比與比值 比例式 自我評量

日常生活中，我們經常發現許多事物裡面含有比例的關係，例如：消毒水的調配、比例尺、棒球比賽中球員的打擊率、公益彩券的中獎率、⋯⋯。你了解這些比例關係真正的含意嗎？這些都和比與比值有許多關聯；首先，讓我們透過一些生活例子來複習比與比值的概念。

在國小時學過，將比的前項除以後項得到的數稱為該比的比值。例如： 在 2：3 這個比中，2 稱為前項，3 稱為後項，其比值為 2÷3＝ ，表示 2 是 3 的 倍。也就是說， a、b（b≠0）兩數的比為 a：b，其比值為 a÷b （＝ ），表示 a 是 b 的 倍。　

從比值可以看出前項與後項之間的倍數關係，讓我們來看看下面的說明： (1) 線段 AB長為 10 公分（記作 ＝10 公分），C 點將 分成兩小段，其中 ＝6 公分， 　　　　 　 ＝4 公分。如圖 3-1 所示： 圖 3-1

那麼 ： ＝6：4，比值為 6÷4＝ ＝ ，即 長是 長的 倍； ： ＝6：10，比值為 6÷10＝ ＝ ，即 　 長是 長的 倍； ： ＝4：10，比值為 4÷10＝ ＝ ，即 長是 長的 倍。

(2)在 9 公克的水中，加入食鹽 1 公克，溶解後可 得 10 公克的食鹽水溶液。則食鹽與食鹽水重 量的比是 1：10，比值為 。也就是說，每 1 公克的食鹽水中含有 公克的食鹽。

1同類量中，相同單位的比與比值 七年 2 班有男生 20 人、女生 15 人，試問： (1)男生人數與女生人數的比是多少？比值是多 少？ (2)男生人數與全班人數的比是多少？比值是多 (3)女生人數與全班人數的比是多少？比值是多

(1)男生人數與女生人數的比是 20：15，比值 為 20÷15＝ ＝ 。 (2)全班學生人數共有 20＋15＝35（人），故 為 20÷15＝ ＝ 。 (2)全班學生人數共有 20＋15＝35（人），故 男生人數與全班人數的比是 20：35，比值 為 20÷35＝ ＝ 。 (3)女生人數與全班人數的比是 15：35，比值 為15÷35＝ ＝ 。 解

七年甲班全班有 36 人，其中有近視的學生有 12 人。試問： (1)近視人數與沒有近視人數的比是多少？比值是多少？ 12：24，

(2)近視人數與全班人數的比是多少？比值是多少？ 12：36， (3)沒有近視人數與全班人數的比是多少？比值是多少？ 24：36，

前面的例題與隨堂練習中，所求的皆是同類量，且單位相同的兩數的比值。若要求兩個同類量的比值，但它們的單位不同時，則須先將它們化成相同單位，再求其比值。

2同類量中，不同單位的比與比值 求下列各比的比值： (1) 2 公斤：500 公克 (2) 2 分鐘：36 秒

(1)因為 2 公斤＝2000 公克，2000÷500＝ ＝ ＝ 4， 所以 2 公斤：500 公克的比值為 4。 ＝ ＝ 4， 所以 2 公斤：500 公克的比值為 4。 (2)因為 2 分鐘＝120 秒，120÷36＝ ＝ ， 所以 2 分鐘：36 秒的比值為 。 解

求下列各比的比值： (1) 1.5 公噸：2 公斤 (2) 2 公尺：150 公分 750

了解了兩個同類量比之比值的意義及求法後，可以把 a：b 推廣到包含負數，它的比值定義仍然相同。a 稱為前項，b 稱為後項，因為比值是前項÷後項，所以當後項為 0 時，比值沒有意義。

3 比與比值 求下列各比的比值： (1)（-1.5）：2.4 (2)（- ）：（- ）

(1)因為（－1.5）÷2.4 ＝ ＝－ ＝－ 所以（－1.5）：2.4 的比值是 － 。 (2)因為（－ ）÷（－ ）＝（－ ）÷ 解 (1)因為（－1.5）÷2.4 ＝ ＝－ ＝－ 所以（－1.5）：2.4 的比值是 － 。 (2)因為（－ ）÷（－ ）＝（－ ）÷ （－ ）＝（－ ）×（－ ）＝ 所以（－ ）：（－ ） 的比值是 。

