第二讲 同步辐射；横向运动（上）

同步辐射原理► 带电粒子在作加速运动时会辐射电磁波，并损失其能 量。高能电子在磁场中作圆周运动时，由于是在作向心 加速运动，所以会以光的形势辐射能量 因为这种辐射首先在电子同步加速器中观察到，所以 人们称它为“同步加速器辐射”，简称为“同步辐射”，或 “同步光”

辐射能量 当一个相对论电子作圆周运动时，它每圈辐射的能量 为： 总辐射功率 如果有N0个电子在储存环中作回旋运动,回旋频率为fc，则 总辐射功率为Pr=fcN0U0 在《同步辐射光源物理引论》中，用的公式（单位不同）等效： 𝑈 0 keV =26.54 𝐸 3 𝐵， 𝑃 𝑆𝑅𝑆 W =26.54𝐼 𝐸 3 𝐵 例如：E：0.4GeV， ρ ：1.33米 辐射能量U0=1.7KeV E：4.0GeV， ρ ：12.7米 辐射能量U0=1.785MeV

特征波长

1.3.2 同步辐射特征 超级显微镜

高亮度：比最强的X光管特征线亮度强万倍以上► 1-10埃，软X射线，0.1-1埃，硬X射线 辐射光强度大 几个GeV，几百毫安流强的SR平均辐射功率可达100kW， X光机最大也就是10W左右。相差4个量级 北京同步辐射装置的辐射功率可达6万瓦 合肥的同步辐射装置的辐射功率为6千瓦

宽波谱 覆盖了红外至X光波段,是目前唯一能覆盖这样宽的频谱范围又能得 到高亮度的光源。利用单色器可以随意选择所需要的波长,进行单色 光的实验 高准直 同步辐射的发射度极小,准直性可以与激光相媲美 脉冲性 电子在环行轨道中的分布不是连续的，是一团一团的电子束作回旋 运动，也即，同步辐射是脉冲光源，脉冲的宽度为100皮秒量级，脉冲 间隔为微秒或亚微米量级。同步辐射具有时间结构 偏振性 同步辐射具有线偏振和圆偏振性，可用来研究样品中特定参数的取 向问题

高真空性 同步辐射是在超高真空(或高真空)中获得，是十分清洁的光源， 没有普通光源的电极溅射问题。例如X光管，管内有残余气体， 而残余气体，受电子轰击也会发光。利用这种“干净”的光，可 作微量元素的分析、表面物理研究、超大规模集成电路的光刻 等。 可准确计算和高度稳定 利用先进的加速技术可以使电子束流在加速器中稳定循环运 行数小时以上，保持电子能量与磁场强度不变，流强缓慢下降， 从而使辐射光强有高度的稳定性（top-off更高）。这对于要求高 精度、高分辨率的重复性的实验是必要的。 谱分布和谱光度可以使用光谱计算公式精确计算，别的光源 很难做到。利用这个性质，可把它作为标准来校准其它光源

同步辐射应用 同步辐射与物质的相互作用： 空间分辨实验 - X光显微术： 时间分辨实验： 在应用领域的研究： 吸收，散射，二次粒子发射 物质的形态研究，结构研究，成分研究 时间分辨实验： 分子间的振动，有序-无序的转变，酶作用，蛋白-蛋白相互作 用，质子/电子迁移效应 在应用领域的研究： 石油，塑料，金属，建筑，微电子，化妆品，制药，食品等

同步辐射应用: 生命科学 探索生物大分子(蛋白质)的结构 了解生命过程,从结构研究进入到功 能研究的领域 蛋白质动力学的不少领域的时间尺度 是落在第三代同步辐射光源的时间分 辨领域中的，如： 分子间振动（fs-us）、有序-无序转变（ns- ms）、酶作用（ms）、蛋白质-蛋白质相互作 用（ps-ms）、质子/电子迁移反应（ps-ms）、 金属-配合基（ligand）结合（ps-ms） 在欧洲同步辐射中心（ESRF），有45％的实验申请来自生命科学家。

