数理逻辑 课程XI

第11章 函 数 上一章研究了关系的自反，传递、对称等性质，并针对这些性质研究了—些特殊的关系，如等价关系、偏序关系．这一章研究的各类函数是另外一些特殊的关系，这是从它们的单值性、定义域和值域的性质来讨论的．函数是一个基本的数学概念．通常的实函数是在实数集合上讨论的．这里推广了实函数概念，讨论在任意集合上的函数．

11．1 函数和选择公理 11.1.1 函数定义 定义11.1.1 对集合A到集合B的关系f，若满足下列条件： 11．1 函数和选择公理 11.1.1 函数定义 定义11.1.1 对集合A到集合B的关系f，若满足下列条件： (1)对任意的x∈dom(f)，存在唯一的y∈ran(f)，使xfy成立； (2)dom(f)=A 则称f为从A到B的函数，或称f把A映射到B(有的书称f为全函数、映射、变换) 一个从A到B的函数f，可以写成f：A→B，这时若xfy，则可记作f：x|→y或f(x)=y. 若A到B的关系f只满足条件(1)，且有dom(f)A，则称f为从A到B的部分函数(有的书上称f为函数)，

函数的两个条件可以写成 (1)(x)(y1)(y2)((xfy1^xfy2)→y1=y2)， (2)(x)(x∈A→(y)(y∈B^xfy))． 函数的第—个条件是单值性，定义域中任一x与B中唯一的y有关系，因此，可以用f(x)表示这唯一的y．第二个条件是A为定义域，A中任一x都与B中某个y有关系.注意不能把单值性倒过来，对A到B的函数f，当x1fy且x2fy成立时，不一定x1=x2；因此，函数的逆关系不一定是函数． 如果一个关系是函数，则它的关系矩阵中每行恰好有一个1，其余为0。它的关系图中每个A中的顶点恰好发出一条有向边．

例1 对实数集R，R上的关系f为 f＝{<x，y>|y=x3} f是从R到R的函数，记作f：R→R，并记作f：x|→x3或f(x)＝x3． 例2 集合A={1，2，3}上的两个关系 g＝{<1，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>} 和 h={<1，2>，<2，3>} 都不是从A到A的函数． 因为g没有单值性，即<3，1>∈g且有<3，2>∈g，而对关系h，dom(h)={1，2}≠A．但是，h是从{1，2}到A的函数．

定义11.1.2 对集合A和B，从A到B的所有函数的集合记为AB(有的书记为BA)．于是，AB＝{f|f：A→B}． f1={<1，a>，<2，a>，<3，a>} f2={<1，a>，<2，a>，<3，b>} f3={<1，a>，<2，b>，<3，a>} f4={<1，a>，<2，b>，<3，b>} f5={<1，b>，<2，a>，<3，a>} f6={<1，b>，<2，a>，<3，b>} f7={<1，b>，<2，b>，<3，a>} f8={<1，b>，<2，b>，<3，b>} 于是 AB＝{f1，f2，f3，…，f8}

若A和B是有限集合，且|A|＝m，|B|＝n，则|AB|＝nm．从到的函数只有f＝，从到B的函数只有f＝．若A≠，从A到的函数不存在．因此，=B={}，A＝ (对A≠)．

定义11.1.3 设f：A→B，A1A，定义A1在f下的象f[A1]为f[A1]={y|(x)(x∈A1^y=f(x))}，把f[A]称为函数的象， 设B1B，定义B1在f下的完全原象f-1[B1]为 f-1[B1]＝{x|x∈A^f(x)∈B1} 注意，在上—章f-1表示f的逆关系．这个定义中的f-1[B1]表示完全原象，可以认为其中的f-1是f的逆关系，因为函数的逆关系不一定是函数，所以f-1一般只表示逆关系，不是逆函数(除非特别说明)．

