第五模块 微积分学的应用 第四节 二阶常系数线性微分方程
一 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Pn(x), ⑥ 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ⑥ 式的特解为 其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0； 当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1； 当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
例 5 求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式， 且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 . 所以设特解为 则 代入原方程后，有
比较两端 x 同次幂的系数，有 解得 A = 1，B = 4，C = 6. 故所求特解为
例 6 求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1. 所以设方程的特解为 则 代入原方程后，有
比较两端 x 同次幂的系数： 解得 故所求特解为
二 自由项 f (x) 为 Aeax 型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Aeax， ⑦ 其中 a，A 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数， 因此，我们可以设 ⑦ 的特解 其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ⑦ 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0； 当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1； 当 是其特征方程重根时，取 k = 2.
解 a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 所以，设特解为 例 7 求方程 y + y + y = 2e2x 的通解. 解 a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 所以，设特解为 则 . B 7 2 = 代入方程，得 故原方程的特解为
解 a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1， 例 8 求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解. 解 a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1， 所以，设特解为 则 , 4 1 = B 代入方程，得 故原方程的特解为
三 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)， ⑧ 其中 a，A ，B 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数， 因此, 我们可以设 ⑧有特解 其中 C，D 为待定常数. 当 a + wi 不是 ⑧ 式所对应的齐次方程的特征方程的根时， 取 k = 0， 是根时， 取 k = 1， 代入 ⑧ 式，求得 C 及 D.
例 9 求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解. 解 自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数， 且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r – 1 = 0 的根， 取 k = 0，所以设特解为 则
代入原方程，得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得 解此方程组，得 故所求特解为
例 10 求方程 y + y = sin x 的一个特解. 解 自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1， 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根， 取 k = 1，所以，设特解为 则 代入原方程，得
比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为
例 11 方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解. 解 自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和， 所以分别求方程 y + 4y = x +1， ⑨ 和 y + 4y = sin x . ⑩ 的特解. 方程 ⑨ 的特解易求得， 设方程 ⑩ 的特解为
代入⑩，得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解
原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x， 故原方程的通解为