線對稱 尺規作圖的意義 垂直平分線 角平分線 垂線 自我評量

在日常生活中，常見到許多線對稱圖形。下列圖形都是線對稱圖形，你看得出來嗎？

我們可以用對摺疊合的方法檢驗圖形是否為線對稱圖形。一個線對稱圖形對摺後，重疊的兩點稱為對稱點，重疊的線段稱為對稱線段，重疊的角稱為對稱角，摺線為對稱軸。圖2-38 中，B 點的對稱點為B' 點，∠C 的對稱角為∠C'， 的對稱線段為 ，直線 L為對稱軸。因為 A 點在對稱軸上，所以 A點的對稱點即為 A 點本身。 圖 2-38

圖2-38中，連接 ，與直線 L 交於 M 點， ＝ ，也就是 M 為 的中點，我們說直線 L 平分 。又∠1＝∠2，且∠1＋∠2＝180°，所以∠1＝∠2＝90°，也就是直線 L 垂直 ，可以記成 L ⊥ ，讀作「L 垂直 」。直線 L 與 的交點 M 稱為垂足。

因為直線 L 垂直 且又平分 ，我們就說直線 L 垂直平分 ，直線 L是 的垂直平分線，又稱為中垂線。

畫出下列圖形的所有對稱軸： 長方形 梯形 菱形

畫出下列圖形的所有對稱軸： 正五邊形 等腰三角形 正八邊形

如圖2-39，△ABC 是等腰三角形， ＝ 。 我們可以對摺將B點疊合在C點上， 和 疊 合，摺痕得到　 中點D，∠ADB＝∠ADC＝ 90°。也就是△ABC 是一個線對稱圖形， 是對稱軸。 圖2-39

由此可知， 是 邊的高，也是 的垂直平分線。即等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊。

同樣地，正三角形的高也會垂直平分底邊。如圖2-40，正三角形ABC的邊長為 a，因為 垂直平分 ，所以 ＝ ＝ a。

由勾股定理得 ＝ 　　　　　　　 ＝ ＝ △ABC面積＝ × × ＝ × a × ＝ a2

若正三角形的邊長為 a，則高為 a， 面積為 a2。

1 完成線對稱圖形 右圖是線對稱圖形的一部分，直線 L 是對稱軸，請完成此線對稱圖形。

因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L的右側，找到 B點的對稱點B' 。同理，找到 C' 、 D' 、E' 、F' 、G' 、H'。 解 因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L的右側，找到 B點的對稱點B' 。同理，找到 C' 、 D' 、E' 、F' 、G' 、H'。 連接 、 、 、 、 、 、 、 ，即為所求。

1.如下圖，四邊形 ABCD是菱形，請問它是線對稱圖形嗎？若 ABCD是線對稱圖形，則B點的對稱點為何？ 菱形ABCD是線對稱圖形，B點的對稱點是D點。

2.如下圖，四邊形PQRS是箏形，請問它是線對稱圖形嗎？

在隨堂練習中，我們可以利用對摺的方法，檢驗得知鳶形和菱形都是線對稱圖形。 菱形ABCD中，若以對角線 為對稱軸，則 A、C為對稱點，所以 垂直平分 。同樣地，若以對角線 為對稱軸，則 B、D為對稱點，所以 垂直平分 。也就是對角線 、 互相垂直平分。即 菱形的兩對角線互相垂直平分。

箏形PQRS 中，對角線 是對稱軸，Q、S為對稱點，所以對角線 會垂直平分對角線 。即 箏形的兩對角線互相垂直，且一對角線平分另一對角線。

直尺和圓規是幾何作圖的主要工具，尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

比較線段大小時，除了用直尺測量之外，也可以使用圓規。如圖2-41，將圓規張開如 之大小，不改變圓規張角的大小，將圓規的一端移至C點上，觀察圓規的另一端。如果另一端落在上，如圖2-42，表示 ＞ ；如果另一端落在 外，如圖2-43，表示 ＜ 。 圖2-41 圖2-42 圖2-43

2 等線段作圖 如右圖，已知一線段AB，如何畫出一線段，使它的長度等於 呢？

(1) 畫一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 長為半徑畫弧，交 直線 L 於一點 D。 (3) 即為所求的線段。 作法 (1) 畫一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 長為半徑畫弧，交 直線 L 於一點 D。 (3) 即為所求的線段。

例題 2 的畫法是不是和我們比較兩線段長度疊合的方法，有一點類似呢？一般來說，在進行幾何作圖時，應保留作圖的痕跡，並輔以文字說明。

3 線段長作圖 已知一線段 AB，求作一線段CD， 使它的長度等於 的 2 倍 。

(2) 以 C 為圓心， 為半徑畫弧，交直 線 L 於 P 點。 作法 (1) 作一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 為半徑畫弧，交直 線 L 於 P 點。

(3) 以 P 為圓心， 為半徑畫弧，交直線 L 於 D 點。 (4) 即為所求。 作法 (3) 以 P 為圓心， 為半徑畫弧，交直線 L 於 D 點。 (4) 即為所求。

