第3章 时域分析法 基本要求 3－1 时域分析基础 3－2 一、二阶系统分析与计算 3－3 系统稳定性分析 3－4 稳态误差分析计算

基本要求 1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。 2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。 3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4　正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。 5　熟练掌握计算稳态误差的方法。 6　掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

3－1 时域分析基础 一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态，典型外作用 1. 典型初始状态 通常规定控制系统的初始状态为零状态。 即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

ò 2. 典型外作用 单位阶跃函数1(t) î í ì < ³ = t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L st ò ¥ - 其数学表达式为： t f(t)

ò t 单位斜坡函数 ) ( 1 f < ³ î í ì = . 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L f(t) ) ( 1 f < ³ î í ì = . 其拉氏变换为： 2 st s dt e F )] [ L ò ¥ - f(t) 其数学表达式为：

单位脉冲函数 ò 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。 ) ( = ¹ î í ì ¥ ) ( = ¹ î í ì ¥ t f d 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 1 ) ( )] [ = s F t f L ò +¥ ¥ - = 1 ) ( dt t d 定义： 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。

正弦函数 ò f(t) sin ) ( < ³ î í ì = t ωt f 其数学表达式为： 其拉氏变换为： sin ) ( )] sin ) ( < ³ î í ì = t ωt f 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 2 sin ) ( )] [ ω s dt e ω t F t f L st + = ò ¥ -

三、典型时间响应 初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。

1. 单位阶跃响应 定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应，常用h(t)表示。 若系统的闭环传函为 则h(t)的拉氏变换为 故

2. 单位斜坡响应 定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用 表示。 则有 故

定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 3. 单位脉冲响应 定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 作用下的响应，常用k(t)表示。 故 注：关于正弦响应，将在第五章里讨论

4.三种响应之间的关系 由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为： 相应的时域表达式为

四、阶跃响应的性能指标 t ) ( h p 1 s 误差带

1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。 3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。 4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。

3－2 一、二阶系统分析与计算 一阶系统数学模型 定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 R ( s ) C ( s ) 1 Ts 一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应 定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 一阶系统数学模型 微分方程： R ( s ) C ( s ) 1 动态结构图： Ts 传递函数：

一阶系统单位阶跃响应 输入： 输出：

单位阶跃响应曲线 初始斜率：

性能指标 1. 平稳性： 非周期、无振荡，  ＝0 2. 快速性ts： 3.准确性 ess：

二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应 定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 二阶系统数学模型 二阶系统的微分方程一般式为：

二阶系统的反馈结构图 C ( s ) R ( s ) 二阶系统的传递函数 开环传递函数： 闭环传递函数：

s1,s2完全取决于 ，n两个参数。 二阶系统的特征方程为 解方程求得特征根： 当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为： 式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

①特征根分析— 　（欠阻尼） 此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。

②特征根分析— （临界阻尼） 此时s1,s2为一对相等的负实根。 s1=s2=-n

⑷特征根分析— （过阻尼） 此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。

⑤特征根分析— （零阻尼） 此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。 S1,2= jn

⑥特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。

⑦特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。

二阶系统单位阶跃响应 1.过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应 取C(s)拉氏反变换得：

过阻尼系统分析 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。

过阻尼系统单位阶跃响应 t c(t) 二阶过阻尼系统 一阶系统响应 1 与一阶系统阶跃响应的比较

二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ， 对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ， 它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定 的表达式是很困难的，一般根据（3－1－4）取相对量 及 经计算机计算后制成曲线或表格。

2.欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应

二阶欠阻尼系统的输出 拉氏反变换得：

二阶欠阻尼系统输出分析 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。

下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。

平稳性（％） 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响 平稳性（％） 结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。

当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。 阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示

在 一定的情况下， 越大，振荡频率 也越高，响应平稳性也越差。 结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大， 小，系统响应的平稳性好。

快速性 从图中看出，对于5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。 从图中看出，对于5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。 总结： 越大，调节时间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。

