暢談圓周率 講者：梁子傑 香港道教聯合會青松中學 演出日期： 1. 2000年4月11日：喇沙書院 1. 2000年4月11日：喇沙書院 2. 2000年4月19日：順德聯誼總會譚伯羽中學 3. 2000年5月16日：何福堂中學 4. 2000年5月31日：上水官立中學

甚麼是圓周率？ 圓周率是圓周與直徑之比 習慣以  表示圓周率   3.14、3.1416、22/7 圓周率有何重要？

 的應用 圓周公式： C = 2r 圓面積公式： A = r 2

 的應用 球體面積公式： A = 4r 2 球體體積公式： V = r 3

符號  的起源 1632 年，英國數學家奧特雷德（William Oughtred, 1574  1660）首先以 “/” 來表示圓周率。 希臘文中，圓周為 “”，直徑為 “”。 1736 年以後，瑞士數學家歐拉開始提倡以 “” 表示圓周率。 到了今天， “” 已經成為圓周率的「代號」了。

實驗及直觀時期 古時，人類對圓周率祇有一個粗略的概念。  值的計算多憑直觀或量度而得。 《舊約聖經．列王紀上卷》第 7 章第 23 節有以下的記載： 「他（指所羅門王）又鑄造了一個銅海，樣式是圓的，高五肘，徑十肘，圍三十肘。」 換句話說，當時的人認為  = 3。 肘：〔音爪〕

實驗及直觀時期 在中國，在漢代以前，人們亦都認為  = 3。 約於公元前一世紀寫成的《周髀算經》中，就有「圓徑一而周三」的說法。 後漢的天文學家張衡（78  139）認為圓周率為 92/29  3.1724。 髀：〔音比〕 同時也用 10  3.1623 表示圓周率。

幾何法時期 阿基米德（Archimedes, 287 B.C.  212 B.C.） 阿基米德利用了幾何方法，計算出以下結果： 阿基米德的方法與劉徽的差不多，故在講座上祇介紹劉徽的方法。 即 3.1408 <  < 3.1429 或   3.14。

割圓術 劉徽（生於公元三世紀） 三國魏晉時代人。 中國古代傑出的數學家。 魏景元四年（即 263 年）為古籍《九章算術》作注釋。 在書中，他提出了一個計算圓周率的方法。我們稱這方法為「割圓術」。 魏景元為魏朝最後的一個年號，當時的皇帝是曹奐，號魏元帝。

割圓術 先作一個半徑為 1 單位的圓。 然後作內接正六邊形。 由此逐步算出 2n  6 內接正多邊形的周界。（n = 1 , 2 , 3 , …） 劉徽認為：「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣！」 劉徽的方法（阿基米德的方法亦同，）其實亦有上、下限的概念，但在講座中將不會談及。 彌：〔音尼〕 劉徽一直計算到 96 邊形的周界，得   3.14 的結果。

祖沖之 祖沖之（429  500） 中國南北朝時代的數學家、天文學家、文學家和工程師。 他應用劉徽的「割圓術」，算出圓周率小數點後七位的正確數值。

《隋書．律曆志》 「宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，圓周二十二。」 祖沖之的方法已失傳，故無法知道他使用那個內接多邊而求得上述結果。 「宋末」指南朝的宋朝。南朝為「宋齊梁陳」。 朒：〔挪玉切〕〔nuk9〕 參考音：服〔fuk9〕 3.1415926 <  < 3.1415927 密率： 約率：

祖沖之的成就 祖沖之計算出的圓周率精密度相當高，之後的九百多年中，世上再沒有人能夠計算出更佳的圓周率結果。 可惜在《隋書．律曆志》卻有以下記載： 「指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。」 《綴術》一書經已失傳！ 有說《綴術》一書可能流傳往日本，或者會從日本的古籍中找到，但希望和機會不大了。