11.1. 2 特殊的函数 等价关系利函数都是特殊的关系．同样可以定义一些特殊的函数，它们是具有某种性质的函数， 11.1. 2 特殊的函数 等价关系利函数都是特殊的关系．同样可以定义一些特殊的函数，它们是具有某种性质的函数， 定义11．1．4 设f：A→B． (1)若ran(f)＝B，则称f是满射的，或称f是A到B上的， (2)若对任意的x1，x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的，或内射的，或—对一的， (3)若f是满射的又是单射的，则称f是双射的，或一对一A到B上的．简称双射． 如果f：A→B是满射的，则对任意的y∈B，存在x∈A，使f(x)＝y．如果f：A→B是单射的，则对任意的y∈ran(f)，存在唯一的x∈A，使f(x)＝y．

例5 f：{1，2}→{0}，f(1)=f(2)=0，是满射的，不是单射的．f：N→N，f(x)=2x，是单射的，不是满射的．f：Z→Z，f(x)=x+1，是双射的．特别地，：→B是单射的，：→是双射的． 给定两个集合A和B，是否存在从A到B的双射函数?怎样构造从A到B的双射函数?这是两个很重要的问题．第一个问题在下一章讨论．下面举例说明第二个问题，

例6 对下列的集合A和B，分别构造从A到B的双射函数： (1)A＝R，B＝R，R是实数集． (2)A=R，B=R+={x|x∈R^x>0}． (3)A＝[0，1)，B=(1/4,1/2]都是实数区间． (4)A＝NXN，B＝N． 解 (1)令f：R→R，f(x)＝x (2)令f：R→R+，f(x)＝ex． (3)令f:[0，1)→(1/4,1/2]，f(x)＝1/2—x/4

(4)NXN是由自然数构成的所有有序对的集合．这些有序对可以排列在直角坐标系—个象限中，构成一个无限的点阵．如图所示．构造要求的双射函数，就是在点阵中有序对与N的元素间建立一一对应，也就是把点阵中有序对排成一列并依次编号0，1，2，…．

NXN中元素的排列次序是：<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，<0，3>，…．图中用箭头表示次序．这相当于f(<0，0>)=0，f(<0，1>)＝1，f(<1，0>)＝2，f(<0，2>)＝3，…． 显然，(m，n)所在的斜线上有m+n+1个点．在此斜线上方，各行元素分别有1，2，…，m+n个，这些元素排在<m，n>以前．在此斜线上，m个元素排在<m，n>以前．排在<m，n>以前的元素共有[1+2+…+(m+n)]+m个．于是，双射函数f：NXN→N为 f(<m，n>)＝(m+n)(m+n+1)/2十m， 对无限集合A，若存在从A到N的双射函数，就可仿照这种方法，把A中元素排成一个有序图形，按次序数遍A中元素．这就构造了从A到N的双射函数．

11．1．3 常用的函数 定义11.1.5 设f：A→B，如果存在一个y∈B，使得对所有的x∈A，有f(x)＝y，即有f[A]＝{y}，则称f：A→B为常函数． 定义11．1. 6 A上的恒等关系IA：A→A称为恒等函数．于是，对任意的x∈A，有 IA(x)＝x． 定义11.1. 7 对实数集R，设f：R→R，如果(x≤y)→(f(x)≤f(y))，则称f为单调递增的；如果(x<y)→(f(x)<f(y))，则称f为严格单调递增的．类似可定义单凋递减和严格单调递减的函数．

定义11．1. 8 对集合A，n∈N，把函数f：An→A称为A上的n元运算． 运算是算术运算概念的推广．在代数结构课程中将对运算作深入研究，运算的例子有数字的运算，集合的运算，关系的运算，逻辑联结词是在{T，F}上的运算． 定义11．1．9 设A，B，C是集合，Bc为从B到C的所有函数的集合，则F：A→Bc称为一个泛函(有时G：Bc→A称为一个泛函)． 泛函F也是函数，它把A的元素a映射到从B到C的函数f:B→C．即函数值F(a)是函数f：B→C．

