第三节 泰勒 ( Taylor )公式 — 应用 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 第三章 理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 : 特点: 如何提高精度 ? 需要解决的问题 如何估计误差 ? x 的一次多项式 以直代曲 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 求 n 次近似多项式 要求: 令 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当 时, 有 ① 其中 ② 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束

在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 ③ 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . * 可以证明: * 证明见江泽坚“数学分析”（上册）。 ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见 误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在泰勒公式中若取 则有 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束

二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

已知 类似可得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 因此 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 用近似公式 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 利用泰勒公式求极限 用洛必塔法则不方便 ! 例3. 求 解: 用泰勒公式将分子展到 项, 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画 例如 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 作业 P143 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; 10(1),(2) 计算 解: 原式 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 且 证: 由题设对 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

下式减上式 , 得 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 证明 e 为无理数 . 证: 两边同乘 n ! = 整数 + ( p , q 为正整数) , 假设 e 为有理数 则当 时, 则当 时, 等式左边为整数; 时, 当 等式右边不可能为整数. 矛盾 ! 故 e 为无理数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束