Data Envelopment Analysis 資料包絡分析

序論 資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis, DEA)以「效率」的概念作為加總模式，而效率則等於總產出除以總投入，並以效率最大化為目標 。 DEA法另一個與其他多屬性決策分析模式不同之處，在於DEA不須預設屬性之相對權重，乃是由實證資料中推導產生，每個受評方案的效率衡量乃是分別採取對該受評方案最有利的權重組合。

績效評估 績效評估(performance evaluation)乃是評估組織或單位如何以較少的投入資源獲得較多之產出結果的多屬性評估，通常使用「成本效益分析」之「產出投入比」來同時考慮對目標分別為負向影響的投入屬性與正向影響的產出屬性 例如評估企業的營運效率高低，可以營業額與員工人數作為屬性，以「效率」(efficiency)的概念來分析每單位投入可產生多少產出，故生產力可以「員工每人營業額」的比例式表達如下

B的員工平均每人營業額最高，因此員工生產效率最高 員工生產效率分析 生產力的目標是望大，所以營業額越高越好而員工人數越少越好 B的員工平均每人營業額最高，因此員工生產效率最高 某公司分析其八個不同工廠的生產效率以決定從中選擇一間績效最好的工廠，以營業額作為產出，員工人數作為投入，可將每個工廠按照其營業額與員工人數標示於二維座標中

其他議題的爭議 其他工廠可能會抗議說，他們的產品比較成熟所以單價低，因此產出不能光看營業額而必須考慮生產量 又有工廠抗議說他們的設備比較舊需要的操作人員多，因此投入不能只看員工人數而必須也考慮機器設備的特性 決策分析中均有適當的方法，類似的爭辯理由往往言之成理，可是也讓相對的比較無從進行，因為每個被評估的對象或方案的利害關係人都可以找到對自己有利的論點 (給予不同的投入產出屬性項目及權重)

資料包絡分析法簡介 針對多個受評單位或備選方案的相對效率分析與比較，學者(Charnes et al., 1978；Banker et al., 1984)提出「資料包絡分析法」(Data Envelopment Analysis, DEA)的相對比較方式。 將屬性區分為投入項與產出項，不預先設定權重之方式分別加總產出屬性值和總投入屬性值，然後總產出除以總投入的比率作為相對效率。 DEA的應用目的為評估組織或單位的相對績效，因此將被評估的對象稱為「決策單位」(Decision Making Unit, DMU) 。

資料包絡分析法簡介(2/2) 以成本效益的角度，效率等於總產出除以總投入的比率，故每一個方案(受評單位)的效率如下所示： 集合I表示結果Xi越小越好的投入屬性 集合O表示結果Yj越大越好的產出屬性 uj與vi分別代表集合I與集合O中每個屬性對應的相對權重 找出相對效率值最高的決策單位或方案，比較不同決策單位的相對效率值，並分析效率不佳之方案應減少投入或是提高產出，提出具體的改善方向

生產邊界衡量效率 早期的學者以經濟學觀點來闡釋效率，提出以生產邊界(production frontier)為衡量效率之基礎，估計主要有兩種方法 參數法 (parameter approach) 利用理論建構推導預先設定之生產函數形式(假設投入與產出各屬性之相對權重為已知參數)。 無母數法 (non-parametric approach) 恰好相反 ， DEA法即為一種無母數的生產函數分析法，不預設投入與產出屬性之相對權重。反之，係藉由實際投入與產出的實證資料形成包絡面(envelopment surface)，推測出生產邊界 並進而計算各DMU之相對效率值。

生產邊界衡量效率(2/2) 若固定某一種生產函數關係，只有B是最佳方案，若改變生產函數關係，則只有C是最佳方案 DEA法的相對效率衡量係建立在柏拉圖最適境界(Pareto optimal frontier)之效率觀念上： (1)針對某個產出項，除非增加投入資源或減少其他產出項之若干產量，否則該產出項之產量無法被增加 (2) 針對某個投入項，除非減少產出或增加其他投入項之若干投入資源，否則該投入項的投入資源無法被減少

