第四章 矩阵

关于矩阵_1 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。

关于矩阵_2 1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则 应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用

例1_1 例1 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品B1B2B3。在某年第一季度，各厂的生产情况如下表： 产品 B1 B2 B3 A1 A2 产量 B1 B2 B3 A1 A2 20 30 17 12 10 这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的一个2×3阶矩阵。

例2 运输问题: m个产地,n个销地， 销地 产地 1 2 … n 产量 1 2 m C11 C12 … C 1n Cm1 Cm2 … Cmn a1 a2 am 销量 b1 b2 … bn

矩阵定义 由mn个数 排成m行、n列的数表： A= 称为 m 行 n 列矩阵，简记为m×n矩阵， 称为 A 的第 i 行第 j 列元素。

特殊矩阵及其元素表示_1 实矩阵 矩阵的元素全为实数，即 aij∈R， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n 实矩阵 矩阵的元素全为实数，即 aij∈R， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n 复矩阵 矩阵元素为复数，即 aij∈C， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n 零矩阵0m×n 矩阵元素全为零，即 aij= 0， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n

特殊矩阵及其元素表示_3 单位矩阵 In： 亦记作En 对角阵A： 亦记作diag(a11,a22, … ann) 数量阵：c为一数 亦记作cEn

特殊矩阵及其元素表示_4 上三角矩阵A 常用U表示 严格上三角矩阵A A为上三角阵，且对角元全为0 下三角阵A 常用L表示

特殊矩阵及其元素表示_5 列向量 n=1的特殊矩阵 行向量 m=1的特殊矩阵

特殊矩阵及其元素表示_6 n维标准单位向量

特殊矩阵及其元素表示_7 n阶基础矩阵Eij

矩阵相等的定义 特别提示 行列式建立了 n 阶方阵的全体到某数域的一个对应，即其结果为数值。 A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如下两个条件 m = s, n = t aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n 特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。如02×3≠01×6 ≠03×2 特别提示 行列式建立了 n 阶方阵的全体到某数域的一个对应，即其结果为数值。

矩阵的加减法1_定义 两同为m×n的矩阵相加(减)后得一m×n矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和(差) 特别提示 |A+B|≠|A|+|B|

例1_2 续1 设该化工厂第一、二季度各厂的生产情况分别用矩阵A、B表示： 则上半年各厂生产情况C为:

矩阵的加减法2_运算规则 运算规则 交换律： A+B = B+A 结合律： (A+B)+C = A+(B+C) 0+A=A+0 = A A+(－B) = A－B

矩阵的加减法的秩 秩(A)+秩(-B) =秩(A)+秩(B) (由P156 12可得)秩(A+B) 秩(A)+秩(B)

矩阵的乘法1_定义 设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，A与B的乘积为一m×n矩阵C，定义如下：

矩阵的乘积2_乘积不可交换 特别提示 AB可乘的前提是A的列数等于B的行数 AB乘积一般不可交换 1）A2×1 B1×3，AB为2 ×3矩阵但 BA无意义 2） A3×1 B1×3，AB, BA均有意义，但对应行列数不同，不相等 3） 　若AB = BA，则称矩阵A，B乘积可交换

例1_3 C = AB 续1 设该化工厂第一季度各厂的生产情况以及各产品成本和出产价如下表所示： 问：各厂总产品成本和总出产价为多少？ 价格 成本价 出厂价 B1 B2 B3 7 11 20 7.2 11.3 20.5 产品 产量 B1 B2 B3 A1 A2 20 30 17 12 10 问：各厂总产品成本和总出产价为多少？ C = AB

交通网络模型_1 例2 右图示明了d 国三个城市，e 国三个城市，f 国两个城市相互间之道路。 d1 d2 d3 e1 e2 e3 f2 其中：0, 1 指城市间的通路数

交通网络模型_2 求：d 国和 f 国城市通路形式？

矩阵的乘积3_运算规则 运算规则 (AB)C = A(BC) A (B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC + BC cAB = (cA)B = A(cB)， c为数 对任意m×n阶矩阵A，Em A = A = A En 特别提示 矩阵乘积不满足消去律

矩阵的乘积4_行向量与列向量的乘积 设 则

矩阵的乘积5_与标准单位向量的乘积

矩阵的乘积6_n阶基础矩阵 n阶基础矩阵Eij n 阶基础矩阵与n 阶基础矩阵的乘积

矩阵的乘积7_与n阶基础矩阵的乘积 n 阶基础矩阵Eij与n 阶矩阵乘积

矩阵的方幂 定义:

矩阵的数乘_1 m×n阶矩阵与一个数c相乘后得一m×n矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数。 特别提示 设A为n阶方阵 但 数量矩阵cEn与一切n阶方阵可交换

