第五章 频率特性法 第五节 频率特性与系统性能的关系 一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系

一 、开环频率特性与系统性能的关系 常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。 三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。 第四节 频率特性与系统性能的关系 一 、开环频率特性与系统性能的关系 常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。 dB L( ω ) 低频段 中频段 高频段 -40dB/dec ω c ω 2 ω 1 ω -20dB/dec -40dB/dec 三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。

1．低频段 低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)= s K K G(j ω )= ) (j 可知： 对数幅频特性为： L( ω 第四节 频率特性与系统性能的关系 1．低频段 低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)= s K υ K υ G(j ω )= ) (j 可知： 对数幅频特性为： L( ω )=20lgA( ) 曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。 dB L( ω ) K =20lg υ ω υ=0 υ=1 =20lgK-v20lg ω υ=2 -20 υ K ν ω 根据分析可得如图所示的结果： K K

2. 中频段 穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。 第四节 频率特性与系统性能的关系 2. 中频段 穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。 (1) 穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统如图: dB L( ω ) +20 -20 -20dB/dec ω c ω 可近似认为整个曲线是一条斜率为 -20dB/dec的直线。

2. 中频段 穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。 第四节 频率特性与系统性能的关系 2. 中频段 穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。 (1) 穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统如图: dB L( ω ) 开环传递 函数： s = ω c G(s)≈ s K +20 -20 -20dB/dec ω c ω 闭环传递函数为： s 1+ ω c (s)= φ 1 s+1 = ω c = 3 ω c ts≈3T

(2) 中频段的斜率与动态性能的关系 设系统如图: 可近似认为整个曲线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。 第四节 频率特性与系统性能的关系 (2) 中频段的斜率与动态性能的关系 设系统如图: dB L( ω ) +20 -20 -40dB/dec ω c ω 可近似认为整个曲线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。

中频段斜率为-40dB/dec ，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。 第四节 频率特性与系统性能的关系 (2) 中频段的斜率与动态性能的关系 设系统如图: dB L( ω ) +20 -20 开环传递 函数： G(s)≈ s2 K s2 = ω 2 c -40dB/dec ω c ω 1+ (s)= φ s2 ω 2 c 闭环传递 函数为： s2+ = c ω 2 处于临界稳定状态 中频段斜率为-40dB/dec ，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。

例 试分析中频段与相对稳定性的关系。 (1) 曲线如图 对应的频率特性: G(j K(1+j ) (1+j ω j )= 第四节 频率特性与系统性能的关系 例 试分析中频段与相对稳定性的关系。 (1) 曲线如图 dB L( ω ) 对应的频率特性: -20dB/dec -20dB/dec -40dB/dec G(j K(1+j ) (1+j ω 1 2 3 j )= ω c ω3 ω1 ω1 ω1 ω2 ω ω1 -40dB/dec )=-90o-tg-1 c +tg-1 -tg-1 ( ω φ 1 2 3 c = =3 3 2 ω 设： c 2 ω tg-1 =tg-13=72o 1 3 c ω tg-1 =tg-1 =18o =0 ω 1 =-126o ) ( ω φ c 可求得: = ω 1 2 =-108o ) ( ω φ c γ=72o～54o

(2) 曲线如图 对应的频率特性: ω G(j K(1+j ) (1+j j )= 同样的方法可得: =-108o～-144o ) ( ω 第四节 频率特性与系统性能的关系 dB L( ω ) (2) 曲线如图 -20dB/dec -60dB/dec 对应的频率特性: ω c ω3 ω 2 G(j K(1+j ) (1+j 1 3 j )= ω1 ω2 ω -20dB/dec -40dB/dec 同样的方法可得: =-108o～-144o ) ( ω φ c γ=72o～36o

