从梯子的倾斜程度谈起

源于生活的数学 从梯子的倾斜程度谈起 梯子是我们日常生活中常见的物体 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 生活问题数学化 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 小明的问题,如图: 5m 2.5m C B A 2m E D F

梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 有比较才有鉴别 小颖的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 1.5m A 4m C B 1.3m E 3.5m D F ?

梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 永恒的真理 小亮的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 3m 2m 6m 4m A B C D E F

梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 在实践中探索 小丽的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 2m 6m 5m A B C D E F ?

小明和小亮这样想,如图: 如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度; 你同意小亮的看法吗?

(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? 直角三角形的边与角的关系 (1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 由此你得出什么结论?

三角函数：正切 在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即 tanA= A ┌ tanA=

与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡. 如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? 与∠A有关吗? 与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡. A B1 C2 C1 B2

学以致用 例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡? 提示: 生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 解:甲梯中, 乙梯中, β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 提示: 生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 解:甲梯中, 乙梯中, ∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.

用数学去解释生活 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 100m 60m ┌ α i 提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.

学以致用 tanC=1 tanA=0.75 1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ ┍ 1.5 ┌ A B C D tanC=1 2.如图,某人从山脚下的点A走了250m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是150m,求山坡的坡度. A B C ┌ tanA=0.75

3.鉴宝专家—--是真是假： × × × √ √ A 7 . tan = (1).如图 (1) ( ). A B C ┍ 7m 10m ( ). A B C ┍ 7m 10m (1) (2) × (2).如图 (2) ( ). × (3).如图 (2) ( ). × (4).如图 (2) ( ). √ (5).如图 (2) ( ). A 7 . tan = √

4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 C A B C ┌ 5.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. = =

6.如图, ∠C=90°CD⊥AB. 7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AC CD AD BC BD CD 7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值.

求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. ┍ A B C 6 3 (1) 8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB (2)BC=10,tanA= ,求AC和AB. B (1) 10 ┍ A C (2) (2) AC=24, AB=26 提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

正弦与余弦 在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 锐角A的正弦,余弦和正切都是∠A的三角函数.

如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?

? 例1、 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求:BC的长. 解:在Rt△ABC中, ┌ 解:在Rt△ABC中, 120 160 ? 怎样解答 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?

在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。 如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, 求:AB,sinB. B C 你发现了什么？ A 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。

试一试 1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 提示:过点A作AD垂直于BC于D. D 2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, 求:△ABC的周长. ┐ A B C

= = 练一练 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 c A B C ┌ 4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B. = =

5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. 6.在上图中,若BD=5,CD=12.求cosA的值. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BC CD BD ( ) ( ) ( ) AB AC BC 6.在上图中,若BD=5,CD=12.求cosA的值.

今天你学到了什么？ 在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即 在Rt△ABC中,锐角A的对边与锐角A的邻边比叫做∠A的正切,记作tanA,即 锐角A的正弦,余弦和正切都是∠A的三角函数.