包絡線又稱為效率邊界(efficiency frontier) 營運效率分析為例 以營業額和生產量作為衡量產出的兩項屬性(Y1及Y2)，而以員工人數(X)作為唯一投入屬性，可將每個工廠按照其營業額、生產量與員工人數標示於座標中而構成生產曲線 包絡線又稱為效率邊界(efficiency frontier) 柏拉圖最適境界示意圖

DEA基本模式 本節將介紹資料包絡分析法中的兩種主要模式：CCR模式與BCC模式 CCR 模式 BCC模式

CCR 模式(1/2) Charnes、Cooper及Rhodes (CCR)於1978年將Farrell (1957)的效率評估觀念推廣至多項投入和多項產出，並推導出一模型名為CCR模式，並將之定名為資料包絡分析法 CCR模式假設固定規模報酬(constant return to scale)，也就是每一單位投入可得產出量是固定的，不會因規模大小而改變 有R個決策單位， DMUk為R個決策單位中的一個，效率可定義如式 n個產出項 m個投入項

CCR 模式(2/2) 以向量的形式定義效率 與上述式子相同 Uk為產出權重向量， Vk為投入權重向量 Yk為DMUk產出向量， Xk為DMUk投入向量 與上述式子相同 Uk為產出權重向量， Vk為投入權重向量

數學規劃模式 DEA法之數學規劃模式乃是分別針對每一個決策單位DMUk的效率Ek最大化作為目標式，尋找對DMUk最有利的投入項權重組合，以及產出項權重組合，使得Ek達最大值 ，但所有DMUk的效率Er必須小於等於1，故CCR模式的數學規劃式如右

線性規劃的形式 以下模式稱為「投入導向模式」， hk為投入導向效率(input-based efficiency)

對偶模式求解 一般為了讓求解較有效率，並可以分析差額變數(slack variable) 可將上式化為對偶模式 差額變數(slack variables)代表為達有效率應減少的投入量 超額變數(surplus variables)代表為達有效率應增加的產出量

一投入一產出之CCR模式 九個決策單位其投入產出如表 決策單位 A B C D E F G H I 投入 1 2 4 6 9 5 10 8 7 3

以DMUA與DMUB為例進行求解 DMUB為目標式之CCR模式 DMUA為目標式之CCR模式 相對有效率 之決策單位 相對無效率 之決策單位

九個決策單位之CCR模式解 決策單位 相對效率 投入權重 產出權重 A 0.500 1.000 0.50 B 0.250 C 0.750 0.125 D 0.583 0.167 0.083 E 0.444 0.111 0.056 F 0.300 0.200 0.100 G H 0.350 0.050 I 0.063

在X-Y二維平面上尋找一條通過原點之包絡線 通過之藍線即為效率前緣 此線為斜率最大者

以DMUF為例 對於相對無效率的決策單位，可以找出其在效率前緣的投影點，作為改善的參考方向，並與投影點的效率比較可得相對效率。 上圖DMUF為例，在效率前緣的投影點為F*=(1.5,3)，就是在相同的投入水準下，欲達有效率需增加產出水準達F* ，故DMUF之相對效率為F點與F*點之效率比，其中點與點的效率分別為 DMUF的相對效率為0.3 與數學規劃模式求解之結果相同

以七個決策單位為範例 決策單位 A B C D E F G 投入一 9 8.3 4.6 1.75 1.5 2.5 4 投入二 3 6 7 5 產出 20 18 16 14 12

以DUMB為例進行求解 最適權重 效率 相對無效率之決策單位

七個決策單位之CCR模式解 DMUE、 DMUF、 DMUG為有效的單位決策 其餘均為無效的決策單位 DMU 相對效率 投入X1權重 產出Y權重 A 1.0000 0.0000 0.4000 0.0050 B 0.7500 0.3330 0.0417 C 0.5882 0.1681 0.0378 0.0368 D 0.0517 0.0714 E 0.3889 0.0833 F 0.3265 0.0735 G 0.1500 0.2000 0.0625 DMUE、 DMUF、 DMUG為有效的單位決策 其餘均為無效的決策單位