1.如右圖，試在 上找出D點，使得 ＝ 。

2.已知兩線段長a、b，求作線段PQ，使得 ＝

之前我們已經用對摺的方法，摺出 的垂直平分線，接下來，我們將利用尺規作圖，作已知線段的垂直平分線。

在紙上畫出一線段，以摺紙的方式找出該線 段的垂直平分線，並標出該線段的中點。 (2) 說說看，為什麼你的摺法摺出來的是垂直平 分線？ 參考課本P.74第三段

4 中垂線作圖 已知 ，求作 的垂直平分線。

作法 (1)以A為圓心，並以大於 長為半徑畫弧。

(2)以B為圓心，同長為半徑畫弧，兩弧相交於C、D 兩點。 作法 (2)以B為圓心，同長為半徑畫弧，兩弧相交於C、D 兩點。

作法 (3)畫 ，則 即為所求。

在例題4的作圖過程中，為何要以大於 的線段長為半徑畫弧呢？小於 可以嗎？等於 可以嗎？ 以大於 長為半徑畫弧，兩弧才會有交點。小於 畫弧，兩弧就無法相交。以 為半徑畫弧，兩弧會在 中點相交，無法形成三角形。

例題4中，如何確定 會垂直平分 呢？我們可以連接 、 、 、 ，因為 ＝ ＝ ＝ ，若以 為摺線對摺，則△ACD與△BCD會重合，即 為四邊形ACBD的對稱軸， 所以 垂直平分 。

如右圖，若 L 是 的垂直平分線，在 L 上任取一點 P，連接 、 。想想看， 是否會等於 ？

由動動腦的結果可知， 垂直平分線上任一點到線段兩端點的距離相等。

如下圖，已知 ，請用尺規作圖將 四等分。

我們可以用尺規作圖複製一線段，那麼是否也可以利用尺規作圖複製一個角呢？ 5 等角作圖 已知∠A，求作一角等於∠A。

(2)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C兩點。 作法 (1)畫一直線L，在L上取一點O。 (2)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C兩點。

(3)以O為圓心， 為半徑畫弧，交直線L於Q點。 作法 (3)以O為圓心， 為半徑畫弧，交直線L於Q點。

(4)以Q為圓心， 為半徑畫弧，交前弧於P點。 作法 (4)以Q為圓心， 為半徑畫弧，交前弧於P點。

在例題5中，我們可以用量角器測量∠A及∠POQ的度數，檢驗出∠POQ確實等於∠A。 作法 (5)畫 ，則∠POQ 即為所求。 在例題5中，我們可以用量角器測量∠A及∠POQ的度數，檢驗出∠POQ確實等於∠A。

利用尺規作圖，畫出一角等於∠B。

將一個角平分為兩相等角的線，我們稱為角平分線，又稱為分角線。如圖2-45，若∠BAC與∠DAC 的度數相等，也就是∠BAC＝∠DAC，我們就說 是∠BAD 的角平分線。

下圖是一已知角，我們用對摺的方法，讓角的兩邊疊在一起，則摺痕就是角平分線。 圖2-46

古希臘幾何三大作圖難題： 1.三等分角：把一任意角三等分。 2.立方倍積：作一立方體，使其體積是一已知立 方體體積的兩倍。 3.化圓為方：作一正方形，使其面積等於一已知 圓的面積。

這三個題目，乍看之下似乎不是很難，為何被稱為三大難題呢？這是因為只能使用沒有刻度的直尺和圓規作圖。現代數學家已經證明了這三個題目都無法用尺規作圖完成。

接下來，我們將利用尺規作圖的方法，畫出一已知角的角平分線。 6 畫角平分線作圖 已知∠A，求作∠A 的角平分線。

(1)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C 兩點。 作法 (1)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C 兩點。

(2)分別以B、C為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於D點。 作法 (2)分別以B、C為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於D點。

作法 (3)畫 ，則 即為所求。

由例題6，連接 、 ，因為 ＝ ， ＝ ，所以四邊形ABDC為箏形。當我們以 為摺線時，就可以發現∠CAD 與∠BAD 相等。 圖2-47

1.求作∠B 之角平分線，並用量角器測量被平分 的兩角角度是否相等。 2.試作一平角的角平分線。

7 過線上一點作垂線 已知直線 L 及 L 上一點 P，求作過 P 點與 L 垂直的直線。

(1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於 A、B兩點。 作法 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於 A、B兩點。 (2)分別以A、B為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於C點。 (3)連接 ，則 即為所求。

在例題7中，若連接 、 ，由作法的步驟(1)可知P點為 的中點，而由作法的步驟2可知 ＝ ，也就是△CAB為等腰三角形。在前面已說明「等腰三角形為線對稱圖形」，所以 為△CAB之對稱軸，∠CPA＝∠CPB＝90°。因此 確實為過P點與L垂直之直線。 圖2-48

