5 線性模型與矩陣代數 (續).

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5 線性模型與矩陣代數 (續)

一定要會的重點 會判斷模型(方程體系)是否存在唯一解 會計算行列式值 會求模型解 若且為若係數矩陣的行列式值≠0,模型存在唯一的解。 (2階或3階行列式)用公式求值 2階公式 3階公式 (超過3階的行列式)需「降階」再用公式求值 會求模型解 以逆矩陣求解 以公式求解

線性模型與矩陣代數 (續) 5.1 存在唯一解(非奇異矩陣)的條件 5.2 使用行列式檢驗非奇異矩陣 5.4 找出逆矩陣 5.5 Cramer’s rule 5.6 應用到市場模型和國民所得模型 5

5.1 存在唯一解的條件 存在唯一解(非奇異矩陣)的條件 非奇異矩陣 ↔ 方陣且線性獨立 (either rows or columns)

5.1 存在唯一解的條件 例4:若係數矩陣為 則因 [6 8 10] = 2 [3 4 5], 。故其橫列間非線型獨立。

5.1 存在唯一解的條件 (1) ;(2) 與3.4節討論方程體系是否存在單一解之結論對照。 「方程式與未知數個數相同」之判斷標準顯然即指係數矩陣之正方性(squareness)(橫列數與縱列數相等)。 而「橫列間之線型獨立」則可去除方程式間不一致性與線型依存。 (1) ;(2)

5.2 行列式的定義及特性 行列式:一正方矩陣A之行列式,以 表示之。 只有方陣有行列式 符號 |A| 為一純量 若A矩陣為n×n,則 |A| 稱為n階行列式 功能:(1) test non-singularity (2) 計算A-1,if exists

2階行列式的公式 對一2×2矩陣A= 而言,其行列式定義為:

2階行列式的公式 例1已知 與 ,求其行列式 兩矩陣皆有線型依存之橫列。其行列式都等於零。 例1已知 與 ,求其行列式 兩矩陣皆有線型依存之橫列。其行列式都等於零。 行列式 值不僅可作驗定矩陣A之橫列間線型獨立性(非奇異性),而且有助於逆矩陣之計算。

3階行列式的公式 公式:(2)三階行列式(a Third-Order Determinant) (以圖形畫出記憶法) 如圖5-1 a11

3階行列式的公式 例2 = 2×5×9+1×6×7+3×8×4-3×5×7- 1×4×9-2×8×6 =-9 例3 =?

拉普拉斯展開(降階) 3.以拉普拉斯展開(Laplace-expansion)n次行列式 (1)符號: aij元素的子式 (1)符號: (2)意義:為原矩陣去掉第i列與第j行後的新行列式

拉普拉斯展開(降階) The Cofatcor of the element aij:aij元素的餘因式 (1)符號: (2)定義:

拉普拉斯展開(降階) 例4 ,元素8之子式為 ;餘因式則為

拉普拉斯展開(降階) Laplace Expansion原理: 將n階行列式任一橫列或直行的元素, 與其餘因式展開, 即為該行列式值 故可將n階行列式, 化成n個(n-1)階行列式來計算,逐次將行列式的階數降低,以求算行列式值。 例如, 以3階行列式第1橫列元素與其餘因式展開可得

拉普拉斯展開(降階) Laplace Expansion可針對任一行或是任一列展開;一般可挑選較多0或1的行或列展開。 例5:已知

5.4 找出逆矩陣 求一逆矩陣之一般過程包括以下步驟: (1)求 。 (2)求A所有元素之餘因式,並以餘因式取代原來的元素形成餘因式矩陣C。 (1)求 。 (2)求A所有元素之餘因式,並以餘因式取代原來的元素形成餘因式矩陣C。 (3)取C之轉置矩陣得adj A(A之伴隨矩陣) (4)將A之伴隨矩陣除以行列式 。即得逆矩陣A-1

