第4章 电路定理 本章重点 叠加定理 4.1 替代定理 4.2 戴维宁定理和诺顿定理 4.3 最大功率传输定理 4.4 特勒根定理 4.5* 互易定理 4.6* 对偶原理 4.7* 首 页

重点: 熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。 返 回

4.1 叠加定理 1. 叠加定理 2 .定理的证明 (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1 4.1 叠加定理 1. 叠加定理 在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – 1 2 .定理的证明 应用结点法： (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1 返 回 上 页 下 页

G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – 1 或表示为： 支路电流为： 返 回 上 页 下 页

结论 3. 几点说明 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 叠加定理只适用于线性电路。 一个电源作用，其余电源为零 电压源为零 — 短路。 电流源为零 — 开路。 返 回 上 页 下 页

= + + G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – G1 is1 G2 G3 三个电源共同作用 is1单独作用 G1 返 回 上 页 下 页

4. 叠加定理的应用 例1 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。 u, i叠加时要注意各分量的参考方向。 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。 4. 叠加定理的应用 求电压源的电流及功率 例1 4 2A 70V 10 5 2 + － I 解 画出分电路图 返 回 上 页 下 页

＋ I (1) 4 2A 10 5 2 4 70V 10 5 2 + － I (2） 2A电流源作用，电桥平衡： 两个简单电路 70V电压源作用： 应用叠加定理使计算简化 返 回 上 页 下 页

＋ 例2 u ＋ － 12V 2A 1 3A 3 6 6V 计算电压u 解 画出分电路图 3A电流源作用： 其余电源作用： 1 3A i (2) ＋ － 12V 2A 1 3 6 6V ＋ 返 回 上 页 下 页

＋ 注意 例3 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 u ＋ － 10V 2i 1 i 2 5A 例3 计算电压u、电流i。 解 画出分电路图 u（1） ＋ － 10V 2i(1) 1 2 i（1） u(2) 2i (2) i (2) ＋ － 1 2 5A ＋ 受控源始终保留 返 回 上 页 下 页

＋ u（1） ＋ － 10V 2i(1) 1 2 i（1） u(2) 2i (2) i (2) ＋ － 1 2 5A 返 回 上 页 下 页

例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据： 解 根据叠加定理 无源 线性 网络 uS i － ＋ iS 代入实验数据： 研究激励和响应关系的实验方法 解 根据叠加定理 无源 线性 网络 uS i － ＋ iS 代入实验数据： 返 回 上 页 下 页

5.齐性原理 注意 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 具有可加性。 返 回 上 页 下 页

例 RL=2 R1=1  R2=1  us=51V， 求电流 i i R1 R2 RL + – us 21A 8A 3A i '=1A 解 采用倒推法：设 i'=1A 则 返 回 上 页 下 页

4.2 替代定理 1.替代定理 对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 返 回 上 页 下 页

+ – uk 支 路 k ik + – uk ik ik + – uk R=uk/ik 返 回 上 页 下 页

A A A 2. 定理的证明 ik + – uk 支 路 k + – uk uk － ＋ ik + – 支 路 k 证毕! 返 回 上 页 下 页

例 注意 求图示电路的支路电压和电流 ＋ － i3 10 5 110V i2 i1 u 解 替代 ＋ － i3 10 5 110V 替代以后有： 注意 替代后各支路电压和电流完全不变。 返 回 上 页 下 页

替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。 原因 注意 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 返 回 上 页 下 页

？ ？ 注意 替代后电路必须有唯一解。 无电压源回路； 无电流源结点(含广义结点)。 10V 5V 2 ＋ － 2.5A + 2.5A 5 ＋ － 1A 1.5A ？ 替代后其余支路及参数不能改变。 返 回 上 页 下 页

+ = 3. 替代定理的应用 例1 0.5 1 I 0.5 10V 3 1 Rx Ix – + U I ＋ － 若使 试求Rx 解 用替代： 0.5 1 U'' – + – + U' 0.5 1 I + = 返 回 上 页 下 页

U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2 0.5 1 U'' – + – + U' 0.5 1 I U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2 返 回 上 页 下 页

例2 求电流I1 6 5 7V 3 I1 – + 1 ＋ － 2 6V 3V 4A 4 解 用替代： 2 4 4A 7V 返 回 上 页 下 页

例3 已知:uab=0, 求电阻R R 8 4 b 2 + a 20V 1A c R 8 3V 4 b ＋ － 2 + a I R 8 4 b 2 + － a 20V 1A c R 8 3V 4 b ＋ － 2 + a 20V 3 IR 解 用替代： I1 用结点法： 返 回 上 页 下 页

例4 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作 4 4V 10 3A ＋ － 2 + 2V 10V ＋ － 2 + 2V 5 1 I I1 应用结点法得： 解 应求电流I，先化简电路。 返 回 上 页 下 页

例5 已知: uab=0, 求电阻R 4 42V 30 ＋ － 60 25 10 20 40 b a R 0.5A d c 解 用开路替代，得： 短路替代 返 回 上 页 下 页

4.3 戴维宁定理和诺顿定理 工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。 返 回 上 页 下 页

