10.2 排列 2006年4月6日

引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 解决这个问题，需分2个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法； 第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：3×2＝6 种不同的方法．

引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

引例 问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ 解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：4×3×2＝24种不同的排法．

引例 问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ abc abd acb acd 由此可以写出所有的排列： abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb

排列定义 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

例题 例题 写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列． 解：所有排列是： ab ac bc ba ca cb

讨论题 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况． 起点站 终点站 飞机票 上海 北京 上海 北京

讨论题 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 跳过下一页 点击图片进入flash动画演示，点击空白处进入幻灯片演示

{ { { { 讨论题 { { { { { { { { { { { { 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 1 2 3 1 2 3 { 2 1 3 { 1 2 2 1 1 2 4 2 1 4 { { 1 3 2 { { 2 3 1 1 2 2 3 1 3 1 3 4 2 3 4 { 2 4 1 { 1 4 2 2 4 1 4 1 4 3 2 4 3 3 1 2 { 4 1 2 { 3 1 4 1 3 1 4 4 1 3 { { 3 2 1 { { 4 2 1 3 3 2 4 4 2 4 2 3 3 2 4 3 4 1 4 3 1 { { 3 4 4 3 3 4 2 4 3 2

牛刀小试 练习1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”． （1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？ （ ） （1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？ （ ） （2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？ （ ） （3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？ （ ） （4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？ （ ） （5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？ （ ） （6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？ （ ）

排列数的定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 注意区别“一个排列”与“排列数”的不同： “一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数； “排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数．因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列． ．

排列数公式的推导 求排列数 :假定有排好顺序的m个空位，从n 个不同元素 中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就对应一个排列，因此，所有的不同填法的种数就是排列数 。 第1位 第2位 第3位 第m位 ····· n n-1 n-2 n-m+1

排列数公式 这里m、n 且m≤n，这个公式叫做排列数公式．它有以下三个特点： （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数． 当m=n时 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n! 表示。

练习 练习2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果． 解：选举过程可以分为两个步骤． 第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法； 第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法． 根据分步计数原理，不同的选法有： 4 ×3＝12（种）． 其选举结果是： AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC

小结 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）． 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．