同步辐射应用: 生命科学 例:用同步辐射显微术研究头发和皮肤

同步辐射应用: LIGA LIGA (1)用光刻的方法在光刻胶上刻出微机械或微器件的三维结构；(2)通过电铸从光刻胶三维结构上产生金属母模； 是德文Lithogrsphie（光刻）、 Galvanoformung（电铸成型）和 Abformung（塑铸成型）三个字的字头， 它由深层同步辐射光刻、电铸成型及 塑铸成型这三个工艺过程组成。LIGA 技术原理与全息记录的大规模复制 （例如，激光唱片生产）相仿 (1)用光刻的方法在光刻胶上刻出微机械或微器件的三维结构；(2)通过电铸从光刻胶三维结构上产生金属母模； (3)用母模通过电铸或塑铸方法复制许多金属的或其它材料的生产用模； (4)用生产用模作大规模复制。

同步辐射光刻 光刻的应用领域：制造微型机械 要增加刻蚀深度，必须使用波长比紫外光短得多的X光。如果 要做几十到几百微米深度的光刻，所使用的光应是波长在2- 10埃之间的X光 除了波长之外，还有两个重要的因素，就是光的功率密度和准 直性 光刻的应用领域：制造微型机械 微马达和微照明灯具已应用于非剖开性的人体内部外科手术. 可植入人体的微型电机，直径约1mm，厚度1.9mm，质量0.1g， 转速10万转，齿轮的精度达微米量级

电子储存环物理 第二讲 电子储存环的粒子动力学（上）

基本假设 电子的横向运动 电子的横向振荡的特性 动量分散函数 电子的纵向运动——能量振荡

运动学方程

自由质点在空间的位置 需要用三个独立变量来描述 直角坐标（x1, x2, x3），或者引自原点O到质点P的矢量 𝑟 = 𝑥 1 𝑖 1 + 𝑥 2 𝑖 2 + 𝑥 3 𝑖 3 = 𝑘 𝑥 𝑘 𝑖 𝑘 其中， 𝑖 1 ， 𝑖 2 ， 𝑖 3 为笛卡尔坐标系三个方向的单位矢量 线性无关的独立变量，坐标系——线性代数的问题 X3 P 𝑟 质点：许多实际问题中，物体的形状、大小与所研究的问题无关，抑或起的作用很小；或者，物体仅仅作平动。理论上可以将该物体视为一个几何点。 质点的概念是相对的，且与其运动状态有关。地球公转，地球可视为质点；地球自转，地球不可视为质点。 O X2 X1

运动学方程 任一时刻t质点所在位置的数学描述 分量表示法 平面运动的极坐标表示 此类方程，统称为质点的“运动学方程” 𝑟 = 𝑥 1 𝑡 𝑖 1 + 𝑥 2 𝑡 𝑖 2 + 𝑥 3 𝑡 𝑖 3 = 𝑘 𝑥 𝑘 𝑡 𝑖 𝑘 平面运动的极坐标表示 𝑥 1 =𝑥 1 𝑡 𝑥 2 =𝑥 2 𝑡 𝑥 3 =𝑥 3 𝑡 𝑟=𝑟 𝑡 𝜃=𝜃 𝑡

轨道，轨道方程 运动质点在空间中占据的一连串点的集合 轨道方程式 曲线运动->特殊的极限-》直线运动 真实的物理世界不存在理论上的直线运动 轨道方程式 消去运动方程组中的时间参数t，所得诸变量间的关系式 消去的步骤可能较繁琐 不同坐标系下，轨道方程式可能完全不同（火车上的直抛，地面上的抛物线）

位移，速度，加速度 位移(∆ 𝑟 或𝒓)和路程 速度和加速度 ∆ 𝑟 给定时间内，由“初位矢”指向“末位矢”的矢量 ∆ 𝑟 给定时间内，由“初位矢”指向“末位矢”的矢量 s : 给定时间内，质点走过的实际路程 速度和加速度 位移的时间变化率的极值 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝒓 速度的时间变化率的极值 X3 𝑟 𝑡 ∆ 𝑟 𝑟 𝑡+∆𝑡 O X2 X1 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝒗 = 𝑑 2 𝑟 𝑑 𝑡 2 = 𝒓

自然坐标系 质点的曲线运动，采用“自然坐标系” 以质点相对路径上一参考点的弧长s为坐标 自然坐标系下： 𝑠=𝑠 𝑡 𝑣 𝑡 =𝑣 𝑡 𝜏 𝑎 = 𝑎 𝜏 + 𝑎 𝑛

平衡位置附近的一维自由微振动 稳定平衡位置：势能最小。取为坐标零点，则 𝑥=𝐴 sin 𝜔𝑡+𝜑 速度： 𝑥 =𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡+𝜑 因此简谐振动方程： 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 𝜔是振动的圆频率

