Review 統 計 方 法 的 順 序 確定目的 蒐集資料 整理資料 分析資料 推論資料 (變量，對象) (方法：普查，抽樣) (圖形、表格) (集中量數、離散量數)

第4章 敘述統計(二) 離散量數 4-1 概說 4-2 集中量數 4-3 離散量數

4-3 離散量數 離散量數一般都具有一個相同的特性，即當離散量數越大時，就代表資料越分散，此時集中量數的代表性就相對降低；當離散量數越小時，就代表資料越集中，此時集中量數的代表性就相對提高。 常見的離散量數有全距（Range）、四分位差（Quartile Deviation）、變異數（Variance）、標準差（Standard Deviation）與變異係數（Coefficient of Variation）等五種。

4-3-1 全距

例題4-5 下列兩組資料的全距各是多少？ (1)資料A：32、10、6、29、20、18、25、16、22 (2)資料B：32、10、6、29、20、18、25、16、22、500 (1) 資料A的全距=最大值最小值=32-6=26 (2) 資料B的全距=最大值-最小值=500-6=494。 解答：

4-3-2 四分位差

四分位差所代表的意義乃指排序後的資料中間一半的離散情況，雖然它忽略了左、右兩端的資料，但也因為如此，當資料中出現不正常的極值時，四分位差也較不易受到影響。

例題 4-6 下列資料：32, 61, 24, 16, 57, 28的四分位差？ 解答： 先將資料由小排到大：16, 24, 28, 32, 57, 61

例題 4-7 求下列資料：32, 61, 24, 16, 57, 28, 80的四分位差？

變異數

變異數

變異數

例題4-8 從某班50人中抽出10人，以了解全班在期中考的統計學成績的離散狀況，已知這10人的統計學成績為：75、63、50、86、54、62、88、65、73、74， 求其變異數？

標準差

例題 4-9 從某班50人中抽出10人，以了解全班在期中考的統計學成績的離散狀況，已知這10人的統計學成績為：75、63、50、86、54、62、88、65、73、74，求其標準差？

變異係數

例題 4-10 已知某班級全部同學身高平均數μ1=160(cm)，身高標準差σ1=10(cm);體重平均μ2=55(kg)，體重標準差σ2=4(kg)，則該班身高或體重的分佈何者變異大？ 解答： 因為身高與體重的單位不同，所以必須用變異系數來比較兩者的變異情況。 身高的變異係數= C.V.身高=μ1/σ1*100%=10/160*100%=6.3% 體重的變異係數= C.V.體重=μ2/σ2*100%= 4/55*100%=7.3% 因C.V.體重>C.V.身高，所以體重的分佈變異較大。

例題 4-11 某銀行主管欲了解甲、乙兩家分行的服務品質，其中一項參考指標為顧客等候時間，今在一個星期內隨機抽取兩家分行各100名顧客，發現甲分行的顧客等候時間的平均數甲為15分鐘，標準差S甲為2分鐘，而乙分行的顧客等候時間的平均數乙為14分鐘，標準差S乙為3分鐘，請單就顧客等候時間來判斷兩家分行的服務品質。

例題 4-11 雖然乙分行的顧客等候時間的平均數較甲分行來得小，表面上乎乙分行的服務品質較佳，但基於下列兩個原因，我們認為是甲分行的服務品質較佳。 原因1：甲、乙兩家分行的顧客等候時間的平 均數相差無幾(χ甲=15，χ乙=14) 原因2：甲、乙兩家分行的顧客舟候時間的變 異係數相差甚大 (C.V甲=13.3%，C.V.乙=24.3%)

由全距來判斷資料的離散情況，容易失真，因為全距只考慮到資料中的最大值與最小值，卻忽略了資料中其他佔絕大多數的數據；而由四分位差來判別資料的離散情況，雖較全距的使用來得好，但四分位差僅考慮到由小到大排列的資料之中間一半的分散情況，而忽略了資料中其他數據，仍不是最佳的選擇。

變異數在計算的過程中考慮到資料中的每一個數據，故最適合用來判別資料的離散情況，同時也是最常見的離散量數，但是變異數的單位為原始資料的單位之平方，在使用上較為不便，故一般均使用標準差來代替變異數判別資料的離散趨勢。

習 題 1 1.如果資料中存在一個極大值，則哪一個集中量數（平均數、中位數與眾數三者之一）會受到最大的影響？又哪一個離散量數（全距、四分位差、變異數與標準差四者之一）會受到最大的影響？ 平均數；全距

習 題 2 2.從某班50人中抽出10人，以了解全班年齡的分佈狀況，已知這10人的年齡為： 18、22、20、19、21、20、18、23、19、20 求(1)平均數(2)中位數(3)眾數(4)全距(5)四分位差(6)變異數(7)標準差。

習 題 2

習 題 3 3.若資料為2、1、3、0、1、4、2、1、2、0；求中位數，眾數，平均數，全距，四分位差，標準差及變異係數，並根據您所求的這些數值分析這組資料的性質，並提出您的看法。

習 題 3

習 題 4 4.以下為一個經過分組過的統計資料；試計算平均數與標準差。 組界 次數 1.4~1.8 1 1.9~2.3 2 2.4~2.8 習 題 4 4.以下為一個經過分組過的統計資料；試計算平均數與標準差。 組界 次數 1.4~1.8 1 1.9~2.3 2 2.4~2.8 3 2.9~3.3 13 3.4~3.8 11 3.9~4.3 6 4.4~4.8 4

習 題 4

習 題 5 5. 已知某位同學的各科學習成績如下：國文70分、英文90分、數學60分、統計75分、計概？分，若各科的學分數依序為4、4、4、2、2，且該同學的學期平均成績為72分，則該同學的計概學期成績為多少？

習 題 6 6. 已知誠、正、勤、僕四班的統計學期中考成績之平均數分別為79、62、75、67，標準差分別為3.7、3.0、3.6、3.4、，則哪一班的統計學期中考成績離散程度最大？