求下列各比的比值： (1)（－3.4）：5.1 (2) ：（－ ） － － (3)（－ ）：（－ ）

4 比值的比較大小 在某次的籃球比賽當中，臺皮隊全場三分球出手 30 次，投進 20 球，達辛隊全場三分球出手 24 次，投進 16 球，則哪一隊的命中率較高？ （命中率＝投進球數與投球次數的比值）

臺皮隊：投進球數與投球次數的比是 20：30， 比值是 20÷30＝ ＝ ， 即命中率是 。 達辛隊：投進球數與投球次數的比是 16：24， 　　　　比值是 20÷30＝ 　＝ ， 即命中率是 。 達辛隊：投進球數與投球次數的比是 16：24， 　　　　比值是 16÷24＝ ＝ ， 臺皮隊與達辛隊三分球的命中率相同。 解

在例題 4 中，我們發現「20：30」與「16：24」的比值相等，我們也將比值相等的兩個比稱為相等的比，並可將這兩個比用「＝」做連結，即20：30＝16：24。

玲牧與毅郎參加棒球比賽，玲牧在 15 次打擊中，擊出 6 支安打，而毅郎在 24 次打擊中，擊出 9 支安打。安打數與打擊數的比值稱為打擊率，試問： (1) 玲牧和毅郎的打擊率分別是多少？ 玲牧的打擊率為 ，毅郎的打擊率為 。 (2) 兩人的打擊率誰比較高？ 玲牧的打擊率比較高。

由於比值可用分數表示，且分數經過擴分或約分後，其值不變。所以 一個比的前項與後項同乘以或同除以一個不等於零的數後，比值仍是不變： a：b＝（a × m）：（b × m），m≠0 a：b＝（a ÷ m）：（b ÷ m），m≠0

5 等比值變化 (1) 若 2：5＝6：□，則 □＝？ (2) 若 6：4＝3：△，則 △＝？ (1) 2：5 ＝（2×3）：（5×3） 解 (1) 2：5 ＝（2×3）：（5×3） ＝6：15 所以 □＝15 (2) 6：4 ＝（6÷2）：（4÷2） ＝3：2 所以 △＝2

1.若 7：3 ＝ 21：□，則 □＝？ 9 2.若 12：8 ＝ △：2，則 △＝？ 3 3.若 36：48 ＝ x：8 ＝ 12：y，求 x、y 。 x＝6，y＝16

將一個比的前後兩項都化成整數，且這兩數互質，稱為最簡整數比。 例如：2：5 與 3：8 是最簡整數比；但 ：2 與 8：18 不是最簡整數比。 通常比例都是以最簡整數比呈現。

6 最簡整數比 將下列各比化為最簡整數比： (1) 28：35 (2) ： (3) ：

(1) 28：35 ＝（28÷7）：（35÷7） ＝4：5 ： ＝（ ×24）：（ ×24） ＝8：3 解 約去最大公因數 ＝（ ×24）：（ ×24） ＝8：3 乘以分母的最小公倍數

： ＝ ： ＝（ ×35）：（ ×35） ＝42：30 ＝7：5 先化為假分數 化為整數 約去最大公因數

將下列各比化為最簡整數比： (1) 39：21 (2) ： 13：7 19：25 (3) 2.6：0.13 (4) ： 20：1 27：28

將 3：4 的前項化為 5 時，後項是多少呢？ 如果將後項設為 x，則可列出等式 3：4＝ 5：x；然而如何求出 x 的值呢？讓我們來看看下面的說明。

前面學過，若 a：b 與 c：d 是相等的比，則可以記作 a：b＝c：d，像這樣的式子稱為比例式；其中 a 和 d 稱為這個比例式的外項，b 和 c 稱為這個比例式的內項。例如：3：4＝5：x 是比例式，其中 3 和 x 是這個比例式的外項，4 和 5 是這個比例式的內項。 在比例式中，內項與外項之間有沒有特別的關係呢？讓我們看看下面的例題。

