◆ 第3節 電力線與電場 一、電場 二、電力線 三、點電荷所建立的電場 四、靜電平衡 五、帶靜電導體球所建立的電場 六、屏蔽作用 七、均勻帶電平行板中的電場 八、電荷在均勻電場中的運動 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 1

一、電場 1. 意義 將帶電體置於空間某處時，其周圍的其他電荷都會受到它的電力的作用，法拉第（Michael Faraday，英國人，1791～1867）稱此帶電體在空間建立了電場。換言之，在帶電體周圍，其電力所及之空間，就有該帶電體產生的電場存在。

2. 電場強度 (1)定義： 將單位正電荷置於電場中某一點，其所受的電力，稱為該點的電場強度，簡稱電場 (electric field) 。 (2)公式： 3

電場的方向即為正電荷所受的電力方向（故負電荷所受電力的方向與電場相反）。 (4)方向： (3)單位： 。 電場的方向即為正電荷所受的電力方向（故負電荷所受電力的方向與電場相反）。 (4)方向： 4

二、電力線 1. 電力線的概念 (1)電場是比較抽象的概念，因此法拉第創立了「電力線」的概念，以較具體的電力線模型，來描述抽象的電場在空間中分布的情形。 (2) 在電場中，將相鄰的點沿著電場方向彼此連接起來，使連線相切於各點的電場方向，則所得之有方向的直線或曲線便是電力線。 (3)電力線是假想的力線，實際上並不存在，它只是一種用來描述電場的模型。

2. 電力線的性質 (1)正電荷的電力線朝外，負電荷的電力線朝內，電力線的數目則正比於電荷大小。 (2)電力線由正電荷出發，並終止於負電荷，故電力線為非封閉曲線。 (3)空間中某處的電力線密度，代表該處電場強度的大小。 ①電力線密度愈大，表示該處的電場強度愈強。 ②電力線密度愈小，表示該處的電場強度愈弱。 6

(4)電力線上任一點的切線方向等於位於該點的正電荷所受電力的方向（即電場方向），如下圖所示。 講義第128頁

※因為如果電力線可以相交，則在交會處便會有兩個不同的切線方向，亦即有兩個受力方向，而這是不可能的。 (5)除了電荷所在處外，電力線永不相交。 ※因為如果電力線可以相交，則在交會處便會有兩個不同的切線方向，亦即有兩個受力方向，而這是不可能的。 講義第128頁

◎電力線不一定就是電荷的運動軌跡 　電力線任一處的切線方向僅表示正電荷在該處的受力方向，而受力方向並不一定等於運動方向，故電力線不一定就是電荷的運動軌跡。

3. 常見帶電體的電力線 10

三、點電荷所建立的電場 1. 量值

2. 方向 若Q＞0，則電場自Q朝外發散，如下圖(a)。 若Q＜0，則電場自外朝Q收斂，如下圖(b)。 15

3. 電場的疊加原理 　兩個或兩個以上的點電荷對另一電荷所產生的總靜電作用力，是由各點電荷對其所產生的靜電作用力的疊加，所以兩個或兩個以上點電荷，所產生的電場是由每一點電荷所產生電場的疊加，因此，數個點電荷在某一點所產生的電場是每一點電荷在該點所產生之電場的向量和。下頁圖為兩個點電荷在P點建立電場的情形。 16

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四、靜電平衡 1.原來不帶電的中性導體，一旦帶電後，其自由電荷將因靜電力作用互相排斥而重新分布，並在極短時間內便可達到平衡而停止移動，此時我們稱此導體達到靜電平衡。 2.導體達到靜電平衡時，導體內部必無淨電荷，內部的電場必為　　，否則導體內自由電荷仍會繼續受力而移動，此時就不是處於靜電平衡狀態，故帶電導體的淨電荷必分布於導體表面。 零

3.如右圖所示，達到靜電平衡時，導體的內部沒有電力線存在，而導體表面上的電場必　 　於導體表面（即電力線必垂直於導體表面）。若電場與導體表面不垂直，電場必有平行於導體表面的分量，則導體表面的自由電荷仍會沿表面運動，此時就不是處於靜電平衡狀態。 垂直 。

五、帶靜電導體球所建立的電場 設有一半徑為 R 的實心導體球，帶電量為 Q，靜電平衡時，其淨電荷均勻分布於導體球表面。其所建立的電場分析如下： 1.球內的電場為　　。 零

3.若將上述的實心導體球改為空心的導體球殼，則其電荷的分布情形仍與實心導體球完全相同，如右圖所示，故兩者所建立的電場亦完全相同。

4.由以上的分析可得，半徑為 R 、帶電量為 Q 的實心或空心導體球，其所建立的電場為： 帶電量為 Q 的實心或空心導體球，其所建立的電場 E 與距離 r 的關係如右圖所示。

六、屏蔽作用 1.如下頁圖所示，金屬殼因靜電感應而在兩端產生等量的異性電。對於置於金屬殼內部的電荷 q 而言，由於帶電體對 q 的靜電力與感應電荷對 q 的靜電力互相抵消，故 q 不受外界帶電體靠近的影響。這種特性稱為導體的靜電屏蔽(electrostatic shielding)。

2.不論導體是實心或空心，靜電屏蔽作用都存在。

1 電場強度 範例1 邊長為d的正四邊形，其四個頂點各置點電荷－q、q、 2q及 q（如圖所示），則四邊形中點 O 處電場之量值為何？（以 q、 d 及庫侖定律中的庫侖常數 k 表示之）【90日大】