例7 泛函F：R→RR，F(a)＝(f(x)＝x+a)．或写成F：a|→[x|→x+a].于是 泛函值F(2)有双重含义：一方面表示2下F的函数值为F(2)，另一方面这个值是一个函数F(2)：R→R，F(2)：x|→x+2．

定义11．1.10 设E是全集，对任意的A  E，A的特征函数XA定义为： XA：E→{0，1}，XA(a)= 1,a∈A 0, aA 例8 设E＝{a，b，c}，A＝{a，c}，则XA(a)＝1，XA(b)=0，XA(c)＝1． 特征函数是集合的另一种表示方法，模糊集合论就是参照特征函数的思想，用隶属函数定义模糊集合．

定义11．1.11 设R是A上的等价关系，令g：A→A／R，g(a)=[a]R，则称g为从A到商集A／R的典型映射或自然映射． 例9 设A={1，2，3}，R是A上的等价关系，它诱导的等价类是{1，2}，{3}则从A到A／R的自然映射g为 g：{1，2，3}→{{1，2}，{3}}， g(1)＝{1，2}，g(2)＝{1，2}，g(3)={3}，

11．1．4 选择公理 选择公理(形式1) 对任意的关系R，存在函数f，使得fR且dom(f)=dom(R)． 11．1．4 选择公理 选择公理(形式1) 对任意的关系R，存在函数f，使得fR且dom(f)=dom(R)． 选择公理是一个重要的数学公理，有时记作AC．选择公理还有其他的等价形式．这里的形式最直观，最容易理解． 一般的关系R不是函数，因为R不是单值的．也就是对某些x∈dom(R)，有多于一个y1，y2,...，使y1∈ran(R)，y2∈ran(R),...，且<x，y1>∈R，<x,y2>∈R，…，这时x有多个值y1，y2，…与之对应.为了构造函数f，只要对任意的x∈dom(R)，从<x，y1>，<x，y2>，…中任取一个放入f中．则f是单值的，fR，且有dom(f)＝dom(R)，f是函数f：dom(R)→ran(R)．因为多个有序对中可任选其一，所以构造的f可以有多个．

例10 设关系R＝{<1，a>，<1，b>，<2，b>}，则f1＝{<1，a>，<2，b>}和f2={<1，b>，<2，b>}都是满足条件的函数．

11.2 函数的合成与函数的逆 函数是特殊的关系，所以关于关系合成与关系的逆的定理，都适用于函数．下面讨论函数的一些特殊性质．

11．2．1 函数的合成 定理11．2．1 设g：A→B，f：B→C，则 (1)f。g是函数f。g：A→C， 11．2．1 函数的合成 定理11．2．1 设g：A→B，f：B→C，则 (1)f。g是函数f。g：A→C， (2)对任意的x∈A，有(f。g)(x)=f(g(x))． 证明 (1)因为g：A→B，则(x)(x∈A→(y)(y∈B^<x,y>∈g))．又因f：B→C，则(y)(y∈B→(z)(z∈C^<y，z>∈f))，由任意的x∈A，存在y∈B有<x，y>∈g，对y∈B存在z∈C有<y，z>∈f，因此对x∈A存在z∈C使<x，y>∈g^<y，z>∈f，使<x，z>∈f。g．所以dom(f。g)＝A， 假设对任意的x∈A，存在y1和y2，使得<x，y1>∈f。g且<x，y2>∈f。g．则(t1)(t2)((xgt1^t1fy1)^(xgt2^t2fy2))． 因为g是函数，则t1＝t2，又因f是函数，则y1＝y2．所以f。g是函数．

(2)对任意的x∈A，因为<x，g(x)>∈g，<g(x)，f(g(x))>∈f，故<x，f(g(x))>∈f。g．又因f。g是函数，则可写为(f。g)(x)＝f(g(x))． 函数的合成可以用图表示．从图中可见dom(g)=A，ran(g) B=dom(f)，ran(f) C．而dom(f。g)＝A，ran(f。g) C．