A之餘因式矩陣, ,將A之每個元素皆以其餘因式取代所形成的矩陣。 5.4 找出逆矩陣 A之餘因式矩陣, ,將A之每個元素皆以其餘因式取代所形成的矩陣。 A之伴隨矩陣(Adjoint of A),以 adj A表示之。餘因式矩陣的轉置矩陣。

5.4 找出逆矩陣 例2 求矩陣A與B的逆矩陣

以逆矩陣求解 例1 求下列方程體系之解 5x1+3x2=30 6x1-2x2=8

以逆矩陣求解 例2求下列方程體系之解 7x1-x2-x3=0 10x1-2x2+x3=8 6x1+3x2-2x3=7

5.5 Cramer’s rule(公式求解) 1. Cramer’s rule是求解一直線方程體系的一個簡便方法 2. 法則的導出:已知一方程體系Ax = d,此處A為n×n,其解可寫為

5.5 Cramer’s rule(公式求解) 若將 之第一行以常數向量d取代之,而保持其他各行不變,則得一新的行列式 —下標1即指第1行系以d取代而得。 Cramer’s rule:

5.5 Cramer’s rule(公式求解) 例1 求下列方程體系之解 5x1+3x2=30 6x1-2x2=8

5.5 Cramer’s rule 例2求下列方程體系之解 7x1-x2-x3=0 10x1-2x2+x3=8 6x1+3x2-2x3=7

5.6 應用到市場模型和國民所得模型 1. 市場模型 如(3.12)之兩種商品模型,可寫為兩直線方程體系(消去數量變數後)如(3.13):

5.6 應用到市場模型和國民所得模型 均衡數量可於需求或供給函數中設定 與 求得。

5.6 應用到市場模型和國民所得模型 2. 國民所得模型 如(3.23) Y = C + I0 + G0 C = a + bY 可重寫如下形式 Y - C = I0 + G0 - b Y + C = a 用逆矩陣解此模型。餘因式矩陣,伴隨矩陣,逆矩陣,解。。

練習1 某一國民所得模型可以右列方程組表示: Y=C+I0+G0 C=a + b(Y-T) [T是稅收,0<b<1] T= d + t Y [t為所得稅率,0<t<1] (5%) 按照 Y, C, T之順序以矩陣型式寫出此財務模型。 (5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5%) 請求係數矩陣之伴隨矩陣 (亦即 cofactor matrix 之轉置矩陣)。 (5% ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (5%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值. (必須寫出計算過程)

練習2 已知線性方程體系如下 (5%) 按照 X1, X2, X3 , 之順序以矩陣型式寫出此模型。 (5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5 % ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (10%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值.

練習3 某一財務模型可以右列方程組表示: 2x+3y-z = 8 -2y +3z = 8 3x -z =5 (15%)利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (15%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡解. (必須寫出計算過程)

練習4 令國民所得模型如下: Y = C + I0 + G C = a + b ( Y - T0 ) ( a>0, 0<b<1 ) G = g Y ( 0<g<1) (5%) 按照 Y, C, G之順序以矩陣型式寫出此財務模型。 (5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5%) 請求係數矩陣之伴隨矩陣 (亦即 cofactor matrix 之轉置矩陣)。 (5% ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (5%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值. (必須寫出計算過程)

考古題 商品之市場模型如下: Qd1 = 18 - 3 P1 + P2 Qd2 = 12 + P1 - 2 P2 Qs1 = -2 + 4 P1 Qs2 = -2 + 3 P2 Qd1 = Qs1 Qd2 =Qs2 Qd1, Qs1, P1分別為商品1之需求量、供給量與價格,Qd2, Qs2, P2為商品2之需求量、供給量與價格。 1). 商品1與商品2為相關商品,根據經濟學對「相關財貨」的定義,他們是什麼相關財貨?(10 %) 2). 請依Qd1, Qs1, Qd2, Qs2, P1 P2順序,將模型寫成矩陣格式(4 %),並找出係數矩陣、變數向量及常數向量。(6%) 3). 請求算出模型的均衡解(10 %)。