第三章 电路定理 3.1 齐次性定理和叠加定理 3.1.1 齐次性定理 第三章 电路定理 3.1 齐次性定理和叠加定理 3.1.1 齐次性定理 在只有一个激励（电压源和电流源）w的线性电阻电路中，取电路中任意支路电流或支路电压为响应y，当激励增大或缩小a倍（a为实数）时，响应也将同样增大或缩小a倍。 在含有多个激励的线性电阻电路中，当所有激励(电压源和电流源)都同时增大或缩小a倍（a为实数）时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小a倍。

3.1.2 叠加定理 在线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。 应用齐次性定理和叠加定理时，必须在电路具有唯一解的条件下才能成立。 3.1.3齐次性定理和叠加定理的应用

例3.1.1 图示电路中的电阻为R=4Ω，已知i1=1A，求激励uS的值。如果uS=64V，求各支路电流 解：由KCL、KVL及欧姆定律可得 所以激励

当uS=64V时，激励是原来的2倍，根据齐次性定理，响应也是原来的2倍，各支路电流分别为 例3.1.2 用叠加定理求图(a)所示电路中的i (a) (b) (c) 解：图(a)所示电路含有两个独立电源，它们单独作用时的分电路分别如图(b)和图(c)所示。

对图(b)，由KVL可得 解得 对图(c)，由KVL可得 解得 因此，最后要求的结果为

解：利用叠加定理和已知条件可知，当2A电流源单独作用时，如图(b)所示，有 例3.1.3 图(a)所示电路，当3A电流源置零时，2A电流源所产生的功率为28W，u3=8V；当2A电流置零时，3A电流源产生的功率为54W，u2=12V。试求当两个电流源共同作用时各自发出的功率。 (a) (b) (c) 解：利用叠加定理和已知条件可知，当2A电流源单独作用时，如图(b)所示，有

当3A电流源单独作用时，如图(c)所示，有 当两个电流源共同作用时 得到 P2A=u2×2A=52W P3A= u3×3A=78W

例3.1.4 图(a)所示为一个由运算放大器和电阻构成的电路。已知输入电压分别为u1和u2，试求输出电压uo (a) (b) (c) 解：图(a)的电路有两个电压源激励u1和u2，画出两个电压源单独作用的分电路如图(b)和(c)所示。 对于图(b)，由“虚短”的概念，有

由“虚断”的概念，有 由上面两式，得到 对于图(c)，同样运用“虚短”、“虚断”的概念，有 由上面两式，得到 于是电路的输出电压

3.2 置换定理 设一个具有唯一解的任意电路N由两个一端口电路N1和N2连接组成，端口电压和端口电流分别为up和ip，如图(a)所示，则N2 (或N1)可以用电压为up的电压源[见图(b)]或电流为ip的电流源[见图(c)]置换，而不影响N1(或N2)中各支路电压、支路电流的原有数值，只要置换后的电路仍有唯一解。 (a) (b) (c)

应用置换定理时，应注意以下几点： 1．置换定理要求置换前后的电路必须有唯一解 2．应用置换定理时必须已知端口电压和端口电流，当被置换电路N2发生变化时，其端口电压和端口电流也会发生相应的变化，从而使得置换的电压源或电流源也发生相应的变化 3．置换定理中所指的被置换电路N2，应与N2以外电路不存在耦合关系。 4．置换定理对线性和非线性电路均成立。 5．除被置换的部分发生变化外，电路的其余部分在置换前后必须保持完全相同

例3.2.1 图(a)所示电路中，已知u4V，试求线性电阻R的电阻值 3.2.2 置换定理的应用 例3.2.1 图(a)所示电路中，已知u4V，试求线性电阻R的电阻值 (a) (b) 解：由于电阻R两端的电压u为已知，因此只要求得流经电阻R的电流就可以求出电阻值。可以用4V电压源置换该支路，如图(b)所示

为了求得置换支路的电流i，用等效变换方法，将电路逐步简化为图(c)、(d)。从图(d)可以得出 因此

3.3 戴维南定理 3.3.1 戴维南定理 任何线性含源一端口电阻电路N [图(a)]，就其端口而言，可以用一个电压源uOC与一个电阻R0的串联组合（戴维南电路）[图(b)]来等效。其中，电压源的电压uOC等于电路N的开路电压 [图(c)]；电阻R0等于将N内的全部独立电源置零后所得电路N0的等效电阻[图(d)]。 (a) (b) (c) (d)

