数学高考专题复习 点的轨迹方程的求法 主讲人：董生麟

圆锥曲线回顾

.当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t =1时,轨迹为圆;当t<0时,轨迹为双曲线. 例1:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常数).求顶点A的轨迹. y [思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、tgC坐标化是本题的关键.由图易知∠B是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜角的补角,因而tgB、tgC都可以用斜率来表示.这样可直接写出顶点A的方程,接下来的工作就是化简方程和判断轨迹是何种曲线,必要时可进行讨论. B C A x 本题答案:轨迹方程为 x2/a2 +y2/ta2 =1 (x≠+-a) .当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t =1时,轨迹为圆;当t<0时,轨迹为双曲线.

例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等 例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. x y [思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们为坐标轴;也可以以线段MN的垂直平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由题设可知曲线段C为抛物线的一部分,L1为准线,N为焦点,很显然选择标准方程y2=2px(p>0).下面的关键是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角形及|BN|=6又起什么作用呢?请大家认真思考. B A M N L1 L2 本题答案:y2 =8x (1≤x≤4,y>0)

例3:设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹. [思路分析]本题中的动点C满足两个条件:BC⊥BA,|BC|=|BA|,无论用哪一个都不能直接得出点C的方程,因此要另辟他径.仔细分析题意,点C的运动依赖于点B的运动(A也是这样),因而可以用点C的坐标来表示点B的坐标,又点B在已知曲线上运动,其坐标满足曲线方程,从而得出点C的轨迹方程.如何得出B和C的坐标的关系就成为解题的关键.联想到复数知识,可以利用点与复数的对应关系,复数与向量的对应关系,来得出两点的坐标的关系. x y C B A 本题答案:x2 +y2 =5

例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点 例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP| = |PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹. F Q M A y O x [思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点P ,因此选择P的坐标为参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹. P [思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用例3的方法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系? 本题答案:y2 =8/3×(x +1/3).轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).

求动点的轨迹方程的常用方法 直接法: 根据动点所满足的几何条件,直接写出其坐标所满足的代数方程. 代入法 (也称相关点法): 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求. 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.

本节小结 1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.(例1) 2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.(例2) 3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.(例3) 4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.(例4) 5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来制),不足的点要补充. 6.注意求轨迹和求轨迹方程的区别.

(1999,24t,14f)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x = -1 (1999,24t,14f)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x = -1. B是直线L上的动点,∠BOA的平分线交AB于C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系. 这是一九九九年的高考题(第24题,14分),解题的关键是如何充分利用OC平分∠BOA.设出B(-1,t),C(x,y)的坐标,有以下思路: 思路1:利用三角形的角平分线的性质,|BC|:|CA|=|OB|:|OA|,而将C视为BA的内分点,λ= BC:CA=|BC|:|CA|,|OA|、|OB|均可用距离表示,得出点C的轨迹的参数方程,消去参数即可. y x A B O C 思路2:利用角平分线的性质,点C到直线OA,OB的距离相等,又点C在直线AB上,分别写出OB和AB的直线方程(用B的坐标表示),消去参数即可. 思路3:利用三角形中的边角关 系,tg∠AOC=|y|/x,tg∠BOD=|BD|:|OD|=|y|(1+a)/(a-x),又∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,∴2∠COA=π-∠BOD,tg(2∠COA)=-tg∠BOD.

谢谢各位老师的指导 最后祝您一帆风顺 再见