數學在實驗設計的一些應用 鄭清水 2004年4月24日 國際數學奧林匹亞競賽第二階段選訓營
統計科學 數據收集 數據分析
數據收集 抽樣 實驗
Validity Efficiency
y (反應變數) ··· X1 Xm
y =f(X1, … , Xm)
y (反應變數) ··· Z1 Zn X1 Xm (可控制) (不可控制)
Confounding 混雜
y =f(X1, … , Xm)+隨機誤差
Placebo effect 雙盲
Thomas Edison (電燈): 6000次實驗 Alwin Mittasch (Ammonia catalyst): 20000次實驗
秤重設計 天平 n個物件，重量分別為 w1,w2,…,wn。 每次秤重的觀察值為 (放置於右邊所有物件的總重量) - (放置於左邊所有物件的總重量) +隨機誤差
4個物件，共秤4次 左 右 第一次: 1,2,3,4 第二次: 3,4 1,2 第三次: 2,4 1,3 第四次: 2,3 1,4
假設有n個物件，共秤N次(N≧n) 。 各秤重設計可用一個元素為+1,-1的N×n矩陣來表示。在上述例子中
問題 : 在所有元素為+1或 -1的N×n矩陣中，找一個使 達到最大。 Hadamard maximum determinant problem J. S. Hadamard (1893)
J. S. Hadamard
問題 : 在所有元素為+1或 -1的N×n矩陣中，找一個使 達到最大。 若 則 為 一解
若X為一元素為+1或 -1的n×n方陣，且 則稱 為一Hadamard矩陣。
J. J. Sylvester ( 1868 ) Hadamard猜測:若n為4的倍數，則必存在一n階的Hadamard矩陣。 =2
R. A. Fisher
統計改變了世界 The Lady Tasting Tea David Salsburg 天下文化
R. A. Fisher Rothamsted Experimental Station 隨機化 (randomization) 區集化 (blocking)
完全隨機設計
完全區集設計
行列設計 拉丁方陣 Latin square
不完全區集設計
平衡不完全區集設計 Balanced incomplete block design
Kirkman的女學童問題(1847)
R. C. Bose
拉丁方陣
正交拉丁方陣
Euler猜測(1782) 只要 n≡2(mod 4) ，則不存在兩個正交的n×n拉丁方陣
n=6: 猜測正確 (G. Tarry, 1900)
Bose, Parker & Shrikhande (1960) 只要 n≡2(mod 4)，n＞6則必存在至少兩個正交的n×n拉丁方陣! 紐約時報1959年4月26日
若n為一質數或質數的乘方，則必存在n-1個彼此正交的n×n拉丁方陣!
Field (體) Evariste Galois
魔術方陣
Lam, Thiel 與 Swiercz (1989) 不存在9個彼此正交的10×10拉丁方陣
{0,1,2,…,6} 表列元素為 i - j
對角線上元素換成 1: 由此可得一平衡不完全區集設計
加一列 -1: 正交表 orthogonal array
再加一行1 ，則得一Hadamard矩陣
投影平面