效率分析及求解 無效率決策單位之相對效率可經由其在效率前緣上的投影點兩相比較後求得 決策單位效率與投影點效率之比值 效率前緣與效率分析

BCC模式(1/3) 在不同的生產規模下，規模報酬將會隨之改變，於初創期生產規模小時，產出投入比會隨著規模增加而提升，稱為規模報酬遞增(Increasing Returns to Scale, IRS) 達到高峰期時，產出與規模成正比而達到最適生產規模，稱為規模報酬固定 當生產規模過於龐大時，產出減緩，則稱為規模報酬遞減(Decreasing Returns to Scale, DRS)，也就是投入增加時，產出增加的比例會少於投入增加的比例 Banker等人將CCR模式修正為變動規模報酬(Variable Returns to Scale, VRS)的假設下衡量決策單位之相對效率，稱之為BCC模式(Banker et al., 1984)

BCC模式(2/3) 此模式將決策單位是否達到有效的生產規模也納入評估，故可同時衡量規模效率(scale efficiency)與技術效率(technical efficiency) 投入導向的BCC模式如下 允許不通過原點

BCC模式(3/3) 顯示一投入一產出下三個決策單位之相對位置 截距 代表其規模報酬遞減 ( Y軸截距 ) 與DMUB相切之線段L3達到有效率，其他決策單位都是相對無效率 與DMUC相切之線段L2未通過原點，且截距 為負代表其規模報酬遞減( X軸截距 ) 與DMUA相切之線段L1未通過原點，且截距 為正代表其規模報酬遞增( X軸截距 ) 截距 代表其規模報酬遞增 ( Y軸截距 )

BCC不同模式 一般線性規劃模式 對偶問題

總效率與技術效率關係 決策單位未達相對有效率可能是技術無效率或者是規模無效率，然CCR模式中並未考慮決策單位的規模差異，故求得之相對效率hk為總效率(overall efficiency) CCR模式求得之總效率除以BCC模式求得之技術效率，即為各個決策單位調整至相同生產規模後的規模效率。亦即一個決策單位之總效率乃是技術效率與規模效率之乘積: 當決策單位在最有生產力的規模下運作，已達規模效率，則其總效率與技術效率相等

一投入一產出之BCC模式 沿用CCR模式中一投入一產出九個決策單位之範例 BCC模式化簡為

以DMUA與DMUB為例進行求解 DMUB為目標式之BCC模式 DMUA為目標式之BCC模式 只有決策B達到 相對有效率 其他決策單位均為 相對無效效率

九個決策單位之BCC模式解 決策單位 BCC模式相對效率 投入權重 產出權重 負截距 (u0) CCR模式 相對效率 A 1.000 0.000 -1.000 0.500 B 0.50 0.250 C 0.750 D 0.167 0.333 1.333 0.583 E 0.111 1.677 0.444 F 0.2 0.067 -0.133 0.300 G -0.250 0.125 H 0.600 0.100 0.200 0.800 0.350 I 0.063

BBC模式示意圖 DMUF之CCR模式效率為0.3，也就是總效率OE=0.3，而BBC模式效率為0.333，也就是純技術效率TE=0.333 規模效率 X截距為正 代表DMUF乃是規模報酬遞增，可再增加其生產規模而達到最適規模 F’在 之間，也就是生產規模相當時，技術有效率的決策單位僅需投入 即可獲得與DMUF相同的產出水準

DEA 使用步驟 Roll與Golany (1989)所提出之DEA方法使用程序 可劃分為四個大步驟 (1) 決策單位之選取 (2)投入產出項之選取 (3)DEA模式之選取 (4)評估結果之分析

上市櫃公司經營資料網址: http://5850web. moneydj. com/z/zg/zge/zge_EH000100_1 上市櫃公司經營資料網址: http://5850web.moneydj.com/z/zg/zge/zge_EH000100_1.djhtm (要在 Internet Explorer 下才能閱覽)