例題 7 的作法和例題 6 隨堂練習中平角的角平分線作法是相同的。 8 過線外一點作垂線 已知直線 L 及 L 外一點 P，求作過 P 點與 L 垂直的直線。

(1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於A、B兩點。 作法 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於A、B兩點。 (2)分別以A、B為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於C點。 (3)連接 ，則 即為所求。

在例題8中，我們可連接 、 、 、 ，因為 ＝ ， ＝ ，所以四邊形PACB為箏形。在前面我們學過「箏形的兩對角線互相垂直」，所以 ⊥L，即 確實為過P點與L垂直之直線。

利用「過線外一點作垂線」的作圖方法，我們可以作出三角形的高。如圖2-49，△ABC中， 邊上的高即為過 A 點垂直 的線段。

已知△ABC，求作 邊上的高。 △ABC 中， 邊上的高的作法，與過A點作 之垂線作法相同。

除了用尺規作圖的方法作出三角形的高，我們也可以用對摺的方法，摺出三角形的高。 圖2-50

作等線段、作等角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線，這幾種作圖方法，我們稱為基本作圖。將來在作圖時，如果需要使用這些基本作圖，我們不再詳列它們的作法，只簡述即可。在下面的例題中，我們將以這些基本作圖為基礎，完成其他作圖。

9 扇形作圖 已知一扇形ABC，求作扇形DEF＝扇形ABC。

(3)以D為圓心， 為半徑畫弧，分別交 、 於F、E兩點。 作法 (1)畫一直線L，在L上取一點D。 (2)作∠PDQ＝∠CAB。 (3)以D為圓心， 為半徑畫弧，分別交 、 於F、E兩點。 (4)扇形DEF即為所求。

右圖是線對稱圖形的一部分，直線L是對稱軸，試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。 10 完成線對稱圖形 右圖是線對稱圖形的一部分，直線L是對稱軸，試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。 作法 (1)以A為圓心， 為半徑畫弧，再以D為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為B點的對稱點B'。

(2)以 A 為圓心， 為半徑畫弧，再以 D 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C'。 作法 (2)以 A 為圓心， 為半徑畫弧，再以 D 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C'。 (3)連接 、 、 ，所得圖形即為所求。

例題10中，若在L上任取二點P、Q，分別以P、Q為圓心， 、 為半徑畫弧，此兩弧的交點是否為 B 點的對稱點？為什麼？ 是。因為PBQB'為箏形(設兩弧的交點為B' )。

如下圖，請仿照例題10的作法，畫出B點的對稱點。

1.對稱軸：線對稱圖形上，對稱軸會垂直平分兩對稱點的連線段。 2.尺規作圖：尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

3.垂直平分線：一已知線段的垂直平分線上任意一點到線段的兩端點等距離。 4.基本作圖：複製線段、複製角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線。

(1)∠BPA＝ ∠APC＝ × (180°－2×43°) ＝ × 94°＝47° 2-3 自我評量 1.如右圖，P 點在直線AE上， 平分∠APC， 平分 ∠CPE，∠DPE＝43°。 (1)求∠BPA。 (2)請問 是否垂直 ？ (1)∠BPA＝ ∠APC＝ × (180°－2×43°) ＝ × 94°＝47° (2)∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝47°＋43°＝90° 所以 ⊥ 。

2.如下圖，請利用尺規作圖在 上作一點P， ： ＝1：3。

3.下圖是一線對稱圖形，請利用尺規作圖畫出它的對稱軸。

4.如右圖，△ABC中，∠ABC＝62°， ∠ACB＝58°， (1)求∠BAC。 (2)△ABC 是何種三角形？ （鈍角、銳角或直角） (3)若∠ABC 與∠ACB 的 角 平分線相交於D 點，求 ∠BDC。

4. (1)∠BAC＝180°－62°－58°＝60° (2)因為∠ABC、∠ACB、∠BAC 均為銳角，所以△ABC 為銳角三角形。 (3)∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB ＝180°－ × 62°－ × 58° ＝180°－31°－29° ＝120°

5.如圖， △ABC為鈍角三角形，利用尺規作圖作 上的高。

π的故事 圓周率π是圓的周長與直徑的比，即π＝ 。為什麼用π這個符號來代表圓周率 呢？由來如下： 西元1600年，英國數學家奧托雷德（William Oughtred，1574-1660）首先用 來表示圓周率。理由是希臘文中「圓周」的第一個字母是π，而「直徑」的第一個字母則是δ(讀作delta)

，因此 很自然地就寫成 。但是為了簡化圓周率的計算過程，通常我們會令圓的直徑為1，此時 ＝ ＝π。 1706年，英國數學家瓊斯（William Jones，1675-1749）改用π來表示圓周率，後來瑞士大數學家尤拉（Leonhard Euler，1707-1783）也採用此表示法，於是沿用至今。

圓周率π是一個無理數，目前已有人計算出它的近似值到小數十億位以上。 π＝3 圓周率π是一個無理數，目前已有人計算出它的近似值到小數十億位以上。 π＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 79445 92307 81640 62862 08998 62803 48253 42117 06798 …