定理11．2．2 设g：A→B，f：B→C，则有 (1)若f，g是满射的，则f。g是满射的， (2)若f。g是单射的，则f。g是单射的， (3)若f。g是双射的，则f。g是双射的． 证明 (1)对任意的z∈C，因为f是满射的，故y∈B，使f(y)＝z．对这个y∈B，因为g是满射的，故x∈A，使g(x)=y.所以，z＝f(y)＝f(g(x))=(f。g)(x)，f。g是满射的．

(2)对任意的z∈ran(f。g)，若存在x1，x2，使(f。g)(x1)=z且(f。g)(x2)＝z．则存在y1，y2，使x1gy1^y1fz且x2gy2^y2fz．因为f是单射的，故y1＝y2;又因g是单射的，故x1=x2。所以，f。g是单射的． (3)由(1)、(2)得证． 这个定理的逆定理是否成立呢?请看下列定理．

定理11. 2．3 设g：A→B，f：B→C，则有 (1)若f。g是满射的，则f是满射的， (2)若f。g是单射的，则g是单射的， (3)若f。g是双射的，则f是满射的，g是单射的． 证明 (1)对任意的z∈C，因为f。g是满射的，故x∈A，使x(f。g)z．则y∈B，使xgy^ yfz．则y∈B，使f(y)＝z．f是满射的．

(2)对任意的y∈ran(g)，若存在x1，x2∈A，使x1gy^x2gy，即g(x1)＝y＝g(x2)．对这个y∈B，(因ran(g)B)，存在z∈C，使得f(y)=z．则f(g(x1))＝z＝f(g(x2))，于是x1(f。g)z^x2(f。g)z．因为f。g是单射的，故x1=x2．所以g是单射的． (3)由(1)，(2)得证． 注意，当f。g是满射的，g不一定是满射的；当f。g是单射的，f不一定是单射的．

例1 设g：A→B，f：B→C，A＝{a}，B＝{b，d}，C={c}．且g＝{<a，b>}，f＝{<b，c>，<d，c>}，则f。g={<a，c>}．f。g是满射的，但是g不是满射的． 例2 设g：A→B，f：B→C，A＝{a}，B＝{b，d}，C＝{c}，且g＝{<a，b>}，f＝{<b，c>，<d，c>}，则f。g＝{<a，c>}，f。g是单射的，但是f不是单射的．

定理11. 2．4 设f：A→B，则f＝f。IA＝IB。f. 证明留作思考题．

11．2．2 函数的逆 一个关系的逆不一定是函数，一个函数的逆也不一定是函数． 例3 对A＝{a，b，c}．A上的关系R为 11．2．2 函数的逆 一个关系的逆不一定是函数，一个函数的逆也不一定是函数． 例3 对A＝{a，b，c}．A上的关系R为 R= {<a，b>，<a，c>，<a，a>}， 从A到A的函数f为 f＝{<a，c>，<b，c>，<c，a>}． 则它们的逆为 R-1={<b，a>，<c，a>，<a，a>}是A到A的函数， f-1={<c，a>，<c，b>，<a，c>}不是A到A的函数．

定理11．2．5 若f：A→B是双射的，则f-1是函数f-1：B→A 证明 对任意的y∈B，因为f是双射的，所以存在x∈A，使<x，y>∈f，<y，x>∈f-1．所以，dom(f-1)＝B． 对任意的y∈B，若存在x1，x2∈A，使得<y，x1>∈f-1且<y，x2>∈f-1，则<x，y>∈f且 <x2，y>∈f．因为f是双射的，故x1＝x2.所以，f-1是函数f-1：B→A．

定义11．2．1 设f：A→A是双射的，则称f-1：B→A为f的反函数． 定理11．2．6 若f：A→B是双射的，则f-1：B→A是双射的． 证明 对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使<x，y>∈f,<y，x>∈f-1．所以，f-1是满射的． 对任意的x∈A，若存在y1，y2∈B，使得<y1，x>∈f-1且<y2，x>∈f-1，则有<x，y1>∈f且<x，y2>∈f．因为f是函数，则y1＝y2所以，f-1是单射的，它是双射的，

