先定義一網目電流，即網目電流是一元件電流，或 它可能僅是元件電流的一部份。如圖7.3中的網目電流是Ia和Ib，而元 件電流是I1、I2和I3。為了知道網目電流和元件電流之間的關係，讓我 們用環路分析法來分析此電路。 圖7.3 具有兩個網目電流的電路

網目電流 （MESH CURRENTS） 利用KVL環繞第一個網目（包括Vg1）並將IR壓降的數值以元件 電流來表示，則可得： 同樣地，環繞第二個網目可得： 重寫這結果，可得環路方程式： (7.15) 並且在節點a利用KCL可得： (7.16)

網目電流 （MESH CURRENTS） 元件電流與網目電流的關係： 因為Ia往右流經R1，所以它必是元件電流I1，即： (7.17) 同樣的，Ib往右流經R2，故和I2相同，亦可得： (7.18) 因此，網目電流構成了全部的元件電流。在元件電流I2的狀況，由 (7.16)式至(7.18)式可得： (7.19) 因此在R3的元件電流是由網目電流所混合而成的。

網目電流 （MESH CURRENTS） 一般狀況 一般，若有兩個或更多的網路電流通過元件，則元件電流是這些網 目電流的代數和，這在圖7.4(a)和(b)中做了說明，在圖(a)中元件電流I1以 網目電流Ia和Ib寫出 (7.20) 在圖(b)中元件電流I2為： (7.21) 在圖7.4(a)中，I1是往下流經元件的總電流，因此I1等於往下的網目電流 Ia減去向上的網目電流Ib。在圖7.4(b)中，I2是向下流的總電流，為向下 的網目電流Ia和Ib之和。

網目電流 （MESH CURRENTS） 圖7.4 網目電流和元件電流之關係

網目電流 （MESH CURRENTS） 現在解圖7.3中的電路，網目方程式(7.15)是以網目電流Ia及Ib為項， 將(7.17)式至(7.19)式代入(7.15)式中元件電流項，結果是： (7.22) 這結果可從圖7.3中，以網目電流項寫出IR壓降而直接寫出。 將(7.22)式中的相集合在一起，可得更簡單的形式 由這方程式可解出Ia和Ib，然後所有元件電流和電壓便可利用網目電流 去求出。

範例－7.1 例：求圖7.5中電路的網目電流，元件電流和IR壓降。 圖7.5 兩個網目電流的範例

範例－7.1 解：以網目電流Ia和Ib為項，則IR壓降為： 因此第一個網目方程式為： 而第二個網目方程式為： 整理後可得： (7.23) 將方程式2的每項除以3後，可得：

範例－7.1 將兩方程式相加，其結果為： 或 將此值代入(7.23)式第一式中，得： 求得： 元件電流是： 而IR壓降是：

網目電流 （MESH CURRENTS） 簡化步驟 若假設網目電流的方向如圖7.5中的順時鐘方向，此時有一簡化寫出網目方程式的方法。 將設按照所定方向的網目電流為Ia，則方程式左邊Ia的係數為網目中所有電阻之和。這是由於所有電阻的IR壓降是正值，而每個電阻上的電流都是Ia之故。 另一網目電流Ib，流通與Ia共同電阻時其方向相反，因此它提供的IR壓降是負值。為完成方程式，在其等號右邊是由網目中電壓源所提供電壓昇之代數和。 例如，應用簡化步驟在圖7.5中的電路。網目電流Ia所寫出的網目方程式為：Ia的係數為3+6=9，是網目中電阻之和。Ib的係數為-6，此負電阻值是兩個網目所共有。方程式等號右邊是51，它是Ia一順時針方向所碰到電源的電壓昇。 由網目電流Ib所寫出的網目方程式為：Ib的係數為12+6=18，是網目中電阻之和。Ia的係數是-6，此負電阻值是兩網目所共有。等號右邊是-6（因順時鐘經過電源是+6壓降，則壓昇是-6）。可將此結果和(7.23)式比較，檢驗是否正確。

範例－7.2 例：使用簡化步驟，在圖7.6中R=3Ω，寫出電路網目方程式，並求出 網目電流Ia及Ib之值。 圖7.6 具有三個電源的電路

範例－7.2 解：使用簡化步驟，方程式為： (7.24) 解這個方程式，把第一式每項乘3，第二式每項乘2得： 把方程式相加，可得： 或Ia=360/48=7.5安培。將此值代入(7.24)式中第二式方程式，結果 為： 或 因此

網目電流 （MESH CURRENTS） 負的網目電流 如上例，把圖7.5中的兩電壓源以21伏特的電源所取代，並求出 網目電流。網目方程式是： 解這兩個方程式，可得網目電流Ia= 2安培和Ib = -0.5安培。 其中之ㄧ的網目電流Ib是負值，這意謂著Ib的網目電流應該是繞 著第二個環路以逆時鐘方向旋轉。因此通過6Ω電阻器的電流I3是：

節點電壓分析法 （NODE-VOLTAGE ANALYSIS） 網目電流分析法是以KVL環繞網目以網目電流寫出的一組聯立方 程式。從求出的網目電流，可以求出電路中每一元件的電流和電壓。 另一種電路分析法為節點電壓分析法，或節點分析法，此種方法是應 用KCL於節點上，以節點電壓寫出方程式。節點電壓法可用來求出所 有元件的電流和電壓，因此節點分析法也是一種一般的分析法。 節點電壓 在執行節點分析法之前，首先選擇任一節點作為參考（reference） 節點，或接地節點，其它節點則為非參考點。每一非參考點對參考點 的電壓定義為節點電壓。例如在圖7.7中電路參考點是節點c，以接地 符號連接這節點作為辦認之用。而非參考點a和b標示各節點電壓Va和 Vb，其意思為這節點高於接地電位Va和Vb的電壓。

