第六章 製程能力分析

6.1 簡介 6.2 自然公差界限與規格界限 6.3 利用直方圖或機率圖來做製程能力分析 6.4 製程能力指標 6.5 量具和量測能力研究 6.6 組件裝配之問題 6.7 MINITAB 範例

6.1 簡介 製程能力分析（Process Capability Analysis）泛指在產品週期中，以統計技術來協助產品的設計開發與製造活動，將製程變異量化、分析與產品規格相比的製程變異，進而消除或降低這些變異。 用於製程能力分析的統計技術包含 直方圖（Histograms）或 機率圖（Probability Plots）， 管制圖（Control Charts）與 實驗設計（Experimental Design）。

製程能力（Process Capability）泛指製程的均一性（Uniformity），當製程在統計管制狀態下所呈現的能力。 一般我們所討論製程的變異可分為兩方面： 在特定時間製程的關鍵品質特性的自然變異（Natural Variability）或固有變異（Inherent Variability），又稱為瞬時變異（Instantaneous Variability）。 在製造過程期間製程的關鍵品質特性的變異。

6.2 自然公差界限與規格界限 6.2.1 自然公差界限 定義6.2.1 上自然公差界限 下自然公差界限 6.2 自然公差界限與規格界限 6.2.1 自然公差界限 定義6.2.1 上自然公差界限 下自然公差界限 其中， 為製程平均數， 為製程標準差。

在常態分配上自然公差界限與下自然公差界限 3 LNTL= -3 UNTL= +3 0.9973 0.00135 在常態分配上自然公差界限與下自然公差界限

6.2.2 規格界限 規格（Specification）是過程（Process），產品（Product），零件（Component）與零組件（Subassemblies）的品質特性的要求值 。 上規格界限USL（Upper Specification Limit） 過程或產品的品質特性的最大允許值。 下規格界限LSL（Lower Specification Limit） 過程或產品的品質特性的最小允許值。 目標值（Target Value） 與過程或產品的品質特性一致的量測值，或稱為品質特性的名目值（Nomonal）。

6.2.3 自然公差與規格供差的關係 自然公差（Natural Tolerance） 上自然公差界限減下自然公差界限 。 自然公差為製程在穩定狀態下，製程品質特性的分配的6倍標準差。 規格公差（Specification Tolerance） 上規格界限減下規格界限 USL-LSL 自然公差與規格公差有三種關係

自然公差小於規格公差( < USL-LSL) 3 3 LNTL= -3 UNTL= +3

自然公差等於規格公差( = USL-LSL) 3 3 LNTL= -3 UNTL= +3

自然公差大於規格公差( > USL-LSL) 3 3 LNTL= -3 UNTL= +3

6.3 利用直方圖或機率圖 來做製程能力分析 6.3.1 直方圖

表6.1為某電腦公司所生產筆記型電腦的重量資料，樣本數為=100，試製作出其次數直方圖，並說明直方圖如何用於估計製程能力。 【例題6.1】 表6.1為某電腦公司所生產筆記型電腦的重量資料，樣本數為=100，試製作出其次數直方圖，並說明直方圖如何用於估計製程能力。 表6.1 筆記型電腦的重量資料 2.352 2.374 2.381 2.387 2.393 2.398 2.404 2.411 2.419 2.431 2.356 2.375 2.382 2.388 2.394 2.399 2.420 2.432 2.360 2.376 2.383 2.412 2.421 2.433 2.363 2.377 2.389 2.395 2.405 2.413 2.423 2.435 2.364 2.390 2.400 2.406 2.414 2.424 2.436 2.367 2.378 2.384 2.396 2.407 2.415 2.425 2.437 2.368 2.385 2.391 2.397 2.401 2.408 2.426 2.438 2.370 2.379 2.386 2.392 2.402 2.416 2.440 2.372 2.380 2.403 2.409 2.428 2.443 2.373 2.410 2.418 2.429 2.447

【解】 我們先計算以上資料的樣本平均數與樣本標準差： 故其製程能力可簡略估計為 在繪製直方圖時，我們首先將資料由小到大排序，最大值減最小值稱為全距R，所以全距R為R=2.449-2.352=0.097，再將資料範圍分為幾個區間，在這裡我們分為11個區間，則區間的寬度為 ，再計算每個區間的觀察值個數，每個區間的觀察值個數稱為次數（Frequency），若將次數除以總觀察次數n稱為相對次數。

表6.2 筆記型電腦重量的次數表 區間 次數 相對次數 累積相對次數 2.345-2.355 2.355-2.365 2.365-2.375 2.375-2.385 2.385-2.395 1 4 6 15 17 0.01 0.04 0.06 0.15 0.17 0.05 0.11 0.26 0.43 2.395-2.405 2.405-2.415 2.415-2.425 2.425-2.435 2.435-2.445 2.445-2.455 20 12 10 8 0.20 0.12 0.10 0.08 0.63 0.75 0.85 0.93 0.99 1.00 總和 100