解：可用戴维南定理来求解电路中某一支路的电压或电流。为此，应把除去电阻R而余下的电路部分[图(b)]用戴维南电路来等效。 3.3.2 戴维南定理的应用 例3.3.1 图(a)所示电路，R1=2Ω，R2=6Ω，R3=8Ω，R4=4Ω，R=4Ω，uS =10V。试求流过电阻R的电流i。当R=6Ω时，再求i (a) (b) (c) (d) (e) 解：可用戴维南定理来求解电路中某一支路的电压或电流。为此，应把除去电阻R而余下的电路部分[图(b)]用戴维南电路来等效。

等效电路中的电压源电压 等效电阻R0可从图(c)中算出，即 经此等效变换后，图(a)的电路变换为图(d)的电路。由图(d)可得 当R=6Ω时，算得

解：首先求开路电压uOC。这里采用节点分析法来求解，如图(b)所示。列出节点方程为 例3.3.2 试求图(a)所示电路的戴维南电路 （a） （b） 解：首先求开路电压uOC。这里采用节点分析法来求解，如图(b)所示。列出节点方程为

然后求等效电阻R0。将图(a) 电路中的独立电源置零如图(c)所示，进一步将图(c)所示电路等效变换为如图(d)所示的电路，端口特性满足 求解方程组，求得开路电压 （c） （d） （e） 然后求等效电阻R0。将图(a) 电路中的独立电源置零如图(c)所示，进一步将图(c)所示电路等效变换为如图(d)所示的电路，端口特性满足 等效电阻R0为 戴维南电路如图(e)所示

解：图(a)所示一端口电路N2中负载电阻RL的功率可以表示 例3.3.4 信号传输和处理电路中，信号源可以用电压源与电阻的串联即戴维南电路作为其模型。当信号源的开路电压uOC和等效电阻R0一定时，试求负载电阻RL为多大时从信号源获得最大的功率？ （a） （b） 解：图(a)所示一端口电路N2中负载电阻RL的功率可以表示

负载功率PL随负载电阻值RL变化的情况如图(b)所示。以RL为变量，求功率的极值，可知当RLR0时，负载可以获得最大功率为 上述结论就是最大功率传输定理(maximum power transfer theorem)：对于给定的线性含源一端口电路，其负载获得最大功率的条件是负载电阻RL等于含源一端口电路的等效电阻R0，此时称为最大功率匹配或负载与信号源匹配。

3.4 诺顿定理 3.4.1诺顿定理 任何线性含源一端口电阻电路N [图(a)]，就其端口而言，可以用一个电流源iSC与一个电导G0并联组合（诺顿电路）[图(b)]来等效。其中，电流源的电流iSC等于原电路N的短路电流[图(c)]；电导G0等于将N内的全部独立电源置零后所得电路N0的等效电导 [图(d)]。 (a) (b) (c) (d)

例3.4.1 试求图(a)所示含受控电源电路的戴维南电路和诺顿电路。图中uS=12V，转移电导g=0.2 3.4.2 诺顿定理的应用 例3.4.1 试求图(a)所示含受控电源电路的戴维南电路和诺顿电路。图中uS=12V，转移电导g=0.2 (a) (b) (c) 解：图(a)电路的开路电压uOC就是受控电流源的控制量。先将受控电流源等效变换成受控电压源，如图(b) 所示。根据分压关系有

图(a)电路中含有受控电源，求取等效电阻R0可采用以下两种方法： (1) 先求图(a)电路a、b端的短路电流iSC。a、b端口被短接后端口电压u0，受控电流源等效于开路，如图(c)所示。因此 (2) 先将图(a)电路中uS置零，然后在a、b端施加电压源u，如图(d)所示。 (d) (e) (f)

(2) 按图中选定的网孔电流，求得网孔方程 即 解得 等效电阻 最后将求得的戴维南电路和诺顿电路分别示于图(e)和图(f)