矩阵的数乘_2 特例：A为n阶方阵，Eij为n阶基础矩阵，则 运算规则： c(A+B)=cA+cB (c+d)A=cA+dA (cd)A=c(dA) 1·A=A 0·A=0 k(AB)=(kA)B=A(kB) 特例：A为n阶方阵，Eij为n阶基础矩阵，则

例1_3 续1依据该化工厂第一季度各厂的生产情况矩阵A，预测全年各厂生产情况为B:

矩阵的数乘_3秩相关公式 当c 不为 0时, 秩(cA) =秩(A),

矩阵的转置1 A=(aji)m×n , B=(bij)n×m , bij=aji ,i = 1,2,…,n; j = 1,2,…,m. 称B为A的转置，记做AT. 运算规则 (AT)T = A (A+B)T = AT + BT (cA)T = cAT (AB)T = BTAT

特殊矩阵及其元素表示_2 n阶方阵A： A的行数＝列数= n 对称阵A： 亦记作A=AT 反对称阵A： 亦记作A=－AT

1、证明：若A为任一个m*n矩阵，则AAT必是一个对称阵 2、若A为一个n阶矩阵，证明：A+AT,A-AT分别为对称矩阵与反对称矩阵。 3、(习题12)证明任一个n阶矩阵A都可以表达为一个对称阵与一个反对称阵之和。

矩阵的转置2_秩的相关公式 秩(AT) =秩(A)

矩阵乘积的行列式

矩阵乘积的行列式 定义6：A为退化的，如果|A|=0;否则称为非退化的。 推论2 ：矩阵AB为退化的充分必要条件是A，B中至少有一个是退化的。

矩阵乘积的秩 定理2: 秩(AB) min[秩(A),秩(B)] 证明:A=(aij)nm,B=(B1,B2,…,Bm) 记AB=C=(C1,C2,…,Cs), Ci的第j个分量为ai1b1j+ai2b2j+...+aimbmj 等于ai1B1+ai2B2+…+aimBm的第j个分量,所以Ci=ai1B1+ai2B2+…+aimBm, i=1,2,…,s 即AB的列向量组可由B的列向量组线性表出. 由P156习题12,故秩(AB) 秩(B). 同理可证秩(AB) 秩(A)

方阵的逆阵_定义 定义 n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是n级单位矩阵。 注意： 只有方阵才存在逆矩阵。

要解决的问题 在什么条件下矩阵A是可逆的？ 如果A可逆，怎样求A-1

伴随矩阵A*

伴随矩阵A* 重要公式

方阵的逆阵

方阵的逆阵 推论：对于n阶方阵A、B，若AB=E(或BA=E)，则A-1=B，B-1=A

方阵的逆_运算规则 运算规则 （以下假设A, B可逆, c为非零数） (A-1)-1 = A (AB) -1= B-1 A-1 (c A)-1 = c-1A-1 (AT)-1 = (A-1)T

矩阵乘积的秩的相关公式 定理4 A是一个s×n矩阵，如果P是一个s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ). 证明：令B=PA,由定理2，秩(B) 秩(A) 但是由A=P-1B，又有秩(A) 秩(B). 所以秩(A)=秩(B)=秩(PA). 同理可证秩(A)=秩(AQ).

矩阵方程的解法 若A，B可逆，

方阵的逆_常见矩阵的逆 上(下)三角矩阵的逆仍为上(下)三角矩阵 对角矩阵的逆仍为对角矩阵 对称矩阵的逆仍为对称矩阵 单位矩阵的逆仍为单位矩阵

伴随矩阵A*的秩

伴随矩阵A* 对n阶矩阵 对n阶矩阵A，B（不要求A、B可逆）,有 当A可逆时，常利用重要公式将对有关A*的计算和证明转化为对A的计算和证明

分块矩阵 其中每个Aij是si×nj小矩阵。 把大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。在运算中，把这些小矩阵当作“数”一样来实行形式计算，同时又要求这些“数”间的运算满足矩阵间运算所必须满足的条件，这就是所谓的矩阵的分块。 其中每个Aij是si×nj小矩阵。

分块矩阵的数乘

分块矩阵的加法

分块矩阵的乘积

分块矩阵的转置

分块矩阵的应用

分块矩阵应用_1 　A，B 为同阶方阵 　A为m阶方阵，B为n阶方阵，C的阶数视分块而定

分块矩阵的应用

准对角(矩)阵 以下均假设A，B为准对角矩阵，且满足所有运算条件

准对角(矩)阵

初等矩阵 定义 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

矩阵的三种初等行变换_1 对应与线性方程组消元过程的三种初等变换，可以定义矩阵相应的三种初等变换。 第1种：以非零的数k乘矩阵中的某一行 第3种：交换矩阵中两行的位置