1. 戴维宁定理 任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。 i a b Req Uoc + - u a b i u + - A 返 回 上 页 下 页

例 10 + – 20V Uoc a b 10V 应用电源等效变换 1A 5 2A + – Uoc a b 5 15V a b Req - 返 回 上 页 下 页

例 注意 10 + – 20V Uoc a b 10V I 应用电戴维宁定理 (1) 求开路电压Uoc 5 15V a b Req - (2) 求输入电阻Req 注意 两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。 返 回 上 页 下 页

A N A A + 2.定理的证明 a b i + – u a b i + – u 替代 u' a b + – N u'' a b i + 叠加 Req + 返 回 上 页 下 页

i + – u N a b Req Uoc - 返 回 上 页 下 页

3.定理的应用 （1）开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算： 返 回 上 页 下 页

当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻； 外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）； u a b i + – N Req a b u i + – N Req i a b Req Uoc + - u 开路电压，短路电流法。 2 3 方法更有一般性。 返 回 上 页 下 页

注意 例1 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 I Rx a b + – 10V 4 6 计算Rx分别为1.2、5.2时的电流I 例1 断开Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路： 解 返 回 上 页 下 页

Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = 6-4=2V Req=4//6+6//4=4.8 b 4 6 + - Uoc 求开路电压 b + – 10V 4 6 - Uoc Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = 6-4=2V 求等效电阻Req Req=4//6+6//4=4.8 I a b Uoc + – Rx Req Rx =1.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A 返 回 上 页 下 页

例2 Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V U=6I+3I=9I U =9  (2/3)I0=6Io 3 6 I + – 9V U0 6I 求电压Uo 3 6 I + – 9V U0C 6I 3 6 I + – U 6I Io 解 求开路电压Uoc Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V 独立源置零 方法1：加压求流 求等效电阻Req U=6I+3I=9I U =9  (2/3)I0=6Io I=Io6/(6+3)=(2/3)Io Req = U /Io=6  返 回 上 页 下 页

(Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0 I=0 Isc=I1=9/6=1.5A 方法2：开路电压、短路电流 3 6 I + – 9V 6I Isc I1 (Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0 I=0 独立源保留 Isc=I1=9/6=1.5A Req = Uoc / Isc =9/1.5=6  U0 + - 6 9V 3 等效电路 返 回 上 页 下 页

注意 例3 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 100 50 + – 40V RL 50V I1 4I1 5 例3 求负载RL消耗的功率 解 求开路电压Uoc 100 50 + – 40V I1 4I1 返 回 上 页 下 页

100 50 + – 40V I1 200I1 Uoc Isc 100 50 + – 40V I1 200I1 求等效电阻Req 用开路电压、短路电流法 Isc 50 + – 40V 返 回 上 页 下 页

例4 Uoc Req 5 50V IL + – 10V 25 5 U + － 1A 2 4V A V 5 U + － S 1 3 ＋ － 50V IL + – 10V 25 5 U + － 1A 2 4V A V 5 U + － S 1 3 2 1A 线性 含源 网络 - 例4 已知开关S 1 A ＝2A 2 V ＝4V 求开关S打向3，电压U等于多少。 解 返 回 上 页 下 页

4. 诺顿定理 任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。 a b i u + - A a b Req Isc 注意 一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。 返 回 上 页 下 页

例1 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A 12V 2 10 + – 24V 12V 2 10 + – 24V 4 I 求短路电流Isc 解 I1 =12/2=6A I1 I2 I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A Req =10//2=1.67  求等效电阻Req 诺顿等效电路: Req 2 10 4 I -9.6A 1.67 应用分流公式 I =2.83A 返 回 上 页 下 页

例2 求电压U Isc a b 3 6 + – 24V a b 3 6 + – 24V 1A U 解 返 回 上 页 下 页

求等效电阻Req a b 3 6 Req Isc a b 1A 4 ＋ － U 3A 诺顿等效电路: 返 回 上 页 下 页

A A 注意 若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。 b A Req=0 a b A Req= ＋ － Uoc Isc 返 回 上 页 下 页

4.4 最大功率传输定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。 i Uoc + – Req RL i + – u A 负 载 应用戴维宁定理 返 回 上 页 下 页

RL P P max 对P求导： 最大功率匹配条件 返 回 上 页 下 页

RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率 例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率 求开路电压Uoc 解 20 + – 20V a b 2A UR 10 ＋ － Uoc 20 + – 20V a b 2A UR RL 10 I1 I2 返 回 上 页 下 页

求等效电阻Req 20 + – I a b UR 10 U I2 I1 _ 由最大功率传输定理得: 时其上可获得最大功率 返 回 上 页 下 页

注意 最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况; 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便. 返 回 上 页 下 页

4.5* 特勒根定理 1. 特勒根定理1 表明 任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 功率守恒 表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 返 回 上 页 下 页

4 6 5 1 2 3 定理证明： 应用KCL: 1 2 3 支路电压用结点电压表示 返 回 上 页 下 页

4 6 5 1 2 3 2. 特勒根定理2 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 返 回 上 页 下 页

