考点强化五 以特殊三角形为背景的计算与证明

以特殊三角形为背景的计算与证明的知识点通常涉及等腰三角形、直角三角形、等边三角形的有关概念、性质和判定定理、勾股定理及其逆定理等． 等腰三角形的有关性质和判定常与全等三角形甚至与一元二次方程的有关知识结合考查；等边三角形的判定多是在等腰三角形的基础上进行判定的，也常与其他几何图形的性质结合判定．另外，以特殊三角形为裁体与函数、旋转等知识相结合的探索题是命题趋向． 在解题时往往要巧妙地构造出特殊三角形，并灵活应用特殊三角形的相关性质和判定定理及各种数学思想方法的技巧．

例题1 如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点． (1)试说明：∠EAC＝∠B； 难度值 0.65 例题1 如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点． (1)试说明：∠EAC＝∠B； 点拨　证明△ACE≌△BCD即可； 点拨 解答

解答 ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD， ∴∠ECA＝∠DCB， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴EC＝DC，AC＝BC， 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴∠EAC＝∠B.

(2)若AD＝10，BD＝24，求DE的长． 点拨 利用勾股定理求出DE的长． 解答 ∵△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD＝24， ∵∠EAC＝∠B＝∠CAB＝45°， ∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAB＝90°， ∴在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋AD2， ∴DE2＝242＋102， 解得：DE＝26. 点拨 解答

考题分析 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，可以通过证明△ACE与△BCD全等，巧妙地构造出一个新的Rt△ADE，进而将已知条件集中到Rt△ADE中，使问题得到顺利解决．

例题2 如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D. (1)求证：DP＝DQ； 难度值 0.60 例题2 如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D. (1)求证：DP＝DQ； 点拨　过点P作PM∥BC交AC于点M，求证△DPM≌△DQC即可； 点拨 解答

解答 证明：如图，过点P作PM∥BC，则∠DPM＝∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM， ∵AP＝CQ，∴PM＝CQ， 在△DPM和△DQC中， ∴△DPM≌△DQC(AAS)， ∴DP＝DQ.

(2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长． 点拨　根据全等三角形对应边相等可得DM＝DC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EM，然后求出DE＝ 点拨 解答

解答 ∵△DPM≌△DQC，∴DM＝DC， ∵PE⊥AC，△APM是等边三角形， ∴AE＝EM， ∴DE＝DM＋EM＝ AC， ∵AC＝AB＝4， ∴DE＝ ×4＝2.

考题分析 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

例题3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，且CD⊥BD，若AD＝5，BD＝CD＋2，求BD的长． 难度值 0.60 例题3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，且CD⊥BD，若AD＝5，BD＝CD＋2，求BD的长． 点拨　过点A作AE⊥BD于E，证AB＝AD，求出BE的长，证△ABE∽△CBD，求出BC的长，再由勾股定理求出CD，即可得出BD. 点拨 解答

解答 如图，作AE⊥BD于E， 则∠AEB＝90°， 设CD＝x，则BD＝x＋2， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5，

∵CD⊥BD，∴∠BDC＝∠BEA＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴△ABE∽△CBD， ∵在Rt△BCD中，CD2＋BD2＝BC2， ∴x2＋(x＋2)2＝102， 解得：x＝6或x＝－8(不合题意，舍去)， ∴BD＝x＋2＝8.

考题分析 本题辅助线AE较难想到，利用BD是∠ABC的平分线，构造出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形相似及勾股定理等知识，求出BD.其中证明△ABE∽△CBD是解决问题的关键．

难度值 0.45 例题4 如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE. (1)求证：△CDE是等边三角形； 点拨　由旋转的性质可以求证△CDE是等边三角形； 点拨 解答

解答 证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE＝60°，DC＝EC， ∴△CDE是等边三角形．

(2)如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由； 点拨　当6＜t＜10时，由旋转的性质及等边三角形的性质得到C△BDE＝CD＋4，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论； 点拨 解答

解答 存在．理由如下： 当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE＝AD， ∴C△BDE＝BE＋DB＋DE＝AD＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE， 由(1)知，△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD， ∴C△BDE＝CD＋4， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

(3)如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、 E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求 出此时t的值；若不存在，请说明理由． 点拨　存在，需要分情况进行讨论：①当点D与点B重合时；②当0≤t＜6时，即点O在线段OA上时；③当6＜t＜10时，即点D在线段AB上时；④当t＞10时，即点D在点B的右侧时． 点拨 解答

解答 存在．理由如下： ①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形； ②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°， ∴∠BED＝90°， 由(1)可知，△CDE是等边三角形， ∴∠DEB＝60°， ∴∠BEC＝30°， ∴∠ADC＝∠BEC＝30°， ∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°， ∴AD＝AC＝4， ∴OD＝OA－AD＝6－4＝2， ∴t＝2÷1＝2(s)； ③当6＜t＜10时，由旋转可知，∠DBE＝120°＞90°， 此时△BDE不是直角三角形； ④当t＞10时，由旋转可知，∠DBE＝60°， 由(1)知，∠CDE＝60°， ∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，

∵0°<∠BDC<60°， ∴60°<∠BDE<120°， ∵要使D、E、B为顶点的三角形是直角三角形， ∴∠BDE＝90°， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BDC＝∠BDE－∠CDE＝90°－60°＝30°， ∵∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°， ∴在△BCD中，∠BCD＝180°－∠CBD－∠BDC＝180°－120°－30°＝30°，

∴BD＝BC＝4， ∴OD＝OA＋AB＋BD＝6＋4＋4＝14， ∴t＝14÷1＝14(s)． 综上所述，当t＝2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

考题分析 本题是以特殊三角形为裁体与旋转知识相结合的中考压轴题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等，熟练掌握特殊三角形的性质与判定、旋转的性质是解题的关键．

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