稳态精度 从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。

欠阻尼二阶系统 单位阶跃响应性能指标 1.上升时间 ：令 ，则 所以：

2.峰值时间　：　　　 根据极值定理有： 该项不可能为零

取n=1得:

3.超调量　　： 将峰值时间 代入下式 所以:

4.调节时间 写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。 当阻尼比 时

三、二阶系统举例 设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。

例题解析(1) 输入：单位阶跃 系统的闭环传递函数：

当KA ＝200时 例题解析(2) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：

当KA ＝1500时 例题解析(3) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：

当KA ＝13.5时 例题解析(4) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得： 无

系统在单位阶跃作用下的响应曲线

四 改善二阶系统响应的措施 1.误差信号的比例－微分控制

系统开环传函为： 闭环传函为： 等效阻尼比： 可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。

前面图的相应的等效结构 由此知道：

和 及 的大致形状如下 一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。

总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数 。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。

2.输出量的速度反馈控制 将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。

闭环传函为： 等效阻尼比： 等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。

3.比例－微分控制和速度反馈控制比较 从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。 从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。 从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。

五 高阶系统的时域分析 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。 由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。

这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。 一、二阶系统的极点分布如下：

本节主要内容： 线性定常系统稳定的概念 系统稳定的条件和稳定性的判定方法。

3－3 系统稳定性分析 一、系统稳定的概念 是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。

系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。 系统稳定的充分必要条件是： 系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。 注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左。

二、稳定性判据 劳斯(Routh)判据 系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。 若系统的特征方程为：

则劳思表中各项系数如下图：

关于劳斯判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态； 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。

例1 设系统特征方程如下： 试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。

解： 特征方程 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。

劳斯表判据的特殊情况 在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。

例2 设系统的特征方程为： 试用劳斯判据确定正实部根的个数。

解： 将特征方程系数列成劳斯表 由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。

于是得到新的特征方程为： 将特征方程系数列成劳斯表： 结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。

例3 设系统的特征方程为： 试用劳思判据确定正实部根的个数。

解： 将特征方程系数列成劳斯表 劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。

用 行的系数构造系列辅助方程 求导得： 用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到

表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。

四.结构不稳定及改进措施 某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统。 如下图液位可能控制系统。

引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。 该系统的闭环特征方程为： 系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。 消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质 引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。

1. 改变积分性质 用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。

2.引入比例－微分控制 在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。

其闭环特征方程为： 由稳定的充分必要条件： 引入比例－微分控制后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。

3－4 稳态误差分析计算 一.误差与稳态误差 误差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t) 系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值－实际值 误差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t)

二.稳态误差的计算 稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为 若e(t)的拉普拉斯变换为E(s) ，且

在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差的象函数 一般是s的有理分式函数，这时当且仅当 的极点均在左半面，就可保证 存在，式 就成立。 sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。

对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)

称之为系统对输入信号的误差传递函数。 称 为系统对干扰的误差传递函数。

例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差 解：① 判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。 ② 求E(s)。

根据结构图可以求出： 依题意：R(s)=N(s)=1/s,则 ③ 应用终值定理得稳态误差

三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系 当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环传递函数为： R E C B

将G(s)H(s)写成典型环节串联形式： 当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得： 上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关。

1.阶跃信号作用下的稳态误差 要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。

2. 斜坡信号作用下的稳态误差 要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。

3.等加速信号作用下的稳态误差 要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。

系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。 由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。 系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。 =０的系统称为０型系统； ＝１的系统称为Ⅰ型系统； ＝２的系统称为Ⅱ型系统；

例：系统结构如下图：若输入信号为 ，试求系统的稳态误差。 解：① 判别稳定性。系统的闭环特征方程为

② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此

注意事项 系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义； 以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差； 上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。 以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。

四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系 用一待定的 来代替上图中的 ，然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时， 需具备的条件。

以上分析表明， 是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。

例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差 解：① 判断稳定性。系统开环传函为

所以闭环特征方程为 ② 求稳态误差 从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出 ，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。