圖6.4 直方圖

6.3.2 機率圖 優點 可用來評估資料是否服從所給定的分配，若樣本點的散佈近似一條直線，則此資料的分配服從常態分配，若樣本點的散佈不是近似一條直線，則資料的分配不是服從常態分配。 可以用來估計分配的平均數與標準差，因此可估計製程良率與製程不良率。 機率圖只要中樣本數就可產生很合理的結果。

【例題6. 2】 利用例題6.1的資料繪出常態機率圖，檢定其資料是否服從常態分配，並利用常態機率圖估計製程平均數μ與製程標準差σ。 【解】 首先將筆記型電腦重量的資料由小到大排序，並計算其相對的樣本累積分配 如下表6.3。 表6.3 j 1 2 3 4 … 99 100 2.352 2.356 2.360 2.363 2.443 2.447 0.005 0.015 0.025 0.035 0.985 0.995

將 與 成對的值繪製在常態機率紙上，所繪製的常態機率圖如圖6.5。 圖6-5 筆記型電腦重量的常態機率圖

圖6.5為Mnitab套裝軟體所繪製的筆記型電腦重量資料的常態機率圖，圖6-5 筆記型電腦重量的常態機率圖所繪出的樣本點的散佈近似一條直線，故我們可以說筆記型電腦的重量服從常態分配。從圖6.5的常態機率圖，我們亦可以估計製程平均數μ與製程標準差σ，常態分配的平均數μ為第50分位數，因此從圖6.5我們可以得到製程平均數μ的估計值為 ，常態分配的標準差σ為第84分位數與第50分位數的差，因此從圖6.5我們亦可得到製程標準差σ的估計值為 ，這些估計值與例題6.1所計算出的樣本平均數 與樣本標準差 相當接近。

6.4 製程能力指標 製程能力是將在穩定或統計製程管制狀態下的製程輸出與規格界限相比較，以說明製程能力有多好。 製程能力指標是將穩定製程的自然公差（6倍標準差）與製程規格公差（USL-LSL）相比較，以決定製程是否有能力。 製程能力指標只適用於計量的資料上。

6.4.1 製程能力指標 定義6.4.1 當製程平均值μ為已知時， 當製程平均值μ未知時，且製程能力分析是以 或 當製程平均值μ未知時，且製程能力分析是以 或 管制圖之資料進行分析時，則以 來估計製程平均值，此時Ca的估計值為 其中 為第i組樣本的樣本平均數，k 為樣本組組數

等級 值 處置原則 A 製程為穩定狀態，繼續保持。 B 檢查人員或機具狀態，改善並調整製程方式，可改進至A級。 C 加強員工訓練、檢討產品規格及作業標準，找出原因並改善。 D 全面檢討產品規格設計及製程，必要時停止生產，避免生產出大量不良品。 E 停止生產。

【例題6.3】 某活塞環的規格為 mm， 四月生產製程狀況為 mm； 五月生產製程狀況為 mm； 六月生產製程狀況為 mm，求此三個月的 值。 【解】 USL=12+0.15=12.15；LSL=12-0.15=11.85； (USL-LSL)/2=0.15 四月份的值： (B級) 五月份的值： (C級) 六月份的值： (A級)

6.4.2 製程能力指標 定義6.4.2 當製程平均值 與製程標準差 已知時， (雙邊規格) (僅有上規格) 或(僅有下規格)

當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分析是以 管制圖之資料進行分析時，Cp的估計值為 (雙邊規格) 或 (單邊規格) 其中 是樣本數n的函數，可由表？查得。

若製程能力分析是以 管制圖之資料進行分析時，此時Cp的估計值為 (雙邊規格) 或 (單邊規格) 其中 是樣本數n 的函數，可由表？查得。

USL及LSL之設定與不良率有以下關係： 規格界線 在規格界限內的百分比 不良率(每百萬個) ±1σ 30.23 697700 ±2σ 69.13 608700 ±3σ 93.32 66810 ±4σ 99.379 6210 ±5σ 99.9767 233 ±6σ 99.99966 3.4

等級 Cp值 處置原則 A 製程非常穩定，繼續保持。 B 製程穩定，可縮小規格公差，可以改進至A級，以生產更高級的產品。 C 尚可，但需立即改進，並不要使品質惡化。 D 製程能力不足，需檢討規格設計及作業標準並採取緊急措施，必要時停止生產。 E 實施產品全檢，並停止生產。

