第六章 空 间 力 系

本章重点、难点 ⒈重点 静 力 学 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 ⒉难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 图。

静 力 学 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中去掉风力后为空间平行力系。 迎 面风 力 侧 面风 力 b

静 力 学 §6-1 空间汇交力系 一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： 方向： §6-1 空间汇交力系 一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示 力的三要素： b g q Fxy O 大小、方向、作用点 大小： 方向： 由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。

静 力 学 ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： ⒊ 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： ⒊ 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上。 即：

静 力 学 ⒋ 力沿坐标轴分解 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： Fz Fy 而： Fx 所以： ⒌ 已知力的投影求该力 大小： ⒋ 力沿坐标轴分解 Fx Fy Fz 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： 而： 所以： ⒌ 已知力的投影求该力 大小： 方向：

静 力 学 ⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 ⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和 (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采 用此方法合成）

静 力 学 ⒉ 解析法 ⑴ 合力投影定理 由于 代入上式 合力 定理: 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 ⒉ 解析法 ⑴ 合力投影定理 由于 代入上式 合力 定理: 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 ⑵ 合力的解析求法 大小： 方向：

静 力 学 三、空间汇交力系的平衡 ⒈ 平衡的充要条件 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即： ⑴ 几何法平衡充要条件 ⒈ 平衡的充要条件 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即： ⑴ 几何法平衡充要条件 几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。 ⑵ 解析法平衡充要条件 解析法平衡充要条件为： 亦称为 空间汇交力系的平衡方程 三个独立的方程，只能求解三个未知量

静 力 学 §6-2 空间力偶系 y 一、空间力偶三要素 决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的 §6-2 空间力偶系 一、空间力偶三要素 决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的 转向外,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则 空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作 用效应取决于下列三要素： y ⒈ 力偶矩的大小 ； ⒉ 力偶作用面的方位 ； ⒊ 力偶的转向 。

静 力 学 二、力偶矩用矢量表示 ⒈ 力偶矩矢 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩 矢。 ⒉ 力偶矩矢表示方法 ⒈ 力偶矩矢 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩 矢。 ⒉ 力偶矩矢表示方法 ⑴ 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； ⑵ 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 ⑶ 矢量的指向：与转向的关 系服从右手螺旋定则。或从力偶矢 的末端看去，力偶的转向为逆时 针转向。

静 力 学 三、空间力偶的等效定理 ⒈ 定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 ⒈ 定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 ⒉ 证明 ：⑴ 作II//Ⅰ，cd // ab ⑵ 作一对平衡力R, R‘ (在E点, 且 使-R=R') ⑶ 由反向平行力合成得： F1与R合成得F2，作用在d点 F1‘与R’合成得F2‘，作用在c点 且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'

静 力 学 ⑷ 在I内的力偶（F1，F1′）等效 变成II内的（ F2， F2′） ⒊ 推论 ⒊ 推论 在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而 不改变它对刚体的作用。 ⒋ 空间力偶矩矢是一个自由矢量 由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此 表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。

静 力 学 四、空间力偶系的合成与平衡 ⒈ 合成 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。 即： 大小： 方向：

静 力 学 ⒉ 平衡 显然空间力偶系的平衡条件是： 投影式为： 亦称为 空间力偶系的平衡方程 三个独立的方程，只能求解三个未知量

静 力 学 §6-3 力对点的矩与力对轴的矩 一、空间力对点之矩三要素 决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, §6-3 力对点的矩与力对轴的矩 一、空间力对点之矩三要素 决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素： ⒈ 力矩的大小 ； [例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同 ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。

静 力 学 二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。 ⒈ 力矩矢的表示方法 ⑴ 力矩矢大小 ： ⑵ 力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面 的法线方位相同

静 力 学 ⑶ 力矩矢的指向：与转向 的关系服从右手螺旋定则。或从 力矩矢的末端看去，物体由该力 所引起的转向为逆时针转向。 ⑶ 力矩矢的指向：与转向 的关系服从右手螺旋定则。或从 力矩矢的末端看去，物体由该力 所引起的转向为逆时针转向。 注意：力矩矢为定位矢量 注意：力矩矢为定位矢量 注意：力矩矢为定位矢量 注意：力矩矢为定位矢量 ⒉ 力对点的矩的矢积表达式 ⑴ 导出 如果r 表示A点的矢径，则： ∵