电子的横向运动

坐标系 自然坐标系 ——建立在理想电子上 真实电子坐标 x，径向坐标（水平） y，垂直坐标 ——统一用u表示横向 s，纵向坐标 理想轨道在水平面内 s是周期性的，s、s+L、s+2L都是指的一个位置 坐标轴s与储存环中电子的平衡轨道重合。x轴位于电子运动轨道平面内，垂直于s轴，与轨道曲率半径方向一致，y轴垂直电子轨道平面。现代电子储存环属于分离作用强聚焦结构。

理想轨道 电子存在一个理想轨道 —— 设计轨道 理想轨道是闭合、平滑、近似环形的 轨道周长L＝2πR，R—— 等效半径 理想电子在理想轨道上运动，如果参数正确，理想电子将可以永远在理想轨道做周期性运动 其运动满足周期性条件f(S)＝f(S＋NL)

其它电子在其附近做准周期性运动，Δx，Δy，Δs，ΔE都很小,满足稳定性条件，否则粒子将丢失 单粒子的束流动力学，不考虑粒子之间的相互作用 满足极端相对论条件：E>>E0 线性近似：电子能量等于常数，忽略同步辐射和加速对能量的影响，这些效应将用微扰法处理

弯转磁铁 常用磁铁有弯转磁铁、聚焦磁铁、六极磁铁等 弯转磁铁又叫二极磁铁、B铁、偏转磁铁等 作用偏转电子束流，形成理想轨道 磁刚度 磁场概述 弯转磁铁 常用磁铁有弯转磁铁、聚焦磁铁、六极磁铁等 弯转磁铁又叫二极磁铁、B铁、偏转磁铁等 作用偏转电子束流，形成理想轨道 电子运动的曲率半径 洛仑兹力 离心力 0.8GeV、1.2T 2.222m 磁刚度 8GeV、1.2T 22.22m

磁场概述 弯转磁铁类型 组合聚焦型弯转磁铁 场不均匀 弱聚焦 分离聚焦型弯转磁铁 均匀场 无聚焦 组合作用，分离作用，强聚焦，弱聚焦

磁场概述 聚焦磁铁 聚焦磁铁又叫四极磁铁、Q铁等 聚焦电子束流，使电子被约束在理想轨道附近 场的特点 标志性参数

2.1电子的横向运动 横向运动是电子垂直于s轴的运动。是一种自由振荡 加速器中电子受到洛仑兹力作用 偏转电子成闭合轨道 磁场没有加速作用 磁场都是静磁场：导向磁场、聚焦磁场

磁场 𝐵 𝑦 𝑠, 𝑥, 𝑦 = 𝐵 0 𝑠 + 𝜕𝐵 𝜕𝑥 0s 𝑥 𝐵 𝑥 𝑠, 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝐵 𝜕𝑥 0s 𝑦 任意磁场可以展开成为坐标变量的幂级数 磁场的线性近似（水平方向） 𝐵 𝑦 𝑥 = 𝐵 𝑦0 + 𝑑 𝐵 𝑦 𝑑𝑥 𝑥+ 1 2! 𝑑 2 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 2 𝑥 2 + 1 3! 𝑑 3 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 3 𝑥 3 +… 垂直方向：旋度 𝛻 × 𝐵 = 𝑗 + 𝜕 𝐸 𝜕t =0 ⇒ 𝜕 𝐵 𝑥 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 𝐵 𝑦 𝑠, 𝑥, 𝑦 = 𝐵 0 𝑠 + 𝜕𝐵 𝜕𝑥 0s 𝑥 𝐵 𝑥 𝑠, 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝐵 𝜕𝑥 0s 𝑦

横向运动 曲率 聚焦强度 周期性 𝐺 𝑠 = 1 𝜌 𝑠 = 𝑒𝑐 𝐵 0 𝑠 𝐸 0 ∗ 𝐺 𝑠 = 1 𝜌 𝑠 = 𝑒𝑐 𝐵 0 𝑠 𝐸 0 ∗ 𝐺 𝑠 = 𝐺 0 = 1 𝜌 0 ，𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠 0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝐾 𝑠 = 𝑒c 𝐸 0 𝜕𝐵 𝜕𝑥 0s 𝐺 𝑠+𝐿 =𝐺 𝑠 𝐾 𝑠+𝐿 =𝐾 𝑠 *磁刚度公式