7內項乘積與外項乘積的關係 編號 比例式 兩個內項 的乘積 兩個外項 兩者是否相等 (1) 2：3＝4：6 (2) ： ＝3：2 (3) ： ＝3：2 (3) (－2)：5＝ 6：(－15) 12 12 是 1 1 是 30 30 是

(1) 兩內項的乘積＝3×4＝12 兩外項的乘積＝2×6＝12 兩者相等。 (2) 兩內項的乘積＝ ×3＝1 兩外項的乘積＝ ×2＝1 解 (1) 兩內項的乘積＝3×4＝12 　 兩外項的乘積＝2×6＝12 (2) 兩內項的乘積＝ ×3＝1 兩外項的乘積＝ ×2＝1 (3) 兩內項的乘積＝5×6＝30 兩外項的乘積＝(－2) × (－15)＝30 兩者相等。 兩者相等。 兩者 相等。

求下列各比例式中，兩個內項的乘積與兩個外項的乘積，並比較兩者是否相等。

編號 比例式 兩個內項 的乘積 兩個外項 兩者是否相等 (1) 12：36＝1：3 (2) ： ＝5：3 (3) (－2)：5＝ (－4) ：10 36 36 是 1 1 是 －20 －20 是

由例題 7 與隨堂練習可以發現：在比例式中，兩個內項的乘積與兩個外項的乘積，結果是一樣的。 事實上，若比例式 a：b＝c：d 成立， 則 ＝ × bd ＝ × bd 即 ad＝bc。 等號兩邊同乘以bd 綜合上述的說明，可以得知， 比例式的外項乘積等於內項乘積。

8 內項積＝外項積 求下列各比例式中 x 的值： 3：4＝5：x　　 (2) ： ＝ 2：3 (3)（2x＋5）：（x＋1）＝1：2 (4)（x－3）：2＝（2x－5）：3

(1) 因為 3：4＝5：x 所以 3x＝4×5 故 x＝ ＝ 解 (2) 因為 ： ＝2：3 所以 ×3＝ ×2 4＝3x x＝　

(3) 因為（2x＋5）：（x＋1）＝1：2 所以 2×（2x＋5）＝1×（x＋1） 4x＋10＝x＋1 4x－x＝1－10 3x＝－9 x＝－3 (4) 因為（x－3）：2＝（2x－5）：3 所以 3×（x－3） ＝ 2×（2x－5） 3x－9 ＝ 4x －10 －x＝ －1 x＝ 1

求下列各比例式中 x 的值： (1) x：5 ＝13：12　 　 (2) ： ＝7：4 x＝ x＝

(3)（ x＋8）：8＝（x－2）：6　　 x＝32 (4) 2（x－4）：（x＋1）＝3：4 x＝7

9 單位換算 已知 1 臺斤＝0.6 公斤，則 12 公斤相當於多少臺斤？ 設 12 公斤＝ x 臺斤 臺斤 公斤 臺斤 公斤 解 設 12 公斤＝ x 臺斤 臺斤 公斤 臺斤 公斤 1 ： 0.6 ＝ x ： 12 0.6x ＝12 x ＝20 所以 12 公斤＝20 臺斤

已知 3 公斤＝5 臺斤，則 8 公斤相當於多少臺斤？ 臺斤

已知某國家國旗的標準長寬比為 3：2，如果有一面國旗的長為 51 公分，那麼寬應該是多少公分？ 10 比例式的應用問題 已知某國家國旗的標準長寬比為 3：2，如果有一面國旗的長為 51 公分，那麼寬應該是多少公分？ 設寬為 x 公分， 因為 3：2＝51：x 所以 3x＝2×51 得 x＝34 故寬為 34 公分。 解

某鄉村的公共廁所中，男女廁所的數量比為 2：3，若該鄉村女生廁所有12 間，請問男生廁所有幾間？ 8間

若設 ＝ ＝r（r≠0），則可得 a＝2r，b＝ 3r。 一般來說，若 a：b＝2：3， 則 3a＝2b ＝ 若設 ＝ ＝r（r≠0），則可得 a＝2r，b＝ 3r。 外項乘積等於內項乘積 將等號兩邊同除以6

從上面的說明可知，若 a：b＝2：3，則可令 a＝2r，b＝3r，其中 r 是任意一個不為 0 的數（即 r≠0）。 當 r＝2 時，a＝4，b＝6； 當 r＝3 時，a＝6，b＝9； …….

