第二章 矩阵及其运算 §1 线性方程组和矩阵 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 克拉默法则 §5 矩阵分块法

§1 线性方程组和矩阵 一、线性方程组 二、矩阵的的引入 三、矩阵的定义 四、特殊的矩阵 五、矩阵与线性变换 六、小结

一、线性方程组 n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式 表示一个从变量 到变量 线性变换， 表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为i个方程的第j个未知数的系数， 是第i个方程的 常数项

系数矩阵 方程组与矩阵之间存在着一一对应关系.

二、矩阵概念的引入 √ √ √ B C A D A B C D A B C D 城市间的航班图情况常用表格来表示: 其中√ 表示有航班 始发地 A B C D 目的地 A B C D √ √ √

√ √ √ √ √ √ √ A B C D A B C D 为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表： 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.

例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为： 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．

三、矩阵的定义 由 m×n 个数 排成的 m 行 n 列的数表 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作

简记为 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

行列式 矩阵 行数等于列数 共有n2个元素 行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表

四、特殊的矩阵 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：

形如 的方阵称为对角阵． 特别的，方阵 称为单位阵． 记作 记作 ．

同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 例如 为同型矩阵. 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .

例如 注意：不同型的零矩阵是不相等的.

例 设 解

五、矩阵与线性变换 n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式 表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数.

系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.

例 线性变换 称为恒等变换. 对应 单位阵 En

例 2阶方阵 投影变换 对应 例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换

六、小结 (1)矩阵的概念

方阵 行矩阵与列矩阵; 单位矩阵; (2) 特殊矩阵 对角矩阵; 零矩阵.

思考题 矩阵与行列式的有何区别?

思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.

§2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式 六、小结

例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示： 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．

解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量

一、矩阵的加法 定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

知识点比较

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如

矩阵加法的运算规律

矩阵加法与数加法运算律比较 设 A、B、C 是同型矩阵 设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 交换律 结合律 其他 设 A、B、C 是同型矩阵 设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然

例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量．

解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．

二、数与矩阵相乘 定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为

数乘矩阵的运算规律 结合律 分配律 备注 设 A、B是同型矩阵，l , m 是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.

知识点比较

例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为： 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．

以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及 总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是 解： 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及 总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是

一般地， 可用矩阵表示为

三、矩阵与矩阵相乘 定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 ，其中 并把此乘积记作 C = AB．

例１ 例2 设

解 故

注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在.

例3：设 求 解

知识点比较 有意义. 只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 没有意义.

注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则

但也有例外，比如设 则有

例 结论： 矩阵乘法不一定满足交换律. 矩阵 ，却有 ， 从而不能由 得出 或 的结论．

矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 (2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数） (3) 乘法对加法的分配律 (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即 纯量阵不同于对角阵 推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.

(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义 显然 思考：下列等式在什么时候成立？ A、B可交换时成立

例4 计算下列乘积： 解

解 =( ）

例5 解

由此归纳出

用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时，

所以对于任意的 都有

四、矩阵的转置 定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT . 例

转置矩阵的运算性质

例6：已知 解法1

解法2

定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称阵. 如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵

例7 对于任意的 阶矩阵 与 ,试证 为对称矩阵 证明： 所以 为对称矩阵 所以 为对称矩阵

例8：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E. 证明： 从而 H 是对称阵．

五、方阵的行列式 定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA. 运算性质

定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 性质

性质 证明

例11 求3阶方阵 的伴随矩阵. 解： 则

练习 求伴随矩阵

六、小结 加法 数与矩阵相乘 矩阵运算 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 对称阵与伴随矩阵

矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 注意 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 作业：P52:1(4,5)、2、8（1，2）

复习上节课内容 转置矩阵的运算性质 方阵的行列式 的运算性质 矩阵乘法不满足交换律，即： 对称阵与反对称阵 对称阵 反对称阵

思考题 1. 成立的充要条件是什么? 则必有 (A) 或 (B) (C) (D) 或

思考题解答 1.答 故 成立的充要条件为 2.C

§3 逆矩阵 一、伴随矩阵 二、逆矩阵概念的引入 三、逆矩阵的概念和性质 四、逆矩阵的求法 五、小结

矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.