4 6 5 1 2 3 4 6 5 1 2 3 拟功率定理 返 回 上 页 下 页

1 2 3 定理证明： 对电路2应用KCL: 返 回 上 页 下 页

例1 R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2 解 由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A – + U1 Us R1 I1 I2 U2 R2 无源 电阻 网络 返 回 上 页 下 页

– + 4.8V 无源 电阻 网络 3A – + 4V 1A 2V 无源 电阻 网络 2A 返 回 上 页 下 页

P P 例2 2 – + – + U1 U2 I2 I1 已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A 解 返 回 上 页 下 页

注意 应用特勒根定理： 电路中的支路电压必须满足KVL; 电路中的支路电流必须满足KCL; 电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号） 定理的正确性与元件的特征全然无关。 返 回 上 页 下 页

4.6* 互易定理 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 返 回 上 页 下 页

1. 互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。 返 回 上 页 下 页

注意 情况1 激励 电压源 电流 响应 i2 线性 电阻 网络 NR + – uS1 a b c d (a) 线性 电阻 网络 NR + – 则端口电压电流满足关系： 注意 当 uS1 = uS2 时，i2 = i1 返 回 上 页 下 页

证明: 由特勒根定理： 即： 两式相减，得： 返 回 上 页 下 页

将图(a)与图(b)中端口条件代入，即: 证毕！ 即： i2 线性 电阻 网络 NR + – uS1 a b c d (a) 线性 电阻 网络 NR + – a b c d i1 uS2 (b) 返 回 上 页 下 页

注意 情况2 激励 电流源 电压 响应 + – u2 线性 电阻 网络 NR iS1 a b c d (a) + – u1 线性 电阻 网络 则端口电压电流满足关系： 注意 当 iS1 = iS2 时，u2 = u1 返 回 上 页 下 页

注意 激励 电流源 电压源 图b 图a 电流 响应 电压 情况3 + – uS2 u1 线性 电阻 网络 NR a b c d (b) i2 iS1 a b c d (a) 则端口电压电流在数值上满足关系： 注意 当 iS1 = uS2 时，i2 = u1 返 回 上 页 下 页

互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移； 应用互易定理分析电路时应注意： 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移； 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 （要么都关联，要么都非关联)； 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，端口两个支路电压电流关系。 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。 返 回 上 页 下 页

例1 求(a)图电流I ，(b)图电压U 1 6 I + – 12V 2 (a) 4 (b) 1 2 4 + – U 6 解 利用互易定理 返 回 上 页 下 页

例2 I1 = I '2/(4+2)=2/3A I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 求电流I 2 1 4 + – 8V I a b c d 解 利用互易定理 I1 I2 I' 2 1 4 + – 8V I a b c d I1 = I '2/(4+2)=2/3A I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 返 回 上 页 下 页

例3 测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I U1 + – U2 线性 电阻 网络 NR 2A a b c d (a) 5 解1 利用互易定理知c图的 返 回 上 页 下 页

Req (c) 线性 电阻 网络 NR a b c d 5 + – 5V a b I 戴维宁等效电路 结合a图，知c图的等效电阻： 返 回 上 页 下 页

U1 + – U2 线性 电阻 网络 NR 2A a b c d (a) 5 2A + – I 线性 电阻 网络 NR a b c d 解2 应用特勒根定理： 返 回 上 页 下 页

例4 问图示电路与取何关系时电路具有互易性 1 3 + – U I a b c d I U 解 1 3 + – U I IS 在a-b端加电流源，解得： IS 在c-d端加电流源，解得： 返 回 上 页 下 页

如要电路具有互易性，则： 结论 一般有受控源的电路不具有互易性。 返 回 上 页 下 页

4.7* 对偶原理 1. 对偶原理 在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。 2. 对偶原理的应用 根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。 返 回 上 页 下 页

例1 串联电路和并联电路的对偶 + _ R1 R n u k i u1 un u Rk in R1 R2 Rk Rn i + u i1 i2 ik _ 返 回 上 页 下 页

结论 将串联电路中的电压u与并联电路中的电流i互换，电阻R与电导G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻R与电导G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。 返 回 上 页 下 页

例2 网孔电流与结点电压的对偶 ＋ － im1 R1 us1 us2 R3 R2 im2 网孔电流方程 结点电压方程 un1 G1 is1 返 回 上 页 下 页

结论 把 R 和 G，us 和 is ，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。 返 回 上 页 下 页

定理的综合应用 图示线性电路，当A支路中的电阻R＝0时，测得B支路电压U=U1,当R＝时，U＝U2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U 例1 U – + R RA a b A B 线性 有源 网络 返 回 上 页 下 页

解 应用戴维宁定理： 应用替代定理： U – + R RA a b A B 线性 有源 网络 R a b I + – Uoc RA I U 应用叠加定理： 返 回 上 页 下 页

N N 例2 解得： 图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 US i2 i1 + - (a) N US i'1 b a + - (b) 返 回 上 页 下 页

N 解 对图(c)应用叠加和互易定理 US i"1 b a + - (c) R Uoc i=0 a + - 对图(c)应用戴维宁定理 返 回 上 页