艾爾卡西 艾爾卡西（Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi, 約 1380  1429） 中亞細亞地區的天文學家、數學家。 於撒馬爾罕天文台工作。 1424 年，發表了圓周率的 17 位準確數字。 他生於卡尚，今伊朗德黑德南部的城巿。 撒馬爾干天文台位於今烏茲別克境內東南部，一個以回教建立的城巿，一個美麗的古城。

范柯倫 范柯倫（Ludolph van Ceulon, 1540  1610） 德國人，但長期居於荷蘭。 1610 年，算出有 35 位的  值。 德語中，圓周率被為 “Ludolphsche Zahl”。

分析法時期 1671 年，蘇格蘭數學家格雷哥里（James Gregory, 1638  1675）發表了以下數式： 1674 年，德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646  1716）將 1 代入 x 得： 韋達、華理斯、萊布尼茲三位的數式都有一個共同的缺點：就是收歛的速度非常之慢。 格雷哥里公式的證明可參考《Breakthrough Pure Mathematics Calculus and Coordinate Geometry》2nd Edition, p.415

一百位小數 1706 年，英國數學家梅欽（John Machin, 1680  1751）建立了一個重要公式： 利用此式，再加上前面的「格雷哥里公式」，他計算出圓周率小數點後一百位的數值。 梅欽的譯音很多，其中有書譯成「馬信」或「馬陵」。 欽：〔音音〕 令 A = tan-1(1/5)，從而 tan A = 1/5， 則 tan2A = (2 tan A)/(1 - tan2A) = 5/12。又，類似地，tan4A = 120/119。 設 B = 4A - ， 則 tan B = tan(4A - ) = ((120/119) - 1)/(1 + (120/119)) = 1/239。 由此得  = 4A - B = 4 tan-1(1/5) - tan-1(1/239)。 參考自：《數學的猜想與發現》溫光編著，地質出版社  = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 … …

歐拉 歐拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783） 瑞士數學家。 “” 符號的倡議者。 13歲入大學，17歲取得碩士學位，30歲右眼失明，60歲完全失明。

歐拉公式 2/6 那公式的證明，可見《天才之旅》一書。 公式參考自《神奇的 》布拉特納著，商周出版

計算機時期 1949 年 美國 ENIAC 電腦計算  到 2037 位小數 1961 年 IBM 7090 型電腦把  計算到 100265 位小數 1967 年 CDC 6600 型電腦把  計算到 50 萬位小數 1973 年 計算到 100 萬位小數 1983 年 已算到 8,388,608 位小數 1987 年 2936 萬位小數 1990 年 楚諾維斯基兄弟（The Chudnovsky Brothers）計算出 10 億位小數 1997 年 安正金田等人計算至 510 億位小數 今天 計算仍然繼續……

 的一個重要性質 蘭伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728  1777） 原籍瑞士的德國數學家 1761 年，他證明了  不能表示成分數，即  不是一個有理數。  是一個無理數。 證明見香港大學入學試1978年題目。 或《Introduction to Elementary Calculus》Third Edition, Hsieh Shin Ru, p.276, Ex9.129

無處不在的  高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855） 德國數學家。 計算出統計學上「正態分佈」曲線的公式。 公式證明見《Applied Statistical handbook》Second Edition by W.K.Chu, Educational Publishing House Ltd., pp.64-6

蒲豐拋針 蒲豐（Comte de Buffon, 1707  1788） 法國數學家。 在 1777 年刊行的《或然算術試驗》一書中，導入了一條著名的問題。

蒲豐拋針 設在一個水平面上，畫一些距離相等的平行線。設該距離為 a。 那麼這根小針能和某一直線相交的概率是多少？ 公式證明見《概率萬花筒》蕭文強、林建合著，廣角鏡出版社，46及47頁 或《的今昔》寧挺，福建教育出版社，58至60頁

蒲豐拋針 資料來自《概率萬花筒》蕭文強、林建合著，廣角鏡出版社，第5頁及《的今昔》寧挺，福建教育出版社，第60頁

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