一、伴随矩阵 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 性质

性质 证明

例 求3阶方阵 的伴随矩阵. 解： 则

二、逆矩阵概念的引入 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.

三、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 设

说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 证明 则有 若设 和 是 的可逆矩阵， 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即

例 设 设 是 的逆矩阵, 解 则

又因为 所以

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 证明 若 可逆，

按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

方阵A可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵 定理：若方阵A可逆，则 ． 容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.

推论 证明 逆矩阵的运算性质

证明

证明

四、逆矩阵的求法 例1 求方阵 的逆矩阵. 解

同理可得 故

练习：求3阶方阵 的逆矩阵. 解：| A | = 1， 则

例2 解

例3 设 解

于是

例4

例5

解 给方程两端左乘矩阵

给方程两端右乘矩阵 得

给方程两端左乘矩阵

给方程两端右乘矩阵 得

例6.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1 证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T 同理　 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E 　 ∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1

设 为 的 次多项式， 为 阶 n 矩阵,即 称为矩阵 的 次多项式 1.如果 ，则 从而 2.如果 为对角矩阵，则 ，从而

五、小结 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 存在 逆矩阵的计算方法

复习上节课内容 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 存在 逆矩阵的计算方法

思考题

思考题解答 答

例1 设 解

于是

例2

例3 如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1 证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T 同理　 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E 　 ∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1

例5 设 ，求 解 即 而 ，故 所以 ， 又 所以

练习 1.设 非奇异矩阵,并且 ,试证 2.设 为n阶矩阵,且满足 证明: 可逆，并求 3.设 ,求

§4 克拉默法则 一、关于克拉默法则的等价命题 二、齐次线性方程组的相关定理 三、小结

非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组.

克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即

那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

定理中包含着三个结论： 方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.

一、关于克拉默法则的等价命题 设 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

例1 解线性方程组 解

例2用克莱姆法则解下列方程组 解 所以

例3 用克拉默法则解方程组 解

二、齐次线性方程组的相关定理 定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 备注 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零

例4 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 如果齐次方程组有非零解，则必有 . 所以 时齐次方程组有非零解.

思考题 当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.

练习 问 取何值时 齐次线性方程组 有非零解？ 答案：当0或1时 用克拉默法则解方程组 答案：

三、小结 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理论推导．

§5 矩阵分块法 一、分块矩阵的加法 二、分块矩阵的乘法 三、分块矩阵的转置 四、分块对角矩阵 五、小结

前言 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传. 家具的拆卸与装配 问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？

问题一：什么是矩阵分块法？ 定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作 称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 这是2阶方阵吗？

思考题 伴随矩阵是分块矩阵吗？ 答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵．

问题二：为什么提出矩阵分块法？ 答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.

例 即

即

分块矩阵的加法

若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即 则有 形式上看成是普通矩阵的加法！

分块矩阵的数乘

若l 是数，且 则有 形式上看成是普通的数乘运算！

分块矩阵的乘法 一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下：

按行分块以及按列分块 mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作 若将第 j 列记作 则

于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则

分块矩阵的转置 若 ，则 例如： 分块矩阵不仅形式上进行转置， 而且每一个子块也进行转置．

分块对角矩阵 定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵， 对角线上的子块都是方阵， 例如：

分块对角矩阵的性质 | A | = | A1 | | A2 | … | As | 若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且

例1 设 解

则

又

于是

例2

其中 其中

例3 设 解

例4：证 Amn = Omn的充分必要条件是方阵ATA = Onn ． 于是 那么 即 A = O ．

例5： 设 均为n阶方阵 ，证明： 设 证明： 则由逆矩阵的定义应有 因为 所以 代入

例6： 证明： 设 为n阶方阵， 证明： 由行列式的性质 且 例7： 设 为n阶方阵， 证明： 证明： 由 所以

小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 (2) 数乘 (3) 乘法

(4) 转置 (5) 分块对角阵的行列式与逆阵

思考题

思考题解答 证

作业：P54:15（1）、20、26、27