第7章 機率分配 離散型機率分配 連續型機率分配

例題(離散均勻分配)

離散均勻分配 離散均勻分配 (discrete uniform distribution) :機率分配函數 定理: 若隨機變數X服從離散均勻分配

離散均勻分配

例題(伯努利分配)

伯努利分配 定理：若隨機變數服從伯努利分配，則 伯努利分配 (Bernolli distribution) 一隨機試驗只有成功和失敗兩種結果。令隨機變數X=1代表成功的事件，X=0代表失敗的事件，又成功事件發生的機率為p，失敗發生的機率為1-p 定理：若隨機變數服從伯努利分配，則

例題(二項分配) 出現正面之機率分配 正面數× 機率 P(×) 1/8= 1 3/8= 2 3 合計

二項實驗具有以下的特性 二項實驗具有以下的特性： 實驗由n次試驗構成 每次試驗僅有成功或失敗兩種結果，又可稱為伯努利試驗 每次試驗成功的機率都相等 n次試驗彼此間皆獨立

二項分配 二項分配 (binomial distribution) ： 若執行n次的伯努利實驗，設每次成功的機率為p，且每次實驗互相獨立。令X表ｎ次實驗中成功次數的隨機變數，則稱X服從二項分配，通常以 X~B(n , p)以表示。 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

例題(二項分配)

例題(二項分配)

例題(多項分配)

負二項分配例說 舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。 要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為 。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。 若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一機率為 。第四次擲骰要擲到第三次一，所以機率為 。

負二項分配 負二項分布表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現機率是 ，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第 次試驗出現第 次成功的機率。即令隨機變數 表第 次成功發生的總試驗次數，則 服從負二項分布，其   機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

例題(負二項分配)

幾何分配 負二項分布中取 ，則負二項分布等於幾何分布。即令隨機變數 表第1 次成功發生的總試驗次數，則 服從幾何分布，其 負二項分布中取 ，則負二項分布等於幾何分布。即令隨機變數 表第1 次成功發生的總試驗次數，則 服從幾何分布，其 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

例題(幾何分配)

超幾何分配 超幾何分布它描述了由有限個物件中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還）。例如在有N個樣本，其中m個是不及格的。超幾何分布描述了在該N個樣本中抽出n個，其中k個是不及格的機率： 上式可如此理解：表示所有在N個樣本中抽出n個的方法數目。 表示在m個樣本中，抽出k個的方法數目。剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有N-m個，剩下的抽法便有種。 若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。 若N接近∞，超幾何分布可視為二項分布。

超幾何分配 在有N個元素的母體，且分為成功與失敗兩類。其中M個元素為成功，N-M個元素為失敗。今以抽出不放回的方式，自母體抽出n個元素，令隨機變數 X 表n個元素中屬於成功的個數，則 X 服從超幾何分布，其 上式可如此理解： 表示在所有N個元素中抽出n個的方法數目。  表示在M個成功元素中，抽出x個成功的方法數目。N-M個失敗的元素中，抽出n-x個失敗的方法數目有 種。 機率分配函數 期望值 變異數

例題(超幾何分配)

超幾何分布與伯努利分布 若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。

超幾何分配與二項分配 當N很大時，發現超幾何分配可視為二項分配。利用下表來比較超幾何分配與二項分配的機率值。 當(n/N)≦0.05時，超幾何分配近似二項分配。

例題(超幾何分配逼近二項分配)

卜瓦松分配的性質 若一實驗是求某特定事件在一段時間或一特定區域內發生的次數，通常稱為卜瓦松實驗。 每一個時間或區域內事件的發生皆是互相獨立的。 在一固定的時間或區域內，事件發生的機率均相等。 事件發生次數的期望值與時間或區域的大小成正比，即時間或區域愈大，期望值μ愈高。 在一極短的時間或區域內，僅有兩種情況，即發生一次或不發生，而發生兩次或以上的情形不予考慮。 Poisson分佈（Poisson distribution）卜瓦松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數等等。

卜瓦松分配 隨機變數 表在所設定的一段時間或區域內某特定事件發生的數目，則 服從卜瓦松分配，通常以 表示， 機率分配函數(機率質量函數) 隨機變數 表在所設定的一段時間或區域內某特定事件發生的數目，則 服從卜瓦松分配，通常以 表示， 其中 為時間或區域內某特定事件發生的數目平均數 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

例題(卜瓦松分配)

例題(卜瓦松分配)

例題(卜瓦松分配)

二項分配近似卜瓦松分配 若隨機變數表為整個時間或區域內事件發生的次數，則可視為二項分配次試驗事件發生的次數，即 也就是說當n夠大時，二項分配近似卜瓦松分配。 而在實務上，只要n≧ 100，p≦0.01或n ≧ 20， p≦0.05即可適用。

二項分配近似卜瓦松分配

二項分配近似卜瓦松分配

例題(卜瓦松分配)

例題(卜瓦松分配)

利用Excel求二項機率分配

利用Excel求超幾何機率分配

利用Excel求卜瓦松機率分配

習 題