節點電壓分析法 （NODE-VOLTAGE ANALYSIS） 圖7.7 參考點及非參考節點

節點電壓分析法 （NODE-VOLTAGE ANALYSIS） 接地電位 為了使分析更容易，我們選擇具有最多元件連接在一起的節點為 參考點，這一點以後將會明白。很多實際的電路都是安裝在一金屬架 上，這是邏輯上所選擇的接地節點。這種狀況在大部份的電子電路， 及汽車上的電氣電路上時常碰到。另一狀況如電力系統上，接地就是 地球本身。在每一種狀況，接地電位通常定為零伏特，因此非參考節 點的電位都超過零電位。 元件電壓 一旦節點以它的節點電壓標示之後，就可很容易的求出所有的元 件電壓。例如在圖7.7中跨於電阻器R元件電壓Vab是： 這可以使用KVL環繞電路abca而看出（真實或想像）。結果為： 從此式可知(7.25)式是正確的。

範例－7.3 例：為了說明節點分析法，讓我們求圖7.8(a)電路中電阻器的電流， 參考節點如圖所標示。非參考點電壓分別標示為Va、Vb和Vc， 但這些數值有時可經由視察電路而決定。例如，節點電壓Va高 於地16伏特（它存在-16伏特的電壓昇從參考點到Va之間），因 此這個節點電壓為： 同樣的，標示Vc的節點是高於地22伏特，因此 這些節點電壓值是標示於圖8.7(b)之中，此處的接地節點已重新畫過 ，令人更清楚的辨識它僅是一個點而已。

範例－7.3 圖7.8 含有標示節點電壓電路的兩種型式

範例－7.3 解：線再只剩一未知節點電壓Va，因此只需使用KCL一次就可以。 使用KCL於Vb節點，可得節點方程式： (7.26) 利用歐姆定律可得： (7.27) 且元件電壓與節點電壓間的關係是 (7.28)

範例－7.3 把(7.27)式及(7.28)式代入(7.26)式中，得到節點方程式為： (7.29) 當然這方程式不一定要經由(7.26)式至(7.28)是去導出，可直接視察圖 7.8(b)而寫出。簡單的說，離開節點Vb的電流之和等於零。而電流與 利用歐姆定律以節點電壓來表示。例如從Vb到Va=16的電流為(Vb-16)/3 。為完整的分析圖7.8之電路，可由(7.29)是解得Vb為： → 上式可得Vb=10伏特。利用(7.27)式和(7.28)式可得電阻器的電流為：

其它節點分析之範例 （OTHER NODAL ANALYSIS EXAMPLES） 例7.4：使用節點分析法求圖7.9中的I值。 圖7.9 具有電壓和電流源電路

範例－7.4 解：接地節點如圖所標示的，非參考點一為有21標示得節點電壓，另一 為V，在節點V的節點方程式為； 或 解節點電壓V，可得： 或V = 18伏特，因此電流I是：

範例－7.5 例：求圖7.10中電路的節點電壓V1和V2，以及I之值。 圖7.10 具有兩電壓源的電路

範例－7.5 解：參考點如圖所示，有兩個已知電壓為6和32伏特，都標示在圖上。 在節點Va的節點方程式是 (7.30) 上可得： (7.31) 把(7.30)式之每項乘以6，及把(7.31)式之每項乘以8，並將相同的 項集中在一起，可得：

範例－7.5 若把第二方程式中每項都除以2，得： (7.32) 將此二方程式相加而得： 或V1 = 7伏特。將V1之值代入(7.32)式中的第一個方程式，可得： 或 從上式可求出V2 = 10伏特。 最後，從圖7.10中可知 因此，有2.75安培的電流從32伏特電源的正端點往上流出。

範例－7.6 例：如同上例，讓我們以節點分析法求出圖7.11中的I1。在圖上分別標 示a、b、c、d等4個節點，因此電路中有三個非參考點。選擇節點 d當作參考點，並將c之節點電壓標示為V，我們要注意的是節點a 和b所具有的節點電壓可以V來表示。從c到b點之間有10伏特的電 壓昇存在，所以b點電壓是V+10。同樣的，從b點移動到a點有6伏 特的電壓昇存在，因此a點電壓必為V+10+6=V+16，此亦標示於 圖上。 解：有三個未知電壓V的項目來表示的非參考點電壓，因此僅需列出 一節點方程式就可以了。在節點a可得： (7.33) 但是I3是流過一電壓源的電流，它不能以歐姆定律來表示。然而 ，由節點b可得：

範例－7.6 圖7.11 具有三個電源的電路

範例－7.6 因此(7.33)式變為： (7.34) 由於上式的結果是將KCL供給在圖7.12中所重畫電路的封閉曲線上。即 ，電流I4、I2和I1離開曲線的和等於進去曲線的電流18安培。因此KCL不 僅可應用在一節點之上，亦可應用於電路所畫的封閉曲線上。現又回到 (7.34)式，可將I4、I2和I1利用歐姆定律和圖7.12所示的，以它們的等效表 示式來取代為： 集項之後，可得： 或V = 6伏特。從圖7.11可知電流I1可由下式獲得：

範例－7.6 圖7.12 重畫圖7.11中電路之電路圖