数字图像处理 第十二章 离散图像变换
CH12 离散图像变换 一、基本概念 二、余弦型变换 三、正弦型变换和哈特利变换 四、方波型变换 要点总结 上机实习
1 基本概念 1）一维离散线性变换、酉变换、正交变换
1 基本概念
1 基本概念 证明：一维离散傅立叶变换是酉变换。
1 基本概念 2）二维离散线性变换、酉变换、正交变换 德语
1 基本概念
1 基本概念
1 基本概念 3）基函数和基图像
1 基本概念
2 余弦型变换（DCT） 思想：当f(x)或f(x,y)为偶函数时，傅立叶变换只需要进行实变换。如果f(x)为一个任意函数……? 1）一维余弦变换
2 余弦型变换（DCT）
2 余弦型变换（DCT） 例：当N=4时余弦变换核矩阵C为
2 余弦型变换（DCT） 例：计算f=[1 3 3 1]的余弦变换。
2 余弦型变换（DCT） 因为余弦变换是傅立叶变换的特例，傅立叶反变换的核矩阵即是W阵的共轭矩阵，对于余弦变换共轭矩阵即等于本身，因此
2 余弦型变换（DCT） 2）二维余弦变换 思想：如何形成二维偶函数？先水平做对折镜象，然后再垂直做对折镜象。 偶对称偶函数：
2 余弦型变换（DCT） 3）余弦变换的性质
2 余弦型变换（DCT） 求下列图像的余弦变换。
2 余弦型变换（DCT） 原图 余弦变换
2 余弦型变换（DCT） 将大部分信息滤掉 重构图像
3 正弦型变换和哈特利变换 1）一维正弦变换（DST） 添加一个等于0的点，形成n+1，水平右移1个单位。然后再做奇对称，形成2n+2个点。
3 正弦型变换和哈特利变换 2）二维正弦变换
3 正弦型变换和哈特利变换 3）正弦变换性质
3 正弦型变换和哈特利变换 4）哈特利（Hartley）变换（DHT） 思想：作为DFT的替代，以减少复数运算。
4 方波型变换 1）离散沃尔什变换（Walsh） 思想：核矩阵中只有+1和-1元素，要求N=2p，是对称的可分离的酉矩阵。
4 方波型变换 N=2,4,8时的b值 N值 N=2 p=1 N=4 p=2 N=8 p=3 x值 1 2 3 4 5 6 7 x二进制 1 2 3 4 5 6 7 x二进制 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 b0(x) b1(x) b2(x)
4 方波型变换 N=2,4,8时的沃尔什变换核 N N=2 p=1 N=4 p=2 N=8 p=3 x u 1 2 3 4 5 6 7 + 1 2 3 4 5 6 7 + -
4 方波型变换 u=0 u=1 u=3 u=2 u=6 u=7 u=5 u=4
4 方波型变换 例：求N=4时沃尔什变换。
4 方波型变换 二维离散沃尔什变换
4 方波型变换 例：求下列数字图像信号矩阵的DWT。
4 方波型变换
4 方波型变换 沃尔什变换本质上将一个函数变换为取值为+1或-1的基向量构成的级数； 类似于频率函数，但又不同于频率函数； 以过零点数目替代频率的概念，称为序率；
4 方波型变换 沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。 快速沃尔什变换（FWT）
4 方波型变换 2）哈达玛（Hadamard）变换 哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换； 其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次序不同； 哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。
4 方波型变换
4 方波型变换 定序哈达玛变换 列率：在哈达玛变换矩阵中，沿某一列符号改变的次数称为这个列的列率； 实际使用中，通常交换哈达玛变换矩阵的列，使列率随u增加而递增。此时称定序哈达玛变换。
4 方波型变换
4 方波型变换 求下列图像的哈达玛变换。
4 方波型变换 3）斜变换（Slant） 斜变换是为了某种特殊信号的有效变换。对于灰度有渐变性质的电视信号特别有效。 斜变换的变换矩阵
4 方波型变换
4 方波型变换
4 方波型变换
4 方波型变换 斜变换性质 （1）斜变换是实正交变换 （2）斜变换是一种快速变换，适合灰度渐变的电视信号中； （3）对图像有较好的能量集中特性； （4）S阵的基向量即各行向量。
4 方波型变换 例：求下列数字图像信号矩阵的DCT和ST。
要点总结 1、线性变换、酉变换、正交变换、基函数、基图像的概念； 2、一维余弦变换、二维余弦变换的定义，余弦变换的性质和初步应用； 3、正弦变换、哈特利变换的定义； 4、沃尔什变换、哈达玛变换和斜变换的定义。