第3章 图像变换

3.1 二维离散傅里叶变换（DFT） 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下： 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下： 设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换，并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。 （3.1） （3.2）

【例3.1】求图3.1所示函数 的傅里叶变换。 解：将函数代入到(3.1)式中，得 其幅度谱为

二维信号的图形表示 图3.1 二维信号f (x, y)

（a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图 二维信号的频谱图 （a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图 图3.2 信号的频谱图

反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 （3.3） （3.4）

DFT变换进行图像处理时有如下特点： （1）直流成分为F(0,0)。 （2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 （3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 （3.5） （3.6）

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：

幅度谱： （a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图

DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义，有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一个完整的频谱。 （3.7）

推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 （3.8） （3.9）

（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图 图3.5 图像频谱的中心化

对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 2．可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 （3.10） （3.11）

图3.6 　二维DFT变换方法 二维变换可以通过两次一维变换来实现。 同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。

设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为 3．离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为 卷积定理 （3.12） （3.13）

【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图

（a）原始图像 （b）图像频谱 图3.7 傅里叶变换

3.2 二维离散余弦变换（DCT） 3.2.1 一维离散余弦变换 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得： ＝ （3.14）

2．以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N） -1 N-1 N N+1 f (n) 图3.8 延拓示意图 2．以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N） ＝ （3.15） （3.16） ＝

3．对0到2N－1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得 令i＝2N－m－1，则上式为 ＝ ＝ ＋ ＋ ＝ ＝

为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义： （3.17） F(k)＝C(k) 其中 C(k)= （3.18） 3.2.2 二维离散余弦变换 （3.19）

DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]); （3.20）

（a）原图 （b）DCT系数 图3.10 离散余弦变换

3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT） 前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。 沃尔什（Walsh）变换。 沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。 采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。

3.3.1 哈达玛变换 哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。 3.3.1 哈达玛变换 哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。 正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。 哈达玛变换要求图像的大小为N＝2n 。 一维哈达玛变换核为 其中， 代表z的二进制表示的第k位值。 （3.21）

一维哈达玛正变换为 一维哈达玛反变换为 二维哈达玛正反变换为 （3.22） （3.23） （3.24） （3.25）

二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。 正反变换都可通过两个一维变换实现。 高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得： N＝8的哈达玛矩阵为 （3.26） （3.27）

3.3.2 沃尔什变换 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。 3.3.2 沃尔什变换 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。 将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。 一维Walsh变换核为 二维沃尔什正变换和反变换为 （3.28）

3.4 卡胡南-列夫变换（K-L变换） N＝8时的沃尔什变换核的值为 Kahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。 优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。 缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。 H8= （3.29）

K-L变换基本原理 设：随机图像训练集X为N*N阶矩阵的集合，每张图像写成向量 则均值向量为 X的自协方差矩阵为K = =

计算 的根，有 在线性代数理论中知：由特征值 可以进一步求得特征向量。 即 特征向量 满足 由特征向量可构成特征向量矩阵 因此有 其中：

取 A 为变换矩阵，对 作变换，则有 该式称为K-L变换，并有 因此经K-L变换后，等价于F已完全去处相关性。 问题 求变换核 A 需计算协方差矩阵，计算量大且无快速算法；变换核A与数据X集有关，不适合用于正交变换领域。

K-L变换的应用 把 从大到小排列，取前M<N个特征值对应的特征向量构成变换矩阵为AM*N，则 一. 基于变换域的数据压缩 正变换 Y=A（ ），其中；X维数为N，Y维数为M 逆变换 =ATY，注：对于正交变换有AT=A-1 特点： A随数据集合{X}不同而变化，工程应用无意义。 二. 统计学习和知识抽取 对Y进一步进行聚类，可以在M维空间上建立Y的描述，进而完成N维空间上关于X的描述，获得关于X的知识。 三. 模式识别 建立对Y的分类器，可实现对X的分类。

K-L变换引入的失真 正交变换保持能量守恒，即： 时域能量总和=变换域能量总和 的协方差矩阵为 Y的协方差矩阵为 因此，信号总能量为： 当作降维操作时有能量保持率为 引入的失真（噪声能量）

3.5 二维离散小波变换 一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。 3.5.1 连续小波变换 3.5 二维离散小波变换 一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。 3.5.1 连续小波变换 设 且 ，按如下方式生成的函数族 称为分析小波或连续小波。 称为基本小波或母波 a称为伸缩因子，b为平移因子。 （3.30）

3.5.2 离散小波变换 把连续小波变换离散化更有利于实际应用。 对a和b按如下规律取样： 其中， ； ； ，得离散小波： 3.5.2 离散小波变换 把连续小波变换离散化更有利于实际应用。 对a和b按如下规律取样： 其中， ； ； ，得离散小波： 离散小波变换和逆变换为 （3.31） （3.32） （3.33）

3.5.3 快速小波变换算法 【例3.4】应用MATLAB实现小波变换的例子。 解：MATLAB程序如下： X=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(X); [cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'bior3.7'); %进行二维小波变换 A1 = upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1); H1 = upcoef2('h',cH1,'bior3.7',1); V1 = upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1); D1 = upcoef2('d',cD1,'bior3.7',1); subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192)); title('Approximation A1') subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192)); title('Horizontal Detail H1') subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192)); title('Vertical Detail V1') subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192)); title('Diagonal Detail D1')

图3.16 小波变换结果图