静 力 学 又∵ ∴ ⑵ 结论 力对点的矩等于矩心到该力作用点 的矢径与该力的矢量积。 ⒊ 力对点的矩的解析表达式

静 力 学 二、力对轴的矩 ⒈ 实例

静 力 学 ⒉ 定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩. 它是代数量，正负规定 + –

静 力 学 ⒋ 力对轴的矩的解析式 由合力矩定理： 即 同理可得其余两式，即有： 力对轴的矩的解析式

静 力 学 三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 ⒈ 定理 ⒉ 证明 力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 ⒈ 定理 ⒉ 证明 力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 轴的矩。这就是力对点之矩与对 通过该点轴之矩的关系。 通过O点作任一轴Z，则： 由几何关系： ∴ 即：

静 力 学 四、力对点的矩的解析求法 又由于 所以力对点O的矩为： 大小： 方向：

静 力 学 §6-4 空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系 §6-4 空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有 空间一般力系 试将力系向O点简化

静 力 学 一、简化方法 ⒈ 任选O点为简化中心 ⒉ 将各力平行搬移到O点 根据力线平移 定理，将各力平行搬移到O点，得到一 空间汇交力系： 和一附加力偶系：

静 力 学 ⒊ 合成空间汇交力系 汇交力系合力 ⒋ 合成附加力偶系 空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 附加力偶的合力偶矩

静 力 学 二、主矢与主矩 1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。 主矢大小: 主矢 的 解析求法 主矢方向: 1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。 主矢大小: 主矢 的 解析求法 主矢方向: 因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。 注意：

静 力 学 ⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 。 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 大小： 主矩 方向： 解析求法 ⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 。 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 大小： 主矩 解析求法 方向： 因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。 注意：

静 力 学 三、结论 空间一般力系向任一点O 简化 ，一般可以得到一力和 一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的 主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。

静 力 学 §6-5 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。 §6-5 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。 一、力系平衡 若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。 二、力系简化为一个合力偶 若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。 三、力系简化为一个合力 ⒈ 若 则力系可合成为一个合力，力系合力 等于主矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)

静 力 学 ⒉ 若 , 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R 由于做

静 力 学 四、力系简化为力螺旋 力螺旋 ——由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系 [例] ①拧螺丝②炮弹出膛 ⒈ 若 ， 时， ' [例] ①拧螺丝②炮弹出膛 ⒈ 若 ， 时， ' '

静 力 学 ⒉ 若 ，R′不平行也不垂直M0，成最一般的 任意角 时， 首先把MO 分解为M//和M , M和主矢R‘合成为合力R 而： M//不变，是在平面内的一力偶 因为M// 是自由矢量，  可将M//搬到O'处 所以M//和R 在O‘点处形成一个 力螺旋。

静 力 学 ⒊ 注意, R′， M//是力系简化中的不变量 力系简化中，不随简化中心改变的量有：R′， M// 简化中心为O时：有M和M//，当简化中心为另一点O1 时，为M′和M// ， 即M//总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关） 

静 力 学 五、空间力系的合力矩定理 空间力系向O点简化后得主矢 R′和主矩 MO , 若MOR′，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力R 。 ⒈ 导出 ⒉ 定理

静 力 学 §6-6 空间一般力系的平衡方程及应用 一、空间一般力系平衡的充要条件 ⒈ 平衡的充要条件 力系的主矢 和主矩 都等于零，即： §6-6 空间一般力系的平衡方程及应用 一、空间一般力系平衡的充要条件 ⒈ 平衡的充要条件 力系的主矢 和主矩 都等于零，即： 空间一般 力系平衡 必要 充分

静 力 学 ⒉ 解析法平衡充要条件 还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。 亦称为空间一般力系的平衡方程 ⒉ 解析法平衡充要条件 还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。 亦称为空间一般力系的平衡方程 六个独立的方程，只能求解六个未知量 三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 ⒈ 空间汇交力系的平衡方程 因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。 三个独立的方程，只能求解三个未知量