同樣地，如果 a：b＝4：5，則可令 a＝4r，b＝5r（r≠0）。也就是說， 若 a：b＝c：d（c、d 為已知的數），則 a＝cr，b＝dr（r≠0）。

11 比例式的運算 已知 x：y＝5：7，求下列各比的比值： (1) 2x：3y　　　　 (2)（x＋y）：（x－y）

因為 x：y＝5：7， 所以可設 x＝5r，y＝7r，其中 r≠0。 (1) 2x：3y ＝（2×5r）：（3×7r） ＝10r：21r 解 (1) 2x：3y ＝（2×5r）：（3×7r） ＝10r：21r ＝10：21 因此 2x：3y 的比值為 10÷21＝ 。

(2)（x＋y）：（x－y） ＝（5r＋7r）：（5r－7r） ＝12r：（－2r） ＝12：（－2） ＝6：（－1） 因此（x＋y）：（x－y）的比值為 6÷（－1）＝－6。

已知 x：y＝5：2，求下列各比的比值： (1) 3x：4y (2)（2x－3y）：（x－4y） －

12 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共 63 個，已知蘋果和梨子個數的比是 3：4，那麼蘋果和梨子各有多少個？

以分數的觀念解題 因為蘋果和梨子個數的比是 3：4， 所以蘋果的數量為全部的 ， 梨子的數量為全部的 ， 故蘋果有 63 × ＝27（個）， 解一 以分數的觀念解題 因為蘋果和梨子個數的比是 3：4， 所以蘋果的數量為全部的 ， 梨子的數量為全部的 ， 故蘋果有 63 × ＝27（個）， 梨子有 63 × ＝36（個）。

以比例的觀念解題 設蘋果有 3r 個，梨子有 4r 個，r≠0。 依題意可得 3r＋4r＝63 7r＝63 r＝9 解二 以比例的觀念解題 設蘋果有 3r 個，梨子有 4r 個，r≠0。 依題意可得 3r＋4r＝63 7r＝63 r＝9 故蘋果有 3r＝3×9＝27（個）， 梨子有 4r＝4×9＝36（個）。

因為蘋果和梨子個數的比 是 3：4，故可假設 蘋果的個數是 3r， 梨子的個數是 4r， 其中r≠0。

例題 12 還有沒有其他解法？請說明。 假設梨子有 x 個，則蘋果有（63－x）個 依題意可知（63－x）：x ＝ 3：4 　　　　　　3x＝4×（63－x） 　　　　　　3x＝252－4x 　　　　　　7x＝252 　　　　　　 x＝36 故梨子有 36 個，蘋果有 63－36＝27（個）。

七年 6 班全班有 35 人，有近視與沒有近視的人數比是 2：3，則該班沒有近視的學生有多少人？ 21人

13 比例式的運算 設 x、y 皆不為 0，且 3x＝5y，求（x＋y）：（x－y）的比值。

（x＋y）：（x－y）＝（ y＋y）：（ y－y） ＝ y： y ＝8：2 ＝4：1 故（x＋y）：（x－y）的比值為 4÷1＝4。 代入消去一個未知數 解一 因為 3x＝5y，即 x＝ y。 將 x＝ y 代入（x＋y）：（x－y）可得 （x＋y）：（x－y）＝（ y＋y）：（ y－y） ＝ y： y ＝8：2 ＝4：1 故（x＋y）：（x－y）的比值為 4÷1＝4。