例3.4.2 试求图(a)与图(b)所示电路的诺顿电路 将输出端短路，则有u2=0。由理想变压器的电压电流关系，得

（2）对图(b)所示电路，回转器的二端口方程为 解得 因此，得到输出端的电路电流为 其诺顿等效电路如图(c) 所示 (c) (d) （2）对图(b)所示电路，回转器的二端口方程为

其诺顿等效电路如图(d)所示 3.5 互易定理 互易定理是互易电路所具有的重要性质。对于不含独立电源的电路，如果其网孔电阻矩阵，或者节点电导，或者回路电阻矩阵，或者割集电导矩阵是对称的，则称该电路为互易电路

互易定理（形式一） 对内部不含独立电源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口11’和22’，如果在端口11’施加输入电压 3.5.1互易定理 互易定理（形式一） 对内部不含独立电源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口11’和22’，如果在端口11’施加输入电压 ，在端口22’可得到 输出电流 ，如图(a)所示。反之，对端口22’施加 输入电压 ，可在端口11’得到输出电流 ，如图(b)。 则有 (a) (b)

互易定理（形式二） 对内部不含独立源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口11’和22’，如果在端口11’施加输入电流 ，在端口22’可得到输 出电压 ，如图(a)所示。反之，对端口22’施加输 入电流 ，可在端口11’得到输出电压 ，如图(b)。 则有 (a) (b)

互易定理（形式三） 对内部不含独立源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口11’和22’，如果在端口11’施加输入电流 ，在端口22’可得到输 出电流 ，如图(a)所示。反之，对端口22’施加输 入电压 ，可在端口11’得到输出电压 ，如图(b)。 则有 (a) (b)

解：由于Rx未知给求解带来困难。应用互易定理的形式一，将5伏电压源移到10Ω电阻支路中去，得图(b) 3.5.2 互易定理的应用 例3.5.1 试求图(a)所示电路中的电流i (a) (b) 解：由于Rx未知给求解带来困难。应用互易定理的形式一，将5伏电压源移到10Ω电阻支路中去，得图(b) 图(b)为平衡电桥电路，Rx中无电流，可以开路

例3.5.2 图(a)所示电路内含有受控电源，试问此电路是否为互易电路。 因此 利用分流公式，得出 例3.5.2 图(a)所示电路内含有受控电源，试问此电路是否为互易电路。 (a) (b) (c)

解：先在端口11′施加电流源iS，见图(b)。在iS的激励下，端口22′上的电压为 再将电流源iS施加到端口22′上，见图(c)，此时在iS激励下端口11′上的响应显然是 因为 ，所以所给定的电路是非互易电路。 含有受控电源的电路一般是非互易电路。但在特定的条件下，个别含受控电源的电路也可能是互易电路。

例3.5.3 图(a)所示电路，已知R1= R2=R3=1Ω，试问β与γ取何种关系时此电路是互易电路 (a) (b) (c) (d) 解法一：如果题给电路是互易电路，则根据互易定理形式二从图(b)算出的u2应与从图(c)算出的 相等。

从图(b)可知 又因为 所以 将R2、R3的值代入，得 从图(c)可知 又因为 所以 将R1、R3的值代入上式，得 由于u2应等于û1所以可求得

解法2：对图(d)所示电路列写网孔方程，如果网孔电阻矩阵对称，则图(a)所示电路是互易的。假设网孔电流如图(d)所示，则网孔方程为 消去控制电流i及网孔电流im3得矩阵形式的网孔方程 如图(a)所示电路互易，则 代入有关参数得

解：对图(b)应用诺顿定理求流过3的电流。 例3.5.4 图中N0为线性无源电阻电路，图（a）中，当uS=24V时，i1=8A，i2=6A。试求在图（b）中，当uS' =12V时i1' 的大小。 (a) (b) 解：对图(b)应用诺顿定理求流过3的电流。 (c) (d) (e)

当将3Ω支路短路求短路电流iSC时，如图(c)所示，由互易定理形式一有 代入已知条件得 当求图(d)所示电路从N0两端向右看的诺顿电路的等效电阻时，利用图(a)电路和已知条件，可得 得到求解 的诺顿等效电路如图(e)所示，容易求得