Cp值之倒數為另一個衡量製程能力的指標，稱為製程能力比率(Process Capability Ratio)，其可解釋公差被製程所佔用的百分比。定義如下： 一般而言，標準的製程能力比率是0.75，越小越好。

【例題6.4】 某零食重量規格為 g，一月份生產實際狀況為 g；二月份生產實際狀況為 g；三月份生產實際狀況為 g，求此三個月的 值與 值。 【解】 上規格界限USL=170+7.7=177.7 下規格界限LSL=170-7.7=162.3 一月份的值： (B級)

二月份的值： (B級) 三月份的值： (D級)

6.4.3 製程能力指標 定義6.4.3 當製程平均值μ與製程標準差σ已知時， ， 其中 可用來製程平均值偏離規格中心所 其中 可用來製程平均值偏離規格中心所 造成製程的潛在能力損失大小的衡量，

當製程平均值μ與製程標準差σ未知，且製程能力分析是 以 管制圖之資料進行分析時，則以 來估計製程 標準差，若製程能力分析是以 管制圖之資料進行分 析時，則以 來估計製程標準差，以 來估計 製程平均值，此時 之估計值為 ，

6 6 =48 圖 6-9(a) 圖 6-9(b) 6 6 圖 6-9(d) 圖 6-9(c) LSL=40 USL=52 =m=46 =36 6 LSL=40 USL=52 m =46 圖 6-9(d) 圖 6-9(c)

實施產品全檢，執行製程改善，並停止生產，以免生產出大量的不良品。 等級 Cpk值 處置原則 A++ 製程能力非常好，可考慮縮小規格以獲得顧客之信賴及高品質的形象或可因此改變其他生產方式以降低成本。 A+ 繼續保持。 A 需進行品質改善以降低變異，可提升至A+級。 B 檢討製程管理並改善，提高品質，必要時停止生產。 C 利用全檢或資料分析等方法找出問題並徹底解決，必要時停止生產。 D 實施產品全檢，執行製程改善，並停止生產，以免生產出大量的不良品。

某飲料公司，其飲料填裝規格為 g，若實際從產品中抽出10個資料如下，求其製程能力指標 、 、 及 值。 【例題6.5】 某飲料公司，其飲料填裝規格為 g，若實際從產品中抽出10個資料如下，求其製程能力指標 、 、 及 值。 【解】 上規格界限USL=300+3=303 下規格界限LSL=300-3=297 規格中心 樣本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重量 300.5 301.6 300.2 300.0 298.9 299.0 301.2 301.0

樣本標準差σ的估計值為 (C級)

6.4.4 製程能力指標 圖6.10 製程能力指標 的兩個製程 =49 =1 USL=52 LSL=40 T=46 =46 =2 B A

定義6.4.4 當製程平均值μ與製程標準差σ已知時， ，其中

當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分 析是以 管制圖之資料進行分析時，則以 估計 製程標準差σ，若製程能力分析是以 管制圖之資料 進行分析時，則以 來估計製程標準差σ，以 來估計製程平均值μ，此時 之估計值為 或

【例題6.6】 承以上例題6.5，若目標值T為300.5g，求製程能力指標 值為何？ 【解】 製程能力指標

【例題6.7】 試計算出圖6.10所考慮的二個製程A與B的製程能力指標 值？ 【解】 製程A 製程B 製程A比製程B較能生產出符合規格與目標值的產品。

6.4.5 製程能力指標 當製程平均值偏離目標值T，亦即 時，使用新的製程能力指標 會比製程能力指標指標 來的敏感。 定義6.4.5 當製程平均值μ與製程標準差σ已知時， 其中 ，

當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分 析是以 管制圖之資料進行分析時，則以 來 估計製程標準差σ，若製程能力分析是以 管制圖 之資料進行分析，則以 來估計製程標準差σ， 以 來估計製程平均值μ，此時 之估計值 為

或 由定義可以看出當m和μ的距離越大，則製程能力指標 值會越小；另外若製程平均值μ和製程目標值T的距離越 大，則製程能力指標值 也會越小，故程能力指標 同時受到規格中心m和目標值T的影響，對於製程的表現程度也較高。

6.4.6 指標 當製程穩定且產品品質特性數據資料符合常態分配或近似常態分配時可用來代表以上製程能力指標的通式，為Ford A. Spiring於1997年整理而得。 定義6.4.6 當製程平均值μ與製程標準差σ已知時， 與其他的指標關係式如下： 當 時，則

(3)當 ，則 (4)當 ，則 其中 ， 當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力 分析是以 管制圖之資料進行分析時，則以 估 計製程標準差σ，