所以（x＋y）：（x－y）＝（5r＋3r）：（5r－3r） ＝8r：2r ＝8：2 ＝4：1 故（x＋y）：（x－y）的比值為 4÷1＝4。 設未知數比值，簡化含未知數的比例式 因為 x、y 皆不為 0，且 3x＝5y， 得 x：y＝5：3， 因此設 x＝5r，y＝3r，r≠0。 所以（x＋y）：（x－y）＝（5r＋3r）：（5r－3r） ＝8r：2r ＝8：2 ＝4：1 故（x＋y）：（x－y）的比值為 4÷1＝4。 解二 因為 x＝ y，所以 x：y＝ y：y＝5：3

設 x、y 皆不為 0 ，且 5x＝2y，求 3x：（2x－ 3y） 的比值。

若已知 x：y＝2：3，你能確定（x＋1）：（y＋1）的比值嗎？ 不能

14 比例的應用 有一個分數，若將此分數的分子和分母同時加 7 ，可得最簡分數 ，若將此分數的分子和分 母同時減 1 ，則可得最簡分數 ，試求此分數 為何？

因為此分數的分子和分母同時加 7，可得最簡分數 設此分數的分子為 x，分母為 y 因為此分數的分子和分母同時加 7，可得最簡分數 所以 （x＋7）：（y＋7）＝2：3 又因為此分數的分子和分母同時減 1，可得最簡分數 所以 （x－1）：（y－1）＝1：2 解

故 整理得 解得 x＝9，y＝17，故此分數為

今年敬騰與父親的年齡比是 1：3，7 年後的年 齡比是 3：7，則敬騰今年幾歲？ 14歲

1.比的前項、後項與比值：a：b（b≠0），則 a 稱為前項，b 稱為後項，其比值為 a÷b（＝ ），表示 a 是 b 的 倍。 2.相等的比：比值相等的兩個比稱為相等的比。 3.最簡整數比：將一個比的前、後項化為互質的 兩整數，稱為最簡整數比。

4.比例式、內項與外項：a：b＝c：d 稱為比例式，其中 a、d 稱為外項，b、c 稱為內項，且 ad＝bc ，即外項乘積等於內項乘積。 5.比例式的解法：例如 a：b＝2：3，則可令 a＝2r，b＝3r（r≠0）。

自然的一切結果都只是數目不多的一些不變規律的數學結論。 ——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace，1749-1827)

3-1 自我評量 1.(1)兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分，其周長的比為___：___ ，面積比為___：___。 (2)一年 3 班有學生 40 人，第一次段考數學成績 有 6 個人不及格，則及格人數和全班學生人 數的比為___：___ ，比值為_____。 3 2 9 4 17 20

(3)從臺北到高雄搭乘飛機需要 1 小時，搭乘火車 需要 3 小時 45 分，那麼從臺北到高雄搭乘飛 機和搭乘火車所需要的時間比為___：___ ， 比值為____。 4 15

2.填填看： (1) 18：30＝3：___ (2) 1.5：0.9＝15：___ ＝___ ：3 5 9 5

3.求下列各比的比值： (1)（－ ）：4 (2) 3.9：（－9.1） － － (3)（－0.8）：（－ ） (2) ：

4.求下列空格所代表的數： (1) 28：35 ＝4：□ (2) □：4＝51：12 5 17 (3) 25：□＝5：3 (4) 0.2：0.3＝16：□ 15 24

5.求下列各比例式中 x 的值： (1) 24：x＝2：7 x＝84 (2)（x－1）：3＝（x＋1）：6 x＝3

6.已知某國中男生人數與女生人數之比為 5：3， 若男生比女生多 510 人，則全校學生有多少人？ 2040人

7.設甲數乘以 等於乙數乘以 ，則 (1) 甲數：乙數＝_______。 (2) 若甲數＝120，則乙數＝_______。 5：8 192

8.設 x、y 均不為 0，且 4x＋2y＝5x－3y，求（x＋2y）：（2x－y）的比值。

9.設 x：y＝2：7，且 3x＋y＝26，求（x＋1）：（y＋1）的比值。