上述计算表明，中频段的斜率反映了系统的平稳性。 第四节 频率特性与系统性能的关系 (3) 曲线如图 dB L( ω ) 对应的频率特性: -20dB/dec ω 2 G(j K(1+j ) (1+j 1 j )= -60dB/dec ω c ω1 ω2 ω -40dB/dec 同样的方法可得: =-162o～-198o ) ( ω φ c γ=18o～-18o 上述计算表明，中频段的斜率反映了系统的平稳性。

3 ．高频段 一般 L( ω )=20lg|G(j )|<<0 |G(j )|<<1 ω 即 )|= (j ω φ 第四节 频率特性与系统性能的关系 3 ．高频段 一般 L( ω )=20lg|G(j )|<<0 |G(j )|<<1 ω 即 )|= (j ω φ |1+G(j )| |G(j | ≈ |G(j )| ω 高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。

4．二阶系统开环频率特性与动态性 能的关系 γ 开环传递函数： G(s)= 2 s(s+2 ) ζ ω )= (j j ω 2 G(j +2 第四节 频率特性与系统性能的关系 4．二阶系统开环频率特性与动态性 能的关系 dB L( ω ) -20dB/dec 开环传递函数： 20 -20 ω c G(s)= 2 s(s+2 ) ζ n ω ω ωn 2ζ -40dB/dec ) ( ω φ )= (j j ω n 2 G(j +2 ) ζ -90 -180 ω γ )= ω 2 A( +(2 ) ζ n γ 平稳性: σ% )=-90o- tg-1 2 n ω ( φ ζ 快速性: ts c ω

e (1) 相位裕量γ和超调量σ% 之间的关系 )= ω A( +(2 ) ζ =1 0<ζ< 0.707近似为 =100 ζ 第四节 频率特性与系统性能的关系 (1) 相位裕量γ和超调量σ% 之间的关系 )= ω 2 A( +(2 ) ζ n c =1 0<ζ< 0.707近似为 =100 ζ γ ) ( ω c c ω 4 2 ζ n +4 - =0 得 σ%= 100% e - ζ π 1- 2 c ω n -2 = +1 4 ζ 2 γ σ% 20 40 60 80 100 120 140 10 20 30 40 50 60 70 80 γ=180o+ ) ( ω φ c ζ与γ、σ%之 间的 关系曲线 =180o-90o-tg-1 2 ζ n ω c γ 2 =tg-1 ζ n ω c γ越大，σ% 越小； 反之亦然。 σ% =tg-1 -2 2 +1 4 ζ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ζ

调节时间 ts 与ωc以及γ有关。γ不变时，穿越频率ωc 越大，调节时间越短。 第四节 频率特性与系统性能的关系 (2) c ω 、 γ与ts 之间的关系 根据： 得 ts= 3 ζ n ω ts· 3 = c ω ζ -2 +1 4 2 c ω n -2 = +1 4 ζ 2 =tg-1 2 γ -2 +1 4 ζ ts· tg 6 γ c ω = 再根据： 得 调节时间 ts 与ωc以及γ有关。γ不变时，穿越频率ωc 越大，调节时间越短。

e 例 分析随动系统的性能，求出系统的频 域指标ωc、γ和时域指标σ%、 ts。 (1) 随动系统结构如图 s(0.5s+1) 20 第四节 频率特性与系统性能的关系 例 分析随动系统的性能，求出系统的频 域指标ωc、γ和时域指标σ%、 ts。 s(0.5s+1) 20 θr(s) θc(s) - (1) 随动系统结构如图 s(0.5s+1) 20 G(s)= 解： c ω n -2 = +1 4 ζ 2 c ω 0.5 20 ≈1 2 dB L( ω ) 可得： =6.3 c ω =6.5 -20dB/dec 20 -20 ω c γ=180o+ ) ( ω φ c ω σ%= 100% e - ζ π 1- 2 2 =57% -40dB/dec =180o-90o- tg-1(0.5×6.3) ts tg 6 γ c ω = ) ( ω φ =3s -90 -180 =90o-72.38o=17.62o ω γ ζ=γ/100=0.176