横向运动 约定 ’: d/ds 一次微分 亦即 则 另一方面 𝑥 ′′ = 𝑑 𝜃− 𝜃 0 𝑑𝑠 且 𝑥 ′ =𝑑𝑥/𝑑𝑠 𝑥 ′ =𝜃− 𝜃 0 𝑥 ′′ = 𝑑 𝜃− 𝜃 0 𝑑𝑠 𝑑𝜃=− 𝑑𝑙 𝜌 =− 𝑒𝑐𝐵 𝐸 𝑑𝑙 𝑑𝑙= 𝜌 𝑠 +𝑥 𝜌 𝑠 𝑑𝑠= 1+ 𝑥 𝜌 𝑠 𝑑𝑠= 1+𝐺𝑥 𝑑𝑠 𝐵= 𝐵 0 + 𝜕𝐵 𝜕𝑥 𝑥= 𝐸 0 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥

横向运动 假定电子与理想粒子间有微小能散 则 因此 略去所有的二阶小量 同理 𝜀=𝐸− 𝐸 0 𝐵= 𝐸−𝜀 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥 = 𝐸 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥 − 𝜀 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥 𝑑𝜃=− 𝑒𝑐𝐵 𝐸 𝑑𝑙=− 𝑒𝑐 𝐸 1+𝐺𝑥 𝑑𝑠 𝐸 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥 − 𝜀 𝑒𝑐 𝐺+𝐾𝑥 𝑑𝜃= −𝐺− 𝐺 2 +𝐾 𝑥+𝐺 𝜀 𝐸 0 𝑑𝑠 𝑥 ′′ = 𝑑 𝜃− 𝜃 0 𝑑𝑠 =− 𝐺 2 +𝐾 𝑥+𝐺 𝜀 𝐸 0 𝑦 ′′ =𝐾𝑦

横向运动 横向运动的方程 其中 改写： 𝑥 ′′ = 𝐾 𝑥 𝑠 𝑥+𝐺 𝑠 𝜀 𝐸 0 其中𝜌 𝑠 为轨道曲率半径 为聚焦函数 为动量分散 横向运动的方程 其中 改写： 𝑥 ′′ = 𝐾 𝑥 𝑠 𝑥+𝐺 𝑠 𝜀 𝐸 0 𝐾 𝑥 𝑠 =− 𝐺 2 𝑠 −𝐾 𝑠 𝐾 𝑦 𝑠 =+𝐾 𝑠 𝑦 ′′ = 𝐾 𝑦 𝑠 𝑦 𝑥 ′′ + 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 𝑥= 1 𝜌 𝑠 ∆𝑝 𝑝 𝑦 ′′ −𝐾 𝑠 𝑦=0 𝐾 𝑠 = 𝑒c 𝐸 0 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 ∆𝑝 𝑝 其中𝜌 𝑠 为轨道曲率半径 为聚焦函数 为动量分散

横向运动 没有能散的情形 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 二阶齐次微分方程的通解 写成矩阵形式：传输矩阵 全环磁场非均匀分布时，通解可引入周期性Lattice函数β（twiss参数α、β、γ）、η来描述 ∆𝑝 𝑝 =0 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 周期性条件 𝐾 𝑠+𝐿 =𝐾 𝑠

Break

经典回归 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 对比：简谐振动 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 保守力系统，哈密顿量，势能，动能，相互转化…… 横向振荡的包络 𝑢= 𝑎 𝑢 𝛽 𝑢 cos 1 𝛽 + 𝜑 0

横向运动方程的解 矩阵形式 变换矩阵 又叫传输矩阵 取决于聚焦结构（磁结构） 分离式聚焦结构—K(s)是分段常数

聚焦节（四极铁） K为正常数,聚焦 l为元件长度 初始条件 证明从略

散焦节（四极铁） K为负常数,散焦 双曲函数hyperbolic l为元件长度 比较可知，横向两个方向上的聚焦函数差一个符号，所以，对于x方向聚焦的四极铁，在y方向上是散焦的，反之亦然

直线节（漂移空间） K=0, 直线节（漂移空间）或自由空间; 变换矩阵 在其中电子不受到任何外力作用，自由直线运动

四极磁铁的薄透镜近似 当四极磁铁的长度远小于其焦距时，可以采用薄透镜近似 薄透镜近似下假定四极磁铁没有长度

二极磁铁与边缘场 扇形弯铁的变换矩阵 水平方向 垂直方向相当于自由空间 其它形式弯铁需考虑边缘场的作用 水平方向 垂直方向 扇形弯铁不用考虑边缘场，因为入射方向与法线平行。 水平方向 垂直方向

