第5章 网络定理 5.1 叠加定理 5.2 替代定理 5.3 戴维南定理和诺顿定理 5.4 最大功率传递定理 5.5 互易定理 第5章 网络定理 5.1 叠加定理 5.2 替代定理 5.3 戴维南定理和诺顿定理 5.4 最大功率传递定理 5.5 互易定理 5.6 特勒根定理

1.叠加定理 在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 2 .定理的证明

如求电流i1，我们可用网孔法。设网孔电流为iA, iB。由图可知iB=is，对网孔A列出的KVL方程为

结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 结论： 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 3. 几点说明 （1）叠加定理只适用于线性电路。 （2）一个电源作用，其余电源为零；电压源为零—短路。电流源为零—开路。 （3）功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。 （4）u,i叠加时要注意各分量的参考方向。 （5） 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。

例： 求 i1 、i2 、i3 、u2 。 解： 用支路电流法 求得：

上例中考虑两种特殊情况： （1） us 单独作用（ is = 0） ： （2） is 单独作用（ us = 0） ： us 、is 共同作用 ：

说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 线性电路的齐次性： 有唯一解的线性电阻电路中，当所有独立源都变化至原数值的K倍时（K为实常数），任一电流或电压响应也将同样变化至原响应的K倍。 若电路中只有一个独立源，则任一电流或电压响应与该电源成正比。

5.2 替代定理 置换定理(又称替代定理)可表述为：具有唯一解的电路中，若知某支路k的电压为uk，电流为ik，且该支路与电路中其他支路无耦合,则无论该支路是由什么元件组成的，都可用下列任何一个元件去置换：  (1) 电压等于uk的理想电压源；  (2) 电流等于ik的理想电流源；  (3) 阻值为uk/ik的电阻。

证明

替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。 注： 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 2. 替代后电路必须有唯一解

例：已知电路中U＝1.5V,试用置换定理求U1 解：由于U＝1.5V，且R＝3 故： I=1.5/3 =0.5A 支路可用0.5A的电流源置换，如图（b)所示, 可求得： U1=(0.5/2) ×2＝0.5V

例：图为一线性纯电阻网络NR，其内部结构不详。已知两激励源us、is是下列数值时的实验数据为 当us=1V，is=1A时，响应u2=0;  当us=10V，is=0时，u2=1V。  问当us=30 V，is=10 A时，响应u2=?

解 式中：k1，k2为未知的比例常数，其中k1无量纲，k2的单位为Ω。

5.3 戴维南定理和诺顿定理 1.戴维南定理 一个含独立源、线性受控源、线性电阻的二端电路N，对其两个端子来说都可等效为一个理想电压源串联内阻的模型。其理想电压源的数值为有源二端电路N的两个端子间的开路电压uoc，串联的内阻为N内部所有独立源等于零(理想电压源短路，理想电流源开路)，受控源保留时两端子间的等效电阻Req，常记为R0

戴维南定理示意图

戴维南定理的证明 只需证明下面A、B两图单口网络的VAR相同。 (图A) (图B) 图B： 图A：设 i 已知 ＋

3.定理的应用 (1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：

证明： 方法1：将网络 N 的端口开路，用任一种分析方法求出 uoc ；令网络 N 中独立源为零，求出 N0 网络的等效电阻。 方法2： uoc 的求法同前；令网络 N 端口短路，求出其短路电流 isc ，则有 。 证明： 方法3：求出网络 N 的端口VAR，画出由电压源与电阻串联而成的等效电路。

注： (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。 (2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 （3）单口网络 N 的内部变量与外电路的内部变量之间不能有耦合； （4）戴维南等效电路的电压源参考方向与网络 N 开路电压 uoc 的参考方向一致； （5）将 N 中独立源置零，但受控源保留，便得到 N0 ； 注意戴维南定理与置换定理的不同。

求下图电路中的 解：首先求d和b端的开路电压： 。 然后求

画出戴维南等效电路如下图，并求出电流 。

例2： 求图示电路的电流 I 。 解： 原电路： 可求得：

2. 诺顿定理 任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。

诺顿定理示意图

证明诺顿定理简图

求诺顿等效电路的方法类似于求戴维南等效电路的方法。 一般情况下，单口网络 N 的戴维南等效电路与诺顿等效电路之间可以相互转换；若网络 N 的 R0为零，则只有戴维南等效电路；若网络 N 的 R0为无穷大，则只有诺顿等效电路。

5.4 最大功率传递定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。

最大功率传递定理的证明 ( RL 可变 ) 令 ， 得： 在 时， 有一极值，分析可知，这唯一的极值点是 的最大值点。可求得

例： 电路如图，若 RL 可变，求 1 . RL 取何值其功率最大？ 2 . RL 可获得的最大功率 PLmax ， 3 . RL 获最大功率时，电压源 US 产生 的功率及其传送给 RL 的百分比。

解： 可求得： 依最大功率传递定理，当 时，PL 最大，且 回到原电路，求得：

注： 最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况; 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.