静 力 学 ⒉ 空间平行力系的平衡方程 设各力线都 // z 轴 均成为了恒等式，而自然 因此 满足。 三个独立的方程，只能求解三个未知量 ⒉ 空间平行力系的平衡方程 设各力线都 // z 轴 均成为了恒等式，而自然 满足。 因此 三个独立的方程，只能求解三个未知量 即有：

静 力 学 二、空间约束 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例] 1、球形铰链 2、向心轴承，蝶铰链 3、止推轴承

静 力 学 4、带有销子的夹板 5、空间固定端

静 力 学 球形铰链 Rz Ry Rx

静 力 学 滚珠（柱）轴承 Rz Rx

静 力 学 活页铰

静 力 学 滑动轴承

静 力 学 止推轴承

静 力 学 带有销子的夹板

静 力 学 空间固定端

静 力 学 例 画出车床轮轴的受力图

静 力 学 例 画出起重机C点 和 B点的受力图

静 力 学 [例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ 解：①选轮轴为研究对象； ②受力分析如图； ③选Axyz坐标；④列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。

静 力 学 由：

静 力 学

静 力 学 方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。

静 力 学 §6-7 平行力系的中心 物体的重心 ⒈ 定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用 一、空间平行力系的中心 §6-7 平行力系的中心 物体的重心 一、空间平行力系的中心 ⒈ 定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用 点C 就是此平行力系的中心。 ⒉ 平行力系的中心坐标公式 ⑴ 矢量形式 由合力矩定理： P0 为沿 方向的单位矢量

静 力 学 此式称矢量形式平行力系的 中心坐标公式 ⑵ 直角坐标形式（投影式） 二、 物体的重心 ⑵ 直角坐标形式（投影式） 二、 物体的重心 物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 ⒈ 定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一 个确定的点，这个点称为物体的重心。

静 力 学 ⒊ 重心坐标公式 ⒉ 确定物体重心的意义 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 ⒉ 确定物体重心的意义 ⒊ 重心坐标公式 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 ⑴ 保证平衡的稳定性； ⑵ 保证运动的稳定性； ⑶ 消除振动。 ⑴ 直角坐标形式 由合力矩定理： 即有： 又∵

静 力 学 有： 根据平行力系中心位置与各 平行力系的方向无关的性质，将 力线转成与 y 轴平行，再应用合 力矩定理对 x 轴取矩得： 得： 综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：

静 力 学 若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式 ⑵ 积分形式 ⑵ 积分形式 设I 表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi 第I 个小体积，则 代入上式并取极限，可得： 式中 ，上式称为 积分形式重心坐标公式。 对于均质物体， = 恒量，上式成为：

静 力 学 同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 ⑶ 均质物体重心坐标公式〔形心（几何中心）坐标〕 ① 均质立体 ⑶ 均质物体重心坐标公式〔形心（几何中心）坐标〕 ① 均质立体 设 表示单位体积的重量，⊿Vi 第i个小体积，则 代入直角坐标形式重心坐标公式，可得： 同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写 出相应的公式。

静 力 学 ② 均质薄曲（平）面 ③ 均质细曲（直）杆 三、重心的求法 ⒈对称法 ② 均质薄曲（平）面 ③ 均质细曲（直）杆 三、重心的求法 ⒈对称法 具有对称点﹑对称轴﹑对称面的均质物体，其重心就在其对称点﹑对称轴﹑对称面上。

静 力 学 ⒉ 组合法 ⑴ 分割法 [例] 已知：Z 形截面，尺寸 如图。 求：该截面的重心位置。 解：将该截面分割为三部分， ⒉ 组合法 ⑴ 分割法 [例] 已知：Z 形截面，尺寸 如图。 求：该截面的重心位置。 解：将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。

静 力 学

静 力 学 ⑵ 负面积法 解： Z 形截面可视为由面 积为S1的大矩形和面积分别为 S2及S3的小矩形三部分组成， S2 ⑵ 负面积法 解： Z 形截面可视为由面 积为S1的大矩形和面积分别为 S2及S3的小矩形三部分组成， S2 及S3是应去掉的部分，面积为 负值。

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静 力 学 ⒊ 积分法 [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。 解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox 轴上，即yC=0。 ⒊ 积分法 [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。 解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox 轴上，即yC=0。 取微段：

静 力 学 ⒋ 实验法 ⑵ 称重法 ⑴ 悬挂法 简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。