第5章 组合体的投影

5.1 基本立体的投影 常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体

一、平面基本体 1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成 ⑵ 棱柱体的投影 ⑶ 棱柱体表面上取点 由两个底面和若干侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。 ⑵ 棱柱体的投影 在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。 ⑶ 棱柱体表面上取点  a  a 点的可见性规定： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。  (b)  b 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。  b  a

2.棱锥 ⑴ 棱锥的组成 ⑵ 棱锥体的投影 ⑶ 在棱锥体表面上取点 A B C S ⑴ 棱锥的组成 由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。 s  s  ⑵ 棱锥体的投影  k  k 棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。  n ⑶ 在棱锥体表面上取点  n ( ) a c b a(c) b 同样采用平面上取点法。 a b c s   n  k

第4章 立体表面的交线  4.1 立体表面的截交线  4.2 立体表面的相贯线  本章小结 结束放映

4.1 立体表面的截交线  用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。  用以截切立体的平面——截平面。  截平面与立体表面的交线——截交线。

截交线的性质： ⒈ 是一封闭的平面多边形。 ⒉ 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。 ⒊ 截交线是截平面与立体表面 的共有线。

一、平面体表面的截交线  截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。  截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 的投影特性 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 ★ 空间分析 ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 Ⅰ Ⅳ 1 1 ● (4) 4 ● 2 ● Ⅱ 2 Ⅲ 3 3 ● ★ 空间分析 4 ● 截平面与体的几个棱面相交？ ★ 投影分析 交线的形状？ 3 ● 1 ● ★ 求截交线 截交线在俯、左视图上的形状？ 2 ● ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 棱线法！ 我们采用的是哪种解题方法？

二、回转体 1.圆柱体 ⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两个底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。 3′ 4′ 1″ 2″ 3″ 4″ 直线AA1称为母线。 1′ 2′ 圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。  a  a ⑵ 圆柱体的投影 圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。 ⑶ 轮廓线素线的投影分析与曲 面的可见性的判断 利用投影的积聚性 1(2) ⑷ 圆柱体表面上取点  a 3(4)

2.圆锥体 ⑴ 圆锥体的组成 由圆锥面和底面组成。 ⑵ 圆锥体的投影 ⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断 ⑷ 圆锥体表面上取点 O1 O S A ⑴ 圆锥体的组成 N● 由圆锥面和底面组成。 圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。 S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 ⑵ 圆锥体的投影 s ● s ● 在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。 ⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断  k  (n) (n) ●  k ⑷ 圆锥体表面上取点 b′ d′ b″ ★辅助直线法 ● n 如何在圆锥面上作直线？ 过锥顶作一条素线。 s ★辅助圆法 圆的半径？ b  k d

3.圆球 ⑴ 圆球的形成 ⑵ 圆球的投影 ⑶ 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断 ⑷ 圆球表面上取点 辅助圆法 圆母线以它的直径为轴旋转而成。  k  k 三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 ⑶ 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断 ⑷ 圆球表面上取点 圆的半径？ 辅助圆法  k

 小 结  重点掌握： 一、基本体的三视图画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。  小　结  重点掌握： 一、基本体的三视图画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。

二、回转体的截交线  截交线是截平面与回转体表面的共有线。  截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法： 求截平面与回转体表面的共有点。 ⒉ 求截交线的步骤：  空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。

 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。

㈠ 圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。 平行 垂直 倾斜 两平行直线 圆 椭圆

例:作圆柱体的侧面投影 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影 截交线的空间形状？ 截交线的已知投影？ ● ● 截交线的侧面投影是什么形状？ ● ● ● ● ● ● ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

例：作圆柱体的侧面投影 ★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。 45° 什么情况下投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴线成45°时。

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。 例：作圆柱体的侧面投影 同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。 解题步骤： ● ★空间及投影分析 ● 截交线的形状 截交线的投影特性 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例：作圆柱体的侧面投影 解题步骤： ★空间及投影分析 截交线的形状 截交线的投影特性 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例：作圆柱体的侧面投影 例5：求左视图

㈡ 圆锥体表面的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。 过锥顶 θ =90° α θ ＞ ＞ 90° θ＝α 0° ≤θ＜α 两相交直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线

截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ 例:圆锥被正垂面截切，完成圆锥体的三面投影。 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 如何找椭圆另一根轴的端点？ ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影

例:圆锥被正垂面截切，完成圆锥体的三面投影。 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影

例:圆锥被正平面截切，完成正面投影。 截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ E e′ B D C c′ d′ A a′ b′ e a c ● 截交线的投影特性？ B D C c′ ● d′ ● A a′ ● b′ ● e ● a ● c ● d ● b ●

㈢ 圆球表面的截交线 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。 两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

㈢ 圆球表面的截交线 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。 两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。