DEA方法之優點在於可以處理多投入多產出 問題，然而其所能處理的投入產出項數目有一定的限制，否則會喪失其區別力及鑑別力 (discriminating power)。 Thompson等人(1986)及Bowlin(1987)由實證經驗上獲得一經驗法則，即受評估DMU之個數應為投入項與產出項個數和之兩倍以上，其分析結果之可信度與可解釋性最高；Banker等人(1989)則建議DMU之個數應為投入項與產出項個數和之三倍以上。

問題定義與決策元素之釐清 應用DEA於多屬性評估問題時 必須先定義問題瞭解問題本質，釐清相對績效評估的目的經由目標之建立設定評估準則 取DEA模式構建效率邊界(frontier)，並將決策單位的實績與效率邊界比較以衡量其效率，再將評估之結果加以分析，檢視決策單位是否有效率 相對無效率的決策單位，則分析其未達最佳效率的原因，提出努力方向和矯正行動以改善其效率

投入項與產出項之選取 DEA方法評估方案的相對效率時，係建立在各決策單位在各個投入或產出屬性的相對表現資料上，因此若選擇了不適當的投入或產出屬性，就如同選錯目標以及決策努力方向一般，將扭曲相對效率的評估結果。 DEA方法中，評估屬性的決定和受評的方案之間是互動的;細節步驟如下： 目標架構與對應的投入與產出屬性 區分投入屬性或產出屬性 決定哪些投入與產出屬性

評估結果分析與詮釋 DEA計算結果的分析與詮釋，可以由下列四個方向來討論： 效率分析：由DEA之評估相對效率的結果，除了可以利用CCR模式計算總效率及BCC模式計算技術效率，並可以推導規模效率 差額變數分析：針對無效率的決策單位或方案，可以透過DEA模式的差額變數分析(slack variable analysis)瞭解投入資源使用狀況，找出無效率之來源及對應的屬性值應該改善的大小程度

敏感度分析： 當受評決策單元數目有所變動，或選擇不同的投入及產出項，或投入及產出的數值變動等三種情況發生時，均有可能影響DEA的效率前緣邊界的形狀或位置。為了使效率量測更具說服力，進行敏感度分析，可確保效率量測結果之可信度。

DEA之特性(1/2) DEA和其他多屬性決策模式一樣，可以同時考慮多項的投入與產出屬性，來評估決策單位和方案的相對效率

DEA之特性(2/2) DEA是一種採用實證資料的標竿比較(empirical benchmarking)，由於不和理論上的絕對標準比較，因此評估結果乃是相對效率而非絕對效率，因此效率為1並不代表沒有改進之處 DEA不僅可以評估相對效率，指出效率有待改進的DMU，也可以利用差額變數分析和敏感度分析，提供決策者各種改進效率值的可行途徑 DEA可以同時處理不同決策單位的多個投入與產出屬性而用單一總體衡量指標來表達相對效率 DEA可以讓各DMU找到對自己最有利的權重以儘可能的提昇該DMU之效率，因此DEA所推導的權重不含人為之主觀因素

DEA分析工具 DEA法的使用程序包含許多數學運算 當決策單位、投入項與產出項的個數增多時，由於限制式增加，計算更是繁複，分析者可以使用電腦軟體來協助進行分析，將選定的模式與實際資料輸入後，即可根據產生的報表進行結果分析 除了一般求解線性規劃之軟體可執行DEA分析外，目前有數個執行DEA的專用軟體 IDEAS軟體 DEA-SOLVER軟體 DEAP Banxia Frontier Analyst FRONTIER

結論 DEA是一種可以同時衡量多項產出與多項投入的多屬性效率評估方法，資料包絡分析法也是一種無母數分析法，能夠在不須預設生產函數型式且亦不須事先決定投入產出屬性的相對權重之下，以求取各方案之相對效率。相關研究已證明DEA不僅可用於營利組織的績效衡量，對於非營利組織的績效衡量，乃至於多屬性決策問題均有其適用的地方。