矩阵的三种初等行变换_2 第1种:以非零的数k乘矩阵中的某一行

矩阵的三种初等行变换_3 第2种:把矩阵中某一行的k倍加到另一行

矩阵的三种初等行变换_4 第3种:交换矩阵的第i行和第j行的位置

第一类初等变换与初等矩阵1_定义 定义 行列式

第一类初等变换与初等矩阵2_效果 纲领 左行右列 纲领 左行右列 P(i,j)左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第一类初等变换即对调该矩阵的第i行(列)与第j行(列) 以下运算中均在运算合法的前提下进行

第二类初等变换与初等矩阵1_定义 定义 c为非零数 行列式

第二类初等变换与初等矩阵2_效果 P(i(c))左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第二类初等变换即该矩阵的第i行(列)各元素乘以c

第三类初等变换与初等矩阵1_定义 定义 k为一数 行列式

第三类初等变换与初等矩阵2_效果 P(i,j(k))左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第三类初等变换即将该矩阵的第j行(第i列)乘以k后加到第i行(第j列)上

P188引理 对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s的初等矩阵； 对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n的初等矩阵。

初等矩阵的逆仍为同类初等矩阵，且有

矩阵的等价关系1_定义及性质 定义 如果一个矩阵 A 经过有限次初等变换后变成 B，则称 A 与 B 等价。 矩阵的等价关系具有下列性质 反身性 A 与 A 等价 对称性 若 A 与 B等价，则 B 与 A等价 传递性 若 A 与 B等价，B 与C等价， 则 A 与C等价

矩阵的等价关系2_等价标准型 定理：任一矩阵A=(aij)s×n必等价于下面形式的矩阵： 它称为A的标准形，主对角线上1的个数等于A的秩。 一系列初等行列变换 逆

例: 用初等变换将下列矩阵化为标准形,

矩阵的等价关系3 矩阵A，B等价的充分必要条件是有初等矩阵P1,P2…,Pl,Q1,Q2…,Qt使 A= P1P2…PlBQ1Q2…Qt 定理6：n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：A=Q1Q2…Qm 推论1:两个s×n的矩阵A,B等价的充分必要条件为，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使A=PBQ. 推论2：可逆矩阵总可以经过一系列的初等行变换化成单位矩阵。

方阵的逆_计算 逆阵的计算 其中A*为A的伴随矩阵   一系列初等行变换  一系列初等列变换

矩阵方程的计算和 矩阵求逆运算关系 以下设A为可逆阵 一系列初等行变换 一系列初等列变换

矩阵逆的计算_方法2 设A是一n级可逆矩阵，则由推论2，有一系列初等矩阵P1,P2…,Pm使Pm…P1A=I 于是A-1=Pm…P1=Pm…P1I 这说明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵就能得到A-1 Pm…P1(A I)=(Pm…P1A Pm…P1I) =(I A-1)

矩阵逆的计算_方法2例子

方阵的逆_计算 逆阵的计算 其中A*为A的伴随矩阵   一系列初等行变换  一系列初等列变换

块初等变换_1 第一类初等变换

块初等变换_2 第二类初等变换

块初等变换_3 第三类块初等变换

分块矩阵应用_1 　A，B 为同阶方阵 　A为m阶方阵，B为n阶方阵，C的阶数视分块而定

分块矩阵应用_2 A为可逆矩阵，D为方阵 A为方阵，D为可逆矩阵 A，D均为可逆矩阵

矩阵的全秩分解 设m×n矩阵A的秩为r，如A=FG，其中F是秩为r的m×r矩阵（即列满秩矩阵），G是秩为r的r×n矩阵（即行满秩矩阵），则A=FG称为A的全秩分解。 任意一个矩阵A必定可做全秩分解。 Full Rank Decompositon

矩阵的LU分解_1 如果不需要经过行交换（第3种初等变换）就可将矩阵A化为行阶梯形矩阵，则A可分解为LU，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。 分解方法： LU-Decompositon of a Matrix

矩阵的LU分解_3 任意矩阵A可分解为PLU，其中P为permutation矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。 分解方法： P is called permutation matrix if each row and each column has exactly one nonzero entry, which is 1.

Cauchy-Binet公式 设A=(aij)m×n，B=(bij)n×m，则 A B AB

Cauchy-Binet公式_推广 设A=(aij)m×n，B=(bij)n×m，r≤n，则 n n r

方阵的迹 定义 A＝(aij)n×n，则A的迹为 tr (A) = a11+a22+…+ann 性质 tr (A+B) = tr (A) + tr (B) tr (kA) = k tr(A) tr (AB) = tr (BA) tr (P－1AP) = tr (A)