加入比例 微分环节 解： 1) τ=0.01 s(0.5s+1) 20(0.01s+1) G(s)= ω 0.5 20 ≈1 2 可得 第四节 频率特性与系统性能的关系 加入比例 微分环节 θr(s) s(0.5s+1) 20 θc(s) - s+1 τ 解： 1) τ=0.01 s(0.5s+1) 20(0.01s+1) G(s)= dB L( ω ) -20dB/dec 20 -20 ω c c ω 0.5 20 ≈1 2 100 可得 =6.3 c ω 2 ω -40dB/dec γ=180o-90o- tg-1 (0.5×6.3) ) ( ω φ -20dB/dec -90 -180 ω +tg-1 ( 0.01×6.3) =21.22o γ 另外 ζ=γ/100=0.21 c ω n -2 = +1 4 ζ 2 所以 =6.59 σ%=51% ts=2.4s

2) τ=0.2 s(0.5s+1) 20(0.2s+1) G(s)= 20×0.2 ≈1 ω 0.5 =8 ω 第四节 频率特性与系统性能的关系 2) τ=0.2 dB L( ω ) -20dB/dec s(0.5s+1) 20(0.2s+1) G(s)= 20 -20 -40dB/dec ω c ω 2 5 20×0.2 ≈1 c ω 0.5 2 =8 c ω -20dB/dec ) ( ω φ -90 -180 ω γ=180o-90o- tg-1(0.5×8) γ +tg-1 (0.2×8) =72o 由于 γ ＞ 70o s2+10s+40 40(0.2s+1) φ(s)= ＞0.7 ζ ζ=0.79 σ%=1.7% 系统响应加快,稳定裕量增加。 (6.45 ts= 1 ζ n ω -1.7)=0.54s

2) τ=0.2 s(0.5s+1) 20(0.2s+1) G(s)= 20×0.2 ≈1 ω 0.5 =8 ω 第四节 频率特性与系统性能的关系 2) τ=0.2 dB L( ω ) -20dB/dec s(0.5s+1) 20(0.2s+1) G(s)= 20 -20 -40dB/dec ω c ω 2 5 20×0.2 ≈1 c ω 0.5 2 =8 c ω -20dB/dec ) ( ω φ -90 -180 ω γ=180o-90o- tg-1(0.5×8) γ +tg-1 (0.2×8) =72o 由于 γ ＞ 70o s2+10s+40 40(0.2s+1) φ(s)= ＞0.7 ζ 只能通过闭环传递函数求性能指标。 ζ=0.79 σ%=1.7% (6.45 ts= 1 ζ n ω -1.7)=0.54s

第四节 频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系 根据开环频率特性来分析系统的性能是控制系统分析和设计的一种主要方法，它的特点是简便实用。但在工程实际中，有时也需了解闭环频率特性的基本概念和二阶系统中闭环频域指标与时域指标的关系。

闭环频率特性及频域指标 G(s) 闭环传递函数为 Φ(s)= 1+G(s) 闭环频率特性： G(jω) Φ(jω)= =M(ω)ejαω 第四节 频率特性与系统性能的关系 闭环频率特性及频域指标 Φ(s)= G(s) 1+G(s) 闭环传递函数为 闭环频率特性： G(jω) 1+G(jω) Φ(jω)= =M(ω)ejαω 已知G(jω)曲线上的一点，便可求得Φ(jω)曲线上的一点，用这种方法逐点绘制出闭频率特性曲线。

闭环峰值出现时的频率。在一定的程度上反映了系统的快速性。 Mo=1时，输出与输入相等，没有误差。 谐振峰值反映了系统的相对稳定性 第四节 频率特性与系统性能的关系 闭环幅频特性曲线 系统的闭环频率 指标主要有： M(ω) Mm M0 (1) 零频幅值Mo 0.707M(0) (2) 谐振峰值Mr ω=0的闭环幅值 ωr ωb ω (3) 谐振频率ωr 幅频最大值与零频幅值之比。 Mo=M(ω)=M(0) Mγ= Mm Mo (4) 带宽频率ωb M(ωb)=0.707M0 闭环峰值出现时的频率。在一定的程度上反映了系统的快速性。 Mo=1时，输出与输入相等，没有误差。 谐振峰值反映了系统的相对稳定性 幅频值降到0.707M0时的频率。

