工程光学 Engineering Optics 郭 峰 青岛理工大学  机械工程学院

第六章 光路计算及像差理论

第六章 光路计算及像差理论 §6.1 光路计算 §6.2 轴上点的球差 §6.3 正弦差和慧差 §6.4 场曲和像散 §6.5 畸变 §6.6 色差 §6.7 像差特性曲线与分析 §6.8 波像差

§6.1 光路计算 为什么进行实际的光路计算? 实际光学系统与理想光学系统有很大的差异，即物空间的一个物点发出的光线经实际光学系统后, 不再会聚于空间的一点，而是一个弥散斑，弥散斑的大小与系统的像差有关。 近轴光学系统只适用于近轴的小物体以细光束成像。对任何一个实际光学系统而言，都需要一定的相对孔径和视场, 因此，实际的光路计算远远超过近轴区域所限制的范围，物像的大小和位置与近轴光学系统计算的结果不同。这种实际像与理想像之间的差异称为像差(aberration)。 单色光成像会产生性质不同的五种像差，即球差(spherical aberration)、慧差(正弦差, comma)、像散(astigmatism)、场曲(curvature of field)和畸变(distortion). 白光进入光学系统后，出于折射率不同而有不同的光程，导致了不同色光成像的大小和位置也不相同, 称为色差(chromatic aberration)。 光学设计的主要任务就是通过光路计算和优化设计, 缩小光学系统的像差, 使光学系统所成的像尽量接近理想像. 实际的光路计算是基础.

§6.1.1 光路计算概述 物点发出进入光学系统人瞳并通过光学系统成像的光线有无数条，不可能也没有必要对每条光线都进行光路计算，一般只对计算像差有特征意义的光线进行光路计算，研究不同视场的物点对应不同孔径和不同色光的像差值。如已知光学系统的结构参数(r、d、n)，物体的位置和大小、孔径光阑的位置和大小(或数值孔径角)，为求出光学系统的成像位置和大小以及各种像差, 要进行如下光路计算: 近轴光线光路计算, 以求出理想像的位置和大小. 子午面内实际光线的光路计算,以求出实际像的位置和大小及有关相差值. 轴外点沿主光线的细光束光路计算, 以求出细光束的像散和场曲. 子午面外的空间光线的光路计算,以求得空间光线的子午像差分量和弧矢像差分量.

§6.1.1 光路计算概述 1 弧矢面 光学计算中最常用的两个面： 子午面（Meridional plane）:过主光轴(optical axis)与轴外一点的平面。 弧矢面（Sagittal plane）: 包含主光线（chief ray）并与子午面垂直的平面为弧矢面。

§6.1.2 近轴光线光路计算 1 轴上点近轴光线的光路计算(第一近轴光线) 初始数据: l1, u1 过渡公式 校对公式 拉赫不变量

这样可以计算出像点位置和系统各基点的位置，若要计算系统的焦点位置，可令l1 = ，u1 = 0, 由近轴光路计算出的 即为系统的焦点位置，系统的焦距为

2 轴外点近轴光线的光路计算(第二近轴光线) 轴外点近轴光线的初始数据为 lz, uz , l1 为视场角 If l1 = , uz =  计算结果为 理想像高 由于近轴光路计算公式对u角的线性关系，初始数据 u 或 h 的取值并不影响像的位置和大小, 以及基点的位置和焦距的计算结果。但要计算初级相差时， u1和 uz1应按要求的孔径和视场来确定。通常要计算边缘孔径和边缘视场的初级像差，故一般取全孔径与全视场。

§6.1.2 子午面内远轴光线的计算 1) 子午面有限远轴上点光线的光路计算 初始数据 L1， sinU1 其中，Um为最大孔径角， K孔径取点系数 （0.3, 0.5, 0.707, 0.85,1）。 过渡公式

§6.1.2 子午面内远轴光线的计算 1) 子午面有限远轴上点光线的光路计算 为确保计算结果的可靠,在计算过程中须逐面校对。通常采用： PA校对法

§6.1.2 子午面内远轴光线的计算 2) 子午面有限远轴外点光线的光路计算 此处，y 物面纵坐标，表示线视场，ymax 是边缘视场半径， ymax =y0, KW 为视场取点系数。max 是入瞳半径， max = h, K 为孔径取点系数。 （0.3, 0.5, 0.707, 0.85,1）。

2) 子午面有限远轴外点光线的光路计算 与轴上点不同的是光束的中心线即主光线不是光学系统的对称轴。 考虑主光线z, 上光线a和下光线b 上光线 KW = 1.0，ymax = y0, max = h, K = 1.0 主光线 KW = 1.0，ymax = y0, max = 0 下光线 KW = 1.0，ymax = y0, max = -1.0

2) 子午面内有限远轴上外点实际光线的光路计算 为确保计算结果的可靠,在计算过程中须逐面校对。通常采用： PA校对法

§6.1.2 子午面内实际光线的计算 A B 3) 子午面内无限远轴上点实际光线的光路计算 如图为轴上A点位于无穷远时发出的光线，平行与光轴。以离光轴的高度h1确定其初值。 A h1 B max 是入瞳半径，max = h, K 为孔径取点系数， K 1。 1.0, 0.85, 0.707, 0.5, 0.3 。

§7.1.2 子午面内实际光线的计算 A B 4) 子午面内无限远轴外点实际光线的光路计算 如图为轴外B点位于无穷远时发出的光线。初值 h1 KW 视场取点系数， 为视场角。 max 是入瞳半径，max = h, K 为孔径取点系数。

A B 3 子午面内实际光线的光路计算 4) 子午面内无穷远轴外点实际光线的光路计算 固定视场角，考虑主光线和上、下边缘光线 主光线 K = 0 B 上光线 K = 1 下光线 K = 1

望远物镜的焦距为f’ = 100mm, D/f’=1/5, 视场角为2 = 6 r, mm d, mm nD 62.5 -43.65 4.0 1.51633 -124.35 2.5 1.67270

第一近轴光线 r, mm d, mm nD 62.5 -43.65 4.0 1.51633 -124.35 2.5 1.67270

第2近轴光线 lz1 = 0.8052

§6.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算

§6.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 子午像点 BM1M2是轴外物点B发出的一束子午细光束,BM为主光线。对于单个球面来讲，B点可以看成是在辅光轴BC上。该子午细光束经球面折射以后会聚于 点，即子午像点。

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 弧矢像点 沿主光线BM的弧矢细光束的会聚点 为弧矢像点，是主光线与辅轴的交点。 子午像点和弧矢像点并不重合，弧矢细光束在 处将截得一条垂直于子午平面的短线．即为子午焦线；子午细光束在 处也将截得一条垂直于弧矢面的弧矢焦线。

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 子午细光束在弧矢像点处截得一条垂直于 弧矢面的弧矢焦线 弧矢细光束在子午像点处截得垂直于

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 子午像点和弧矢像点均位于主光线上，故它们的位置均沿主光线度量。分别用 和 表示从主光线在球面上的折射点M到 和 的距离。对应地用 t 和 s 表示从M到 和 的距离。B点为实际物点，无像散。所以 t = s<0。

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 以 B 和 B’t 为中心，以 -t 和 t’为半径作圆弧O1O2和N1N2

子午像位置公式

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 由上图，

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 为计算细光束的子午像和弧矢像的位置，必须知道主光线经球面折射前后的入射角和折射角．所以需事先作主光线的光路计算。

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 过渡公式： Di 是相邻两表面之间沿主光线的距离

§7.1.3 沿轴外点主光线的细光束像点的计算 或者 初值的计算： 或