解

2 電偶極 如圖所示，在 x 軸上 x＝a 與 x＝－a 兩位置放置電量為 q、－q 的兩個靜止點電荷，則 範例2 如圖所示，在 x 軸上 x＝a 與 x＝－a 兩位置放置電量為 q、－q 的兩個靜止點電荷，則 (1) 坐標原點處O點的電場為 。 (2)在y軸上與原點距離a的P點所建立的電場為 。

解

3 空心金屬球殼的靜電感應 範例3 一不帶電的金屬厚球殼內外半徑各為2R、4R，今在其球心處置一電荷＋q，如圖所示。圖中A、B、C三點分別與球心相距R、3R及5R，則 (1)金屬球殼靜電感應後，內表面被感應 的電荷，外表面則被感應 的電荷。

(2) A 處的電場大小 EA ＝　　。 (3) B 處的電場大小 EB＝　　。 (4) C 處的電場大小 EC ＝　　。

1.如右圖所示，帶有電荷的金屬球殼，靜電平衡後電荷會均勻分布於球面上。這些電荷無法在球殼內產生電場，但可在球面外產生電場，其效果如同集中於球心的點電荷一樣。

2.當球心置一電荷＋q 時，設金屬球殼的內表面被感應 q1 的電荷，金屬球殼的外表面則被感應 q2 的電荷，如右圖所示。 3.距離球心 3R 處的 B 點位於在導體球殼的內部，其電場為零。承1.可知q2 無法在此處構成電場，q1 則可在此處產生電場，效果如同集中於球心的點電荷一樣。

(1) q 與 q1 的合電場為零 ⇒感應電荷q1＝－q（這樣才能互相抵消，使球殼內部的合電場為零）。 (2)感應電荷q2＝+q（整個球殼需保持電中性）。

4.由以上分析可得下列結論：當球心置一電荷＋q時，金屬球殼的內表面會被感應－q 的電荷，金屬球殼的外表面則會被感應 ＋q 的電荷，兩者皆均勻分布，其電荷及電力線的分布情形，如右圖所示。

解

4 屏蔽效應 一不帶電之中空金屬球殼半徑 為R，中心位於 O 點。今在球 殼外距球心距離為d處放置一 點電荷－Q ( Q ＞0)，則金屬 範例4 一不帶電之中空金屬球殼半徑 為R，中心位於 O 點。今在球 殼外距球心距離為d處放置一 點電荷－Q ( Q ＞0)，則金屬 球上會產生感應電荷（如圖所示）。所有感應電荷在球心 O 點處產生之電場其量值及方向為 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【82日大】

1.因為金屬球殼內部 電場為零，故放置電 荷前O點的電場為 零。 2.由屏蔽效應可知，放置電荷後 O 點的電場仍為 零，故所有感應電荷在 O 點產生之電場與點電荷 －Q 所產生之電場等值反向。

解

5 帶電圓環的電場 如圖所示，一均勻帶正電的圓環，其總電量為Q。如環的半徑為R，則 範例5 如圖所示，一均勻帶正電的圓環，其總電量為Q。如環的半徑為R，則 (1)在圓環對稱軸上與圓環中心相距 x 處之 P 點的電場強度為何？

(2)承(1)，若 ， 則其結果為何？ (3)圓環中心處的電場強度為何？ (4)若 時，將一 帶電量為－q、質 量為 m 之點電荷置 於此 P 點，並由靜止釋放，試證明此電荷作簡諧運動並求出其振盪週期？

如圖所示， 將圓環等分為 n 段（n 很大）， 則每小段可視為 一個點電荷，設 其帶電量為ΔQ。 在圖中環上 1 處及其對稱點 2 處的點電荷ΔQ於 P 點建立的電場，其垂直圓環對稱軸方向的分量 E1y 與 E2y 相互抵消，只剩下沿圓環對稱軸方向的分量E1x與E2x。同理，環上任意點上的點電荷ΔQ，在 P 點所建立的電場，都只剩下沿圓環對稱軸方向的分量。

解

七、均勻帶電平行板中的電場 1.一個無限大的平板，如果均勻帶電的話，則平板兩側會有均勻的電場，電力線會垂直於平板，而不會往旁邊偏。 (1)若平板帶正電，則電場朝外，如右圖(a)所示。

(2)若平板帶負電，則電場朝內，如下圖(b)所示。 (3)即使離平板愈來愈遠，這個電場也不會減弱，而會維持定值E0。這是因為在這種情況下，電力線無限往外延伸，密度並沒有減小，如下圖(c)所示。 55

2.讓前2頁圖(a)(b)的平板互相平行，如下圖所示。兩者帶電量相同，只是電荷符號相反，則根據電場的疊加性質： 56

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八、電荷在均勻電場中的運動 如圖所示，一對長 L 的平行金屬板，其間之電場為 E ，其到螢光屏的距離為 D 。今將一質量為 m，帶電量為 ＋q 之質點，以速度 v0 垂直射入此均勻電場中，若重力遠小於電力，則該帶電質點：

1.電荷在平行板間的運動過程 正電荷在 y 方向受力為一定值，取 y 方向向上為正，設在此期間共費時 t ：

2.電荷從射出電場到抵達螢光幕期間的運動過程

6 均勻電場 範例6 如圖所示之 xy 坐標方格區域內有強度為 E 之均勻電場，方向為+y 方向。將一帶電粒子由 P 點以 v 的速度向右水平射出，經一段時間通過 Q 點，粒子運動的軌跡如虛線所示，過程中重力的影響可忽略。圖中每 一方格邊長為 d ，則

【改自97參考樣卷】

解

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