2．二阶系统闭环频域指标与时域指标的关系 ωn2 ω2 ω ωn )+2ζ M(ω)= 1 (1- 二阶系统的标准式 α(ω)=tg-1 第四节 频率特性与系统性能的关系 2．二阶系统闭环频域指标与时域指标的关系 ωn2 ω2 ω ωn )+2ζ M(ω)= 1 (1- 二阶系统的标准式 α(ω)=tg-1 2ζω/ωn 1-ω2/ωn s2+2ζωns+ωn2 ωn2 Φ(s)= C(s) R(s) = dM(ω) =0 dω 闭环频率特性 令 得 Φ(jω)= (jω)2+2ζωn (jω) +ωn2 ωn2 ωγ=ωn 1-2ζ2 0≤ζ≤0.707 = 1 ωn2 ω2 ω ωn )+j2ζ (1- Mγ=Mm= 2ζ 1 1-2ζ2 可求得 =M(ω)ejα(ω)

第四节 频率特性与系统性能的关系 由上述分析可见： 对于二阶系统，当0 ≤ζ ≤ 0.707时，幅频特性的谐振峰值Mr与系统的阻尼比ζ有着对应关系，因而Mr反映了系统的平稳性；再由ts=3 /ζωn推知，ωr 越大，则ts越小，所以ωr反映了系统的快速性。

ζ一定的情况下,ωb越大，则ωn越大，ts越小。ωb表征了控制系统的响应速度。 第四节 频率特性与系统性能的关系 设 M0=1 根据 M(ω)=0.707M0=0.707 可求得 (1-2ζ2)+ 2-4ζ2+4ζ4 ωb=ωn ζ一定的情况下,ωb越大，则ωn越大，ts越小。ωb表征了控制系统的响应速度。

第五章 总 结 频率特性法是通过系统的开环频率特性的频域性能指标间接地表征系统瞬态响应的性能。系统性能的分析过程： γ ω c 开环传递 第五章　总 结 频率特性法是通过系统的开环频率特性的频域性能指标间接地表征系统瞬态响应的性能。系统性能的分析过程： 开环传递 函数 开环系统 频率特性 绘制频率 特性曲线 判别系统稳定性 幅相频率特性曲线 γ ω c 确定频率指标 对数频率特性曲线

ω 主要内容 一、频率特性的基本概念 r(t)=Asin ωt G(j t+ cs(t)=A|G(j ω)|sin[ ω)] 频率特性: ) 幅频特性： )=|G(j ω)| A( ω 相频特性： G(j ω) φ ( ω )=

先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 二、典型环节的频率特性 1. 奈氏图 先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 2. 伯德图 0o K L( ω )=20lgK 1 s -90o -20 L( ω )=0 ω=1, 1 Ts+1 T 1 ω = 0, -20 0o～-90o 1 ω = τ 1+ τ s 0, 20 0o～90o s2+2 ωn ζ ωns+ 2 0, -40 ω = n 0o～-180o

二、开环系统的频率特性 1. 奈氏图 把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 2. 伯德图 将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。 3. 根据伯德图确定传递函数

三、奈奎斯特稳定判椐 设有p 个不稳定极点 当ω=0 →∞ 曲线逆时针方向绕(-1,j0)点 ) G(j ω H(j p/2圈 闭环系统稳定 否则不稳定 若系统开环传递函数中包含有υ个积分环节，将曲线逆时针方向修正υ90o后，再使用奈氏判据。

四、系统性能分析 低频段 系统稳态性能 中频段 系统动态性能 γ 平稳性 c ω 快速性 高频段 抗扰性能

第四节 频率特性与系统性能的关系 作业习题： 5-18 返回