十、變方分析 (Analysis of Variance) (Chapter 10) 劉仁沛 教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國立台灣大學流行病學與預防醫學研究所 國家衛生研究院生物統計與生物資訊組 jpliu@ntu.edu.tw 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
變方分析(Analysis of Variance) F分配(F-Distribution) 變異數同質性之檢定(Homogeneity of Variance) 單項變方分析(One-way Analysis of Variance) 完全隨機設計(Completely Randomized Design) 容許區間(Tolerance Interval) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：痛風病人與正常人血中尿酸量之變異 痛風病人尿酸量之變異是否大於正常人的變異 樣品數 平均 變方 痛風病人 n1=10 正常人 n2=8 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：一個試驗比較三種飼料對天竺鼠體重 之影響 例：一個試驗比較三種飼料對天竺鼠體重 之影響 12隻天竺鼠隨機指派食用三種飼料(４隻飼料Ａ；４隻飼料Ｂ；４之飼料Ｃ)，兩星期後體重增加之觀測值(g) 飼料 １ ２ ３ ４ Ａ ７ １０ Ｂ ６ ８ Ｃ １４ ９ １１ 三種飼料對天竺鼠增重是否不同 三個族群平均值的比較 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
Ｆ分佈 樣品變方（偏差平方和）之分佈→卡方分佈 兩個獨立樣品變方(或平方和)比的分佈 兩個獨立卡方變數之比的分佈 →Ｆ分佈(F-Distribution) Ｆ分佈為紀念R.A. Fisher 而命名， 故稱費氏Ｆ分佈 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
Ｆ分佈 Ｆ為兩個卡方變數比之分佈 Ｆ有兩個自由度 t為標準常態變數除以卡方平方根比之變數 t2為分子自由度為1，分母自由度為n1-1之Ｆ分佈 分子卡方→分子自由度 分母卡方→分母自由度 P.488-493，附表7 t為標準常態變數除以卡方平方根比之變數 t自由度為n1-1 t2為分子自由度為1，分母自由度為n1-1之Ｆ分佈 Ｆ之倒數1/F亦為Ｆ分佈：分子與分母自由度互換 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
自由度不同之F分布曲線圖 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
兩尾F值機率圖 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
敘述統計量 樣品數 平均 變方 1 n1 2 n2 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
痛風病人與正常人尿酸量之變異 拒絕H0痛瘋病人尿酸之變異大於正常人尿酸之變異 樣品數 平均 變方 痛風病人 n1=10 正常人 n2=8 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：人工與儀器測定成年人血液中尿酸量(mg/ml) n1=8 4.5 5.6 6.5 7.5 8.6 9.8 10.7 12 儀器 n2=8 6 6.8 7.6 8 8.5 9 9.5 人工測定成人血液中尿酸的變異＞儀器測定法的變異 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
飼料與天竺鼠2週增重(g) 飼料稱為處理組或處理(Treatment) 天竺鼠稱為試驗單位(Experimental Unit) 飼料 1 3 4 平均 組內偏差平方和 變方 Ａ 7 10 6 30 Ｂ 8 20 6.67 Ｃ 14 9 11 4.67 總平均＝8 飼料稱為處理組或處理(Treatment) 天竺鼠稱為試驗單位(Experimental Unit) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
影響天竺鼠2週增重變異的原因(變因) 已知變因(Known Variation) 未知變因(Unknown Variation) 飼料品牌 試驗誤差(Experimental Error) 其他所有可能的原因 天竺鼠起始體重 測量誤差 試驗環境 … 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
單項變方分析(One-way Analysis of Variance) 飼料A平均-總平均=處理A與總平均之偏差 =組間變異 兩週增重-飼料A平均=飼料A第一號天竺鼠與 處理A之偏差 =處理A組內變異 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
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(-1)2+ (-5)2+ 22+ (-4)2+ (-4)2+ 22+ (-2)2+ 02+ 22+ 62+ 12+ 32=120 (兩週增重-總平均)2和 (-1)2+ (-5)2+ 22+ (-4)2+ (-4)2+ 22+ (-2)2+ 02+ 22+ 62+ 12+ 32=120 (飼料平均-總平均)2和 (-2)2+ (-2)2+ (-2)2+ (-2)2+ (-1)2+ (-1)2+ (-1)2+ (-1)2+ 32+ 32+ 32+ 32=56 (兩週增重-飼料平均)2和 12+ (-3)2+ 42+ (-2)2+ (-3)2+ 32+ (-1)2+ (1)2+ (-1)2+ 32+ (-2)2+ 02=64 (兩週增重-總平均)2和=(飼料平均-總平均)2和+(兩週增重-飼料平均)2和 120 = 56 + 64 總平方和=組間平方和+誤差平方和 =處理平方和+誤差平方和 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
資料結構 處理平均： 總平均： 總樣品數： 處理 觀測值 處理平均 樣品數 1 x11,x12,…,x1n1 n1 2 I xi1,xi2,…,xini ni m xm1,xm2,…,xmnm nm 總平均 處理平均： 總平均： 總樣品數： 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
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處理 樣品數 處理平均 組內平方和 自由度 組內變方 1 n1 2 n2 ： i ni m nm 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
總平方和 總(平方和)自由度 處理平方和 處理(平方和)自由度: 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