例4 f：[-/2,/2]→[-1，1]，f(x)＝sinx是双射函数．所以，f-1：[-1，1]→ [-/2,/2 ],f-1(y)＝arcsin y是f的反函数． 对实数集合R，正实数集合R+.g：R→R+，g(x)＝2x是双射的．所以，g-1：R+→R，g-1(y)=log2y是g的反函数．

定理11．2．7 若f：A→B是双射的，则对任意的x∈A，有f-1(f(x))＝x，对任意的y∈B，有f(f-1(y))=y。 证明 对任意的x∈A，因为f是函数，则有<x，f(x)>∈f，有<f(x)，x>∈f-1，因为f-1是函数，则可写为f-1(f(x))=x. 对任意的y∈B，类似可证f(f-1(y))＝y． 由定理，对任意的x∈A，f-1(f(x))＝x，则(f-1。f)(x)＝x，于是f-1。f＝IA.同理也有，f。f-1＝IB．对非双射的函数f：A→B，是否存在函数g：B→A使g。f＝IA呢?是否存在函数h：B→A使f。h＝IB呢?

定义11．2．2 设f：A→B，g：B→A，如果g。f＝IA，则称g为f的左逆；如果f。g＝IB，则称g为f的右逆． f2：{a，b，c}→{0，1}， f3：{a，b，c}→{0，1，2}， 如图所示，则f1存在左逆g1，不存在右逆．f2存在右逆h2，不存在左逆．f3即存在左逆g3，又存在右逆h3，且g3=h3=f3-1．如图所示．

定理11．2．8 设f：A→B，A≠，则 (1)f存在左逆，当且仅当f是单射的； (2)f存在右逆，当且仅当f是满射的； (3)f存在左逆又存在右逆，当且仅当f是双射的； (4)若f是双射的，则f的左逆等于右逆． 证明 (1)先证必要性．设存在x1，x2∈A，使得f(x1)＝f(x2)．设g为f的左逆，则x1＝(g。f)(x1)＝g(f(x1))＝g(f(x2))＝(g。f)(x2)=x2 所以，f是单射的．

再证充分性．因为f是单射的，所以f：A→ran(f)是双射的，则f-1：ran(f)→A也是双射的．已知A≠，则a∈A，构造g：B→A为 g(y)＝ f-1(y)， 当y∈ran(f) a， 当y∈B-ran(f) 显然，g是函数g：B→A．对任一x∈A，有(g。f)(x)＝g(f(x))＝f-1(f(x))=x，所以，g。f＝IA，g的构造如图，实箭头表示g，虚箭头表示f．

(2)先证必要性．设f的右逆为h：B→A，有f。h＝IB (2)先证必要性．设f的右逆为h：B→A，有f。h＝IB.则对任意的y∈B，存在x∈A，使h(y)=x，则y＝IB(y)＝(f。h)(y)＝f(h(y))＝f(x)，所以，f是满射的．

再证充分性，(注意，不能取h＝f-1，因为f-1不一定是函数，只是关系，)因为f是满射的，所以ran(f)=dom(f-1)＝B．依据选择公理，对关系f-1，存在函数hf-1，且有dom(h)＝dom(f-1)=B，且ran(h)ran(f-1)＝A．即h:B→A，对任意的y∈B，存在x∈A，使h(y)＝x且f(x)＝y．则 (f。h)(y)＝f(h(y))=f(x)=y． 所以，f。h＝IB，h是f的右逆．h的构造如图，实箭头表示h，虚箭头表示f.

(3)由(1)，(2)得证． (4)设f的左逆为g：B→A，右逆为h：B→A，则g。f=IA，f。h=IB． g＝g。IB＝g。(f。h)＝(g。f)。h=IA。h=h 所以，g＝h．