5.5 互易定理 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 互易定理：对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。 互易定理有三种形式，现在论述如下：

互易定理形式Ⅰ

(1) 在图 (a)中，电压源激励us1加在网络NR的1-1′端，以网络NR的2-2′端的短路电流i2作响应。在图 (b)(互易后电路)中，电压源激励us2加在网络NR的2-2′端，以网络NR的1-1′的短路电流i1作响应，则有 若特殊情况，令us2=us1

互易定理形式Ⅱ

(2) 在图 (a)(互易前网络)中，电流源激励is1加在NR的1-1′端，以NR的2-2′端开路电压u２作响应；在图(b)(互易后网络)中，电流激励源is2加在NR的2-2′端，以NR1-1′端的开路电压u1作响应，则有 若特殊情况，令is2=is1(相当于激励源is1从NR的1-1′端移动到NR的2-2′端)

(3) 在互易前网络下图 (a)中，激励源is1加在NR的1-1′端，以NR的2-2′端短路电流作响应；在互易后网络图 (b)中，激励源us2加在NR的2-2′端，以NR的1-1’端开路电压u1作响应，则有 对于互易网络，互易前网络响应i2与激励is1的比值等于互易后网络响应u1与激励us2的比值。 若特殊情况，令us2=is1(同一单位制下，在数值上相等)，则有 u1=i2 （在数值上相等）

互易定理形式Ⅲ

互易定理的证明 证明互易定理用图

例：如图所示，线性无源网络N具有一个输入断口和一个输出断口，但输入端口加上一个5A电流源激励而输出端口短路时，输入端口的电压U1＝10V，输出端口的短路电流I2＝1A，当输出端口联接一个5V电压源而输入端口联接一个4 电阻时，此电阻上电压降U`1应为何值？若将图(b)中输出端口的5V电压源换为15V的电压源，则输入端口所接4 电阻上的电压降又应为何值？

解：由于图(a),(b)中的网络N相同，故有：

代入已知数据可得： 解得： 若将图中的5V电压源换为15V电压源，则根据线性电路的其次性，可得此时的电压：

应用互易定理分析电路时应注意： (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移； (2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联)； (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。 (4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

5.6 特勒根定理 1特勒根功率定理。 令右图所示有向图相应电路的各支 路电压和电流分别为u1,u2,u3,u4,u5, 5.6 特勒根定理 1特勒根功率定理。 令右图所示有向图相应电路的各支 路电压和电流分别为u1,u2,u3,u4,u5, u6和i1,i2,i3,i4,i5,i6;并以节点（4） 为电位参考点，其余三个节点对 该点的电压（即相应各节点的 电位）分别为v1,v2,v3. 下面着重讨论给定电路在人任何瞬间t，各支路吸收功 率的代数和： （1）

根据KVL，可写出： (2) 将式（2）代入（1）整理得 (3) 而根据KCL，对节点(1),(2),(3),又有： (4)

将式(4）代入(3）得： 这就是特勒根功率定理（Tellegen’s power theorem)的数学表达式。该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和。

2 特勒根似功率定理 设有两个由不同性质的二端元件组成的电路 N和N` ,两电路各元件间的连接情况以及相应支路 的参考方向均相同，即二者的有向图完全相同， 如图（1）所示。令电路N的各支路电压， 电流分别为 和 ;电路N` 的各支路电压，电流分别为 对两电路均以节点(4)为电位参考点，其余三个节点电位分别为v1,v2,v3和v`1,v`2,v`3,

下面着重讨论如下的数学量的代数和： (6） 将（2－7－2）代入上式： (2) 得： （7）

根据KCL，对电路N`的结点(1),(2),(3)得: 代入(7)得： 同理：

将以上结论推广到任意两个具有nt=n+1个节点，b条支路的电路N和N`,当它们所含二端元件的性质各异，但有向图相同时，有： 和： 这就是特勒根似功率定理（Tellegen’s quasi-power theorem)的数学表达式。该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在任何瞬时t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘积的代数和恒等于零。

应用特勒根定理需注意： （1）电路中的支路电压必须满足KVL; （2）电路中的支路电流必须满足KCL; （3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号） （4）定理的正确性与元件的特征全然无关。

小 结 (1) 叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征， 它的重要性不仅在于可用叠加法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。叠加定理作为分析方法用于求解电路的基本思想是“化整为零”，即将多个独立源作用的较复杂的电路分解为一个一个(或一组一组)独立源作用的较简单的电路，在各分解图中分别计算， 最后代数和相加求出结果。若电路含有受控源，在作分解图时受控源不要单独作用。齐次定理是表征线性电路齐次性(均匀性)的一个重要定理，它常辅助叠加定理、戴维南定理、诺顿定理来分析求解电路问题。

(2) 依据等效概念，运用各种等效变换方法，将电路由繁化简，最后能方便地求得结果的分析电路的方法统称为等效法分析。第一章中所讲的电阻、电导串并联等效，独立源串并联等效，电源互换等效，Π-T互换等效；本章中所讲的置换定理，戴维南定理，诺顿定理都是应用等效法分析电路中常使用的等效变换方法。这些方法或定理都是遵从两类约束(即拓扑约束——KCL、 KVL约束与元件VAR约束)的前提下针对某类电路归纳总结出的，读者务必理解其内容，注意使用的范围、条件、熟练掌握使用方法和步骤。

(3) 置换定理(又称替代定理)是集总参数电路中的一个重要定理，它本身就是一种常用的电路等效方法，常辅助其他分析电路法(包括方程法、 等效法)来分析求解电路。对有些电路， 在关键之处、在最需要的时候，经置换定理化简等效一步，使读者会有“豁然开朗”或“柳暗花明又一村”之感(如节3.2例3.2 1(a)#, (c)图)。 在测试电路或实验设备中也经常应用置换定理。

(4) 戴维南定理、诺顿定理是等效法分析电路最常用的两个定理。解题过程可分为三个步骤：① 求开路电压或短路电流；② 求等效内阻；③ 画出等效电源接上待求支路，由最简等效电路求得待求量。  (5) 最大功率这类问题的求解使用戴维南定理(或诺顿定理)并结合使用最大功率传输定理最为简便。 功率匹配条件： 最大功率公式：

(6) 方程法、 等效法是电路中相辅相承的两类分析法。 (7) 本章末介绍了互易定理。