誤差平方和 誤差自由度 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
總平方和=處理平方和+誤差平方和 總自由度=處理自由度+誤差自由度 SST=SSt+SSE 均方(Mean Square, MS)： 平均的平方和=平方和/自由度 處理均方：MSt=SSt/(m-1) 誤差均方：MSE=SSE/(N-m) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
單項變方分析(One-way Analysis of Variance) 將上述結果整理於變方分析表 Analysis of Variance Table (ANOVA Table) 第一行為變因(Source of Variation, SOV) 變因 (SOV) 自由度 (df) 平方和 (SS) 均方 (MS) F值 (F-value) 處理 m-1 SSt MSt=SSt/(m-1) MSt/MSE 誤差 N-m SSE MSE=SSE/(N-m) 總和 N-1 SST 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
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例：飼料與天竺鼠兩週增重(g) 飼料 ni 組內平方和 A 4 6 30 B 7 20 C 11 14 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
ANOVA Table 變因 (Sov) 自由度 (df) 平方和 (SS) 均方 (MS) F值 (F-value) 飼料 2 56 28=56/2 28/7.11=3.9375 誤差 9 64 7.11=64/9 總和 11 120 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
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例：微陣列試驗(Microarray Exp) 基因數＞1,000 試驗整體型Ⅰ誤差機率很高 基因無表現誤判有表現的機率很高 必須控制試驗整體型Ⅰ誤差機率在顯著水準α之下 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
多重比較(Multiple Comparisons) F值顯著處理平均值間有顯著差異，但不知哪兩個處理平均值間有顯著差異，必須進行處理間之兩兩比較 三個飼料：三個兩兩比較 A VS. B A VS. C B VS. C 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
多重比較(Multiple Comparisons) 個別比較型Ⅰ誤差(Comparisonwise Type Ⅰ Error) 單一兩兩比較之型Ⅰ誤差 試驗整體型Ⅰ誤差(Experimentwise Type Ⅰ Error) 飼料試驗一共有三個兩兩比較，其中任一個的型Ⅰ誤差 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
個別比較型Ⅰ誤差機率α＝0.05 兩兩比較個數 試驗整體型Ⅰ誤差機率 1 0.05 2 0.08 3 0.14 4 0.19 ： 10 0.50 1000 ∞ 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
Fisher’s 最小顯著差異 (Least Significance Difference, LSD) 決策方法：若處理i與i´之LSD不包括0 處理i與i´之平均值間有顯著差異 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：飼料與天竺鼠兩週增重 比較 LSD A VS. B (-4.46,2.46) A VS. C (-8.46,-1.54)* B VS. C (-7.46,-0.54)* 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
Bonferroni多重比較方法 顯著水準：α，兩兩比較個數：k 調整顯著水準： α*=α/k Bonferroni(1-α)%信賴區間 決策方法：若處理i與i´之Bonferroni(1-α)%信賴區間不包括0 處理i與i´之平均值間有顯著差異 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：飼料與天竺鼠兩週增重 比較 A VS. B (-5.73,3.73) A VS. C (-9.73,-0.27)* B VS. C (-8.73,0.73) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
Tukey’s忠誠顯著差異值 (Honest Significance Distance, HSD) Ｑα, m, dfE, 各組樣本數必須相等 決策方法：若處理i與i´之HSD不包括0 處理i與i´之平均值間有顯著差異 若樣本數不等，取平均樣本數 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：飼料與天竺鼠兩週增重 比較 HSD A VS. B (-5.42,3.42) A VS. C (-9.42,-0.58)* B VS. C (-8.42,0.42) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
族群容許區間(Tolerance Interval) 範圍 觀測值 (μ-1.645σ, μ+1.645σ) 90% (μ-1.96σ, μ+1.96σ) 95% (μ-2.58σ, μ+2.58σ) 99% 族群中95%的觀測值會落在(μ-1.96σ, μ+1.96σ)之間 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
μ及σ2未知時必須修正為κ值，替代標準常態百分位 κ值隨樣品數，信心水準(1-γ)與包含率(1-α)而異，見P.500-502 附表13(雙尾: P.502) 所得的容許區間： 吾人有(1-γ)%信心水準，族群中(1-α)%觀測值介於 之間 應用於品管方面： (1-γ)%信心保證(1-α)%產品會在 之間 應用於生物特性正常值範圍 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
例：某醫院３０位新生兒血液中含鈣量(mg%) 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
總結(Summary) F分配 變異數同質之檢定 單向變方分析 多重比較 容許區間 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
習題 P321 1(a), 3(b),(c) multiple comparisons by Bonferroni and Tukey HSD methods P322 4 P323 8(a) P324 11 2019/1/10 Jen-pei Liu, PhD
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