若製程能力分析是以 管制圖之資料進行分析，則以 來估計製程標準差σ，以 來估計製程 平均值μ，此時 之估計值為 或

6.4.7 非常態分配的製程能力指標 製程能力指標 Clements ，1989年 定義： 其中 與 分別代表第0.135百分位數與第99.865百分位數。

製程能力指標 ，1996年 定義： 其中 為製程的目標值， 通常未知，我們可以用 值來估計

6.5 量具和量測能力研究 假設隨機變數 ，隨機變數 ，且X與ε相互獨立，因此隨機變數Y亦是常態分配，亦即 。 定義6.5.1 6.5 量具和量測能力研究 假設隨機變數 ，隨機變數 ，且X與ε相互獨立，因此隨機變數Y亦是常態分配，亦即 。 定義6.5.1 其中， 為所觀察到的總變異、 為產品本身的 變異、 為量具上的變異。

【例題6.8】 某公司利用量測儀器量測其生產的20個產品的重量，由同一個操作員使用相同的量測儀器量測每件產品二次所得資料如表6.8所示，試繪製 管制圖與R管制圖，並對 管制圖與R管制圖在量測能力分析方面作解釋，最後估計量測誤差的標準差 。 【解】 圖6.11顯示這些資料的 管制圖與R管制圖， 管制圖，在量測能力分析方面 管制圖用來解釋量測儀器或量具的區別能力，若 管制圖顯示在失控狀態，則表示產品間有差異，R管制圖顯示量測誤差的大小或量具的能力，若R管制圖顯示在失控狀態，則表示操作員在使用量測儀器上有困難或不熟練，若R管制圖顯示在管制狀態，則表示操作員可以很熟練使用量測儀器。 量測誤差的標準差 的估計值為 。 其中 可從附表8中查到n=2的 。

圖6.11 例子6.8量測能力分析的 管制圖與R管制圖

一般實務應用而言，我們會利用規格寬度或是允差範圍來估計量具能力。 測誤差通常是近似常態分配，因此 是量具能力的一個好的估計， 和允差範圍的比值稱為精確-允差比率或是P/T比率。 若P/T比率小於或等於0.1，則可以稱此量具有足夠的量測能力。 定義6.5.2 P/T比率：

再現性(Reproducibility) 重複性(Repeatability) 在短時間內，由同一個操作員使用相同的量測程序，在相同的位置，使用相同的量測儀器或量具重複量測同一件產品、零件或項目所得到量測變異 。 重複性是反應量測儀器或量具本身固有的精密度。 再現性(Reproducibility) 由不同的操作員（或不同的環境，或不同的時間，或不同的條件）使用相同的量測儀器或量具量測相同的產品、零件或項目多次所得之變異。 定義6.5.3

機 率 密 度 值 參考值 準確度 精密度 圖6.14 量具的準確度與精密度

【例題6.9】 表6.9為某公司抽檢20個產品，在三個不同的操作員使用相同的量具量測相同的產品的兩次量測值，若產品的上規格界限（USL）為100，下規格界限（LSL）為10，試求出其量具重複性的標準差 、量具再現性的標準差 、量具誤差的標準差 及P/T比率。 【解】 因此量具重複性標準差的估計值為

因此量具再現性標準差的估計值為 量具誤差的變異數的估計值為 所以量具誤差的標準差的估計值為

因此量具的P/T比率為

6.6 組件裝配之問題 6.6.1 組件的分配 若組件是由兩個或兩個以上的零件所組成的(如下圖)，且成線性組合。

若有一組件規格為 cm，由以下5個零件線性連接組成，其零件尺寸假設為獨立常態分配，其分配如下，則組件符合規格的機率為何？ 【例題6.10】 若有一組件規格為 cm，由以下5個零件線性連接組成，其零件尺寸假設為獨立常態分配，其分配如下，則組件符合規格的機率為何？ Y

【解】 組件為常態分配，其平均長度 cm，組件變異數 cm2，所以組件標準差為 cm。 故此組件符合規格的機率

6.6.2 組件裝配發生干擾或搖晃的機率 【例題6. 11】 設有一軸心與軸承的組件，其軸承的內徑為X1符合常態分配N(20, 0.032)，軸心外徑為X2也符合常態分配N(19.9, 0.052)，則發生干擾的機率為何？ 【解】 發生干擾為軸承內徑小於軸心外徑 令Y=X1-X2 則Y為常態分配，其平均數為 Y的變異數為 Y的標準差為

所以發生干擾的機率為 所以約有4.31%的機率會發生軸心與軸承互相干擾的情況產生。 若軸承內徑太大，軸心外徑太小，則會發生搖晃的現象。若 時會發生搖晃現象，則發生搖晃的機率為 故大約有6.14%的機率會發生搖晃的現象。所以發生干擾或搖晃的機率為4.31%+6.14%=10.45%。