区间的变换矩阵 任何一个区间的矩阵是其每个子区间矩阵的乘积 变换矩阵相乘原则：左乘原则 按照电子看到元件的顺序，后面的元件的变换矩阵在前一个矩阵的左面 一个周期内有n个区间的话，则该周期变换矩阵为 单个（超）周期的储存环

任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 记 可以证明* 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 其本征值满足 即 怎么证明行列式=1？ 令 解为

定义α、β、γ 得到 是电子横向振荡的振幅函数 电子每经过一个周期L的相角改变量

工作点 α、 β、γ叫做Twiss参数，也叫Courant-Snyder参数 如果储存环由N个周期组成，则粒子在储存环中回旋一周后的相移为Nμ 定义 则υ(υx, υy)是粒子每回旋一圈时的横向振荡数，或称为横向振荡频率。 υx, υy也被称为储存环的工作点。

μ为虚数则M的k次幂的矩阵元指数增加，不稳定 2.1.2横向振荡的稳定性 相角为实数，振荡稳定 相角为复数，振荡不稳定 M矩阵可以写成 其中 且 且有 μ为实数则M的k次幂的矩阵元有界，稳定 μ为虚数则M的k次幂的矩阵元指数增加，不稳定

2.2电子的横向振荡的特性 相移μ独立于坐标s的参考点。证明如下 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同 教材中提到的矩阵J的迹为零似乎与此结论没有明显因果关系。行列式不为零的矩阵存在逆矩阵。 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同

2.2.1β和K的关系 利用Hill方程重写变换矩阵 上式对储存环上所有元件都是成立的

得到 即 又可写成 M矩阵又可表述成

对比可得

2.2.2横向振荡的振幅函数 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 解为 由特征值的定义 由变换矩阵又有 令 教材中关于Floque定理的叙述可以不考虑。 由特征值的定义 由变换矩阵又有

可以得到 常数，由初始条件决定 这里积分得到的也称为自由振荡的相移，与之前矩阵元计算中得到的是同一个。为什么？ 自由振荡的相移 自由振荡频率

自由振荡振幅函数的倒数的平均值 ，其中R为轨道平均半径* β是自由振荡的振幅函数，是s的周期函数 自由振荡振幅函数的倒数的平均值 ，其中R为轨道平均半径* 横向振荡轨迹可以写成 其中 *教材上的 不严密， 参考The physics of electron storage一书中的P41，公式2.67

2.2.3横向振荡的包络 粒子的横向振荡是一种假谐波振荡 是振荡轨迹的包络，即 时的值 也就是说，所有的振荡振幅都在 之内 是振荡轨迹的包络，即 时的值 也就是说，所有的振荡振幅都在 之内 轨迹分为类余弦，类正弦两类

图2. 4表明了包络线与beta函数之间的关系。Beta函数是s的周期函数。图2 图2.4表明了包络线与beta函数之间的关系。Beta函数是s的周期函数。图2.4(b)和(c)对相同的a值，不同的初始相位，有不同的振荡轨迹。

2.2.4系统的接受度 横向振荡轨迹重写为 微商 重写成 平方相加 即 得到

α、β、γ 是s的函数，椭圆的形状是随s变化的。 椭圆方程 就可以得到 设 显见 W是一个常数，独立于变量s。 椭圆的面积不变。椭圆由α、β、γ决定。 α、β、γ 是s的函数，椭圆的形状是随s变化的。

横向运动的相椭圆 其最大u值在du/du’＝0处 因此 u可能的最大值 此时是正椭圆

储存环中，电子横向运动受到真空室横向尺寸b限制，即|y|<b 则满足条件 的电子都不会丢失 定义系统接受度（容纳度）为

2.2.4变换矩阵M和N 若已知s1和s2处的Twiss参数以及之间的相移，怎么求M矩阵？ 由轨迹方程可知在s1处有 在s2处有 将两式结合，消去初始相位就得到

因此传输矩阵为

已知M，求Twiss参数的变换矩阵N 即 消去相移部分 如何化简？

即 得到N矩阵

作业题 证明变换矩阵M的行列式为1 化简变换